第4章 平面直角坐标系 知识清单 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第4章　平面直角坐标系　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共两节：4.1点的位置与坐标表示；4.2图形变换与坐标变化。本章建立平面直角坐标系，用有序数对刻画点的位置，并研究平移、关于坐标轴对称、关于原点对称时坐标的变化规律。 【考点地位】象限及坐标符号、坐标轴上点的特征、对称点坐标规律、平行于坐标轴直线上点的坐标、坐标求面积是数形结合的基础，常与平移、轴对称、面积综合命题，为后续一次函数图象作准备。 【学习目标】①认识平面直角坐标系，会由坐标描点、由点写坐标；②掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征；③掌握平移及关于坐标轴、原点对称的坐标变化规律；④会用坐标表示位置，会用坐标求简单图形面积。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下图按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第4章　平面直角坐标系 4.1　点的位置与坐标表示 平面直角坐标系：互相垂直、原点重合的两条数轴（x轴、y轴） 四个象限坐标符号；坐标轴上点：x轴上纵=0，y轴上横=0 有序数对(a,b)确定点的位置；由坐标描点、由点写坐标 4.2　图形变换与坐标变化 平移：左右平移改横坐标，上下平移改纵坐标 关于x轴对称：横同纵反；关于y轴对称：横反纵同；关于原点对称：横纵都反 用坐标求图形面积：底乘高除以2，或割补法 二、核心公式定理 【速查表】本章核心规律集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 规律·内容 说明与易错提示 象限符号 第一象限(+,+)，第二象限(−,+)，第三象限(−,−)，第四象限(+,−) 坐标轴上的点不属于任何象限 坐标轴上点 x轴上点纵坐标为0，记为(a,0)；y轴上点横坐标为0，记为(0,b) 原点(0,0)既在x轴也在y轴 平行x轴直线 直线上所有点纵坐标相同：y=定值 两点距离＝横坐标之差的绝对值 平行y轴直线 直线上所有点横坐标相同：x=定值 两点距离＝纵坐标之差的绝对值 关于x轴对称 横坐标相同，纵坐标互为相反数：(a,b)→(a,−b) 记忆：横轴横不变，纵变号 关于y轴对称 纵坐标相同，横坐标互为相反数：(a,b)→(−a,b) 记忆：纵轴纵不变，横变号 关于原点对称 横、纵坐标都互为相反数：(a,b)→(−a,−b) 横纵都变号 三、考点知识梳理 （一）4.1　点的位置与坐标表示 【平面直角坐标系】在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点为原点O。 图1 平面直角坐标系（x轴、y轴、原点O） 【象限与坐标符号】坐标平面被两轴分成四个象限：第一象限(+,+)，第二象限(−,+)，第三象限(−,−)，第四象限(+,−)。坐标轴上的点不属于任何象限。 图2 四个象限及坐标符号 【坐标轴上点的坐标】x轴上的点纵坐标为0，记作(a,0)；y轴上的点横坐标为0，记作(0,b)；原点坐标为(0,0)。 【有序数对】有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作(a,b)，可以唯一确定平面内一个点的位置；顺序不同，表示的点不同。 图3 由点P向两轴作垂线确定坐标(a,b) （二）4.2　图形变换与坐标变化 【平移的坐标变化】左右平移改变横坐标：点向右平移a个单位横坐标加a，向左平移a个单位横坐标减a；上下平移改变纵坐标：向上平移b个单位纵坐标加b，向下平移b个单位纵坐标减b。 图4 点平移时横、纵坐标的变化 【关于坐标轴对称】点(a,b)关于x轴对称的点为(a,−b)（横坐标相同，纵坐标相反）；关于y轴对称的点为(−a,b)（纵坐标相同，横坐标相反）。 图5 关于y轴、x轴对称及关于原点对称 【关于原点对称】点(a,b)关于原点对称的点为(−a,−b)，即横坐标、纵坐标都互为相反数。 【用坐标求面积】在坐标系中，三角形面积可由底乘高再除以2求得；以坐标轴或平行于坐标轴的边为底，对应高为另一方向距离，复杂图形可用割补法转化。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】象限符号：一(+,+)二(−,+)三(−,−)四(+,−)；x轴上纵为0，y轴上横为0。 【对比记忆】相关概念对比如下表。 