2026-2027学年苏科版八年级数学上学期期中备考知识清单

第一章 三角形 一、三角形中的线段和角 【知识点1 三角形的三边关系】 1.核心定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 符号语言：在中，三边长为，则，，； ，，。 理论依据：两点之间，线段最短。 2.快速判定方法 判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和大于最长线段即可。若成立，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成，无需验证三组不等式。 【知识点2 三角形的边角关系】 1.大边对大角 在同一个三角形中，较长的边所对的角也较大。 符号语言：在中，，。 2.大角对大边 在同一个三角形中，较大的角所对的边也较长。 符号语言：在中，，。 注：边角对应关系仅在同一个三角形中成立，不可跨三角形直接使用。 【知识点3 三角形的三条重要线段】 线段类型 定义 交点名称 核心特征 中线 连接三角形一个顶点与它对边中点的线段 重心 三条中线均在三角形内部，交点在内部；任意一条中线平分三角形的面积 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 内心 三条角平分线均在三角形内部，交点在内部 高 从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 垂心 锐角三角形三条高都在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形两条高在三角形外部 二、全等三角形 【知识点1 全等三角形】 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 【知识点2 全等三角形的性质】 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 【知识点3 三角形全等变换】 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、轴对称或旋转变换前后的三角形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 三、全等三角形的判定 【知识点1 基本事实“边角边”（SAS）】 1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点2 基本事实“角边角”（ASA）】 1. 两边及其夹边分别相等的两个三角形全等．简写成“角边角”或“ASA”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点3 “角边角”的推论“角角边”（AAS）】 1. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成“”或“AAS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点4 基本事实“边边边”（SSS）】 1. 三边分别相等的两个三角形全等．简写成“边边边”或“SSS”． 2. 数学语言表达：如下图，在与中， ． 【知识点5 三角形的稳定性】 生活经验告诉我们，如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性． 三角形的稳定性在生活和生产中有着广泛的应用．例如：房屋的人字形支架、电线杆支架、斜拉桥架等，利用三角形的稳定性，使生活中的建筑经久耐用． 【知识点6 斜边、直角边定理（HL）】 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【知识点7 判定两个三角形全等的常用思路】 已知两边 （1）找第三边——利用“SSS”； （2）找夹角——利用“SAS”； （3）找直角——利用“HL” 已知一边一角 已知一角与邻边 （1）找这边的另一个邻角——利用“ASA”； （2）找这个角的另一个邻边——利用“SAS”； （3）找这边的对角——利用“AAS”； （4）若是直角找对边——利用“HL” 已知一角与对边 （1）找一角——利用“AAS”； （2）若是直角找一边——利用“HL” 已知两角 （1）找夹边——利用“ASA”； （2）找夹边外任意一边——利用“AAS” 四、线段垂直平分线与角平分线 【知识点1 线段垂直平分线的性质】 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴． 2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 3. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 4. 用集合定义线段的垂直平分线：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合． 【知识点2 角平分线的性质】 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 【知识点3 线段垂直平分线与角平分线的作法】 类别 作法 图形 线段垂直平分线 ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于C，D． ②过C，D两点作直线 ，直线CD就是线段AB的垂直平分线． 角 平 分 线 ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点D，E两点． ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． ③作射线OC，射线OC就是的平分线． 五、等腰三角形 【知识点1 等腰三角形的相关概念】 定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫做腰． 【知识点2 等腰三角形的性质】 1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2. 等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 3. 等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 4. 拓展 （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 【知识点3 等腰三角形的判定】 判定等腰三角形的方法： （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 拓展：（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”和“腰”． （3）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 【知识点4 等边三角形及其性质】 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 2. 等边三角形的性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴. （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°． 拓展：（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点5 等边三角形的判定】 判定等边三角形的方法： （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有两个角是60°的三角形是等边三角形． （4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点6 含30°角的直角三角形的性质】 1. 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2. 拓展：（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题 【知识点7 直角三角形的性质】 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 在△ABC内作∠ACD=∠A，可得AD=DC(等角对等边），由∠B与∠A互余，∠BCD与∠ACD互余，可得∠B=∠BCD(等角的余角相等)，从而