对称方式 坐标变化 记忆要点 关于x轴对称 (a,b)→(a,−b)，横不变纵变号 横轴横不变 关于y轴对称 (a,b)→(−a,b)，纵不变横变号 纵轴纵不变 关于原点对称 (a,b)→(−a,−b)，横纵都变号 横纵都变号 【易混对比】关于x轴对称是纵坐标变号，关于y轴对称是横坐标变号，二者不要互相套用；坐标轴上的点不属于任何象限。 五、解题方法总结 题型1　由点的坐标判断象限或由位置写坐标 【解题方法】①按横、纵坐标符号对照象限符号；②坐标轴上的点按(a,0)、(0,b)写出，注意原点(0,0)；③有序数对(a,b)顺序不同表示不同点。 【数学思想】数形结合思想：坐标与位置相互对应。 题型2　平移与对称中的坐标变化 【解题方法】①平移：左减右加横坐标，下减上加纵坐标；②对称：按关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律直接写出对应点坐标。 【数学思想】转化思想：把图形变换转化为坐标数值变化。 题型3　坐标系中求两点距离与图形面积 【解题方法】①平行x轴的两点看横坐标差的绝对值，平行y轴的两点看纵坐标差的绝对值；②以坐标轴或平行坐标轴的边为底，对应高为另一方向距离，三角形面积＝底×高÷2，复杂图形用割补法。 【数学思想】数形结合与割补思想。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 混淆象限符号，写错横纵坐标正负 第二象限是(−,+)，第三象限是(−,−)，写符号前先判断横、纵坐标的正负 对称规律记反，互相套用 关于x轴对称横不变纵变号，关于y轴对称纵不变横变号，不要互相套用 把坐标轴上的点归入某一象限 坐标轴上的点不属于任何象限，不要写成“在某象限” 平移方向与坐标变化对应错误 左减右加横坐标，下减上加纵坐标，先判断平移方向再变号 平行轴距离公式用错 平行x轴看横坐标差的绝对值，平行y轴看纵坐标差的绝对值 七、高频考点速记 ①四个象限符号依次为(+,+)、(−,+)、(−,−)、(+,−)，坐标轴上的点不属于任何象限。 ②x轴上的点纵坐标为0记为(a,0)，y轴上的点横坐标为0记为(0,b)，原点为(0,0)。 ③关于x轴对称(a,b)→(a,−b)，关于y轴对称(a,b)→(−a,b)，关于原点对称(a,b)→(−a,−b)。 ④左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加）。 ⑤平行x轴两点距离看横坐标差的绝对值，平行y轴两点距离看纵坐标差的绝对值。 ⑥坐标系中三角形面积＝底×高÷2，复杂图形可用割补法。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共12题） 1．若点P(2,−4)，Q(x,−4)之间的距离是3，则x的值为（ ） A．3 B．5或−1 C．−1 D．5 2．点M(m+1,m+3)在y轴上，则M点的坐标为（ ） A．(0,−4) B．(4,0) C．(−2,0) D．(0,2) 3．如图，△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，若A1(−3,1)，则对应点A的坐标为（ ） A．(3,1) B．(−3,−1) C．(−3,1) D．(3,−1) 4．过点(−2,5)且平行于y轴的直线上的点（ ） A．横坐标都是−2 B．纵坐标都是5 C．横坐标都是5 D．纵坐标都是−2 5．点P(m+3,m+1)在x轴上，则点P的坐标为（ ） A．(0,−2) B．(2,0) C．(4,0) D．(0,−4) 6．已知点P(a,3+a)在第二象限，则a的取值范围是（ ） A．a<0 B．a>−3 C．−3<a<0 D．a<−3 7．点A(m+3,m)到x轴的距离是1，则m的值为（ ） A．1 B．−1 C．±1 D．0 8．如果点P(a,2)在第二象限，那么点Q(−3,a)在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标为（ ） A．(2,3) B．(−2,3) C．(−2,−3) D．(2,−3) 10．平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(3,4)，C(x,y)，若AC∥x轴，当线段BC取最小值时，点C的坐标为（ ） A．(−3,2) B．(3,2) C．(3,4) D．(−3,4) 11．点M(−3,4)到原点的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．7 12．如图，方格纸中△ABC的三个顶点分别为A(−3,−1)，B(−4,−4)，C(−1,−3)，则△ABC的面积是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 （二）填空题（每空2分，共2题） 1．在平面直角坐标系中，点P(3,−2)关于y轴的对称点是______，关于原点的对称点是______。 2．如果用(7,1)表示七年级一班，那么八年级五班可表示成______。 （三）解答题（共2题） 1．已知点A(−2,b)，B(a+2b,1)。（1）若点A，B关于y轴对称，求a+b的值；（2）若点A，B关于原点对称，求a，b的值。 2．在平面直角坐标系中，点A(2,1)，B(2,5)，C(−3,1)。（1）求△ABC的面积；（2）写出点A关于y轴对称的点A′的坐标。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】B 解题步骤： ①P、Q纵坐标相同，在平行于x轴的直线上，距离＝横坐标差的绝对值； ②|x−2|＝3，解得x＝5或x＝−1，选B。 【知识点睛】平行x轴两点距离：横坐标之差的绝对值。 2．【答案】D 解题步骤： ①y轴上点横坐标为0，故m+1＝0，得m＝−1； ②m+3＝2，M(0,2)，选D。 【知识点睛】y轴上的点横坐标恒为0，先令横坐标为0求出参数m，再代入得纵坐标。 3．【答案】B 解题步骤： ①关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数； ②A1(−3,1)的对称点为A(−3,−1)，故选B。 【知识点睛】关于x轴对称：横同纵反，纵坐标变号。 4．【答案】A 解题步骤： ①平行于y轴的直线上所有点横坐标相同； ②直线过(−2,5)，故横坐标都是−2，选A。 【知识点睛】平行y轴直线：横坐标为定值，纵坐标任意。 5．【答案】B 解题步骤： ①x轴上点纵坐标为0，故m+1＝0，得m＝−1； ②m+3＝2，P(2,0)，选B。 【知识点睛】x轴上的点纵坐标恒为0，先令纵坐标为0求出参数m，再代入得横坐标。 6．【答案】C 解题步骤： ①第二象限横负纵正：a<0且3+a>0； ②解得−3<a<0，选C。 【知识点睛】第二象限符号(−,+)，列不等式组求范围。 7．【答案】C 解题步骤： ①点到x轴距离等于纵坐标绝对值：|m|＝1； ②解得m＝1或m＝−1，选C。 【知识点睛】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴距离等于横坐标绝对值，注意区分。 8．【答案】C 解题步骤： ①P(a,2)在第二象限，得a<0； ②Q(−3,a)横负纵负，在第三象限，选C。 【知识点睛】由象限符号判断另一象限：横负纵负为第三象限。 9．【答案】B 解题步骤： ①关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数； ②P(2,−3)关于原点对称的点为(−2,3)，选B。 【知识点睛】关于原点对称：横、纵坐标都变号，即(a,b)→(−a,−b)。 10．【答案】B 解题步骤： ①AC∥x轴，故C纵坐标＝2； ②BC最小为垂线段最短，过B向直线y＝2作垂线，垂足C(3,2)，选B。 【知识点睛】点到直线的连线中垂线段最短，先由平行条件定纵坐标，再由垂足定横坐标。 11．【答案】C 解题步骤： ①M(−3,4)到原点距离，由勾股数3,4,5得距离为5； ②故选C。 【知识点睛】点到原点距离：横纵平方和开平方，3,4,5为勾股数。 12．【答案】A 解题步骤： ①用包围矩形3×3=9，减去周围三个直角三角形面积1.5、1.5、2； ②9−(1.5+1.5+2)=4，故选A。 【知识点睛】方格纸求面积：包围矩形减周围直角三角形，或用割补法。 【填空题】 1．【答案】(−3,−2)；(−3,2) 解题步骤： ①关于y轴对称横反纵同：(3,−2)→(−3,−2)； ②关于原点对称横纵都反：(3,−2)→(−3,2)。 【知识点睛】对称规律：y轴横变纵不变，原点横纵都变。 2．【答案】(8,5) 解题步骤： ①有序数对第一位表年级、第二位表班； ②八年级五班记为(8,5)。 【知识点睛】有序数对：按规定顺序各位置对应一个数。 【解答题】 1．【答案】（1）a+b=−1；（2）a=2，b=−1 解题步骤： （1）关于y轴对称：横反纵同，−2＋(a+2b)＝0且b＝1，解得a＝−2，a+b＝−1； （2）关于原点对称：横反纵反，−2＋(a+2b)＝0且b＋1＝0，解得b＝−1，a＝2。 【知识点睛】对称列方程：y轴对称纵相等，原点对称纵相反，分别联立求解。 2．【答案】（1）面积为10；（2）A′(−2,1) 解题步骤： （1）AB平行y轴，AB＝|5−1|＝4，AB边上高为|2−(−3)|＝5，面积＝×4×5＝10； （2）关于y轴对称横反纵同，A(2,1)对称点A′(−2,1)。 【知识点睛】坐标求面积先定底和高；关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标互为相反数。 学科网（北京）股份有限公司 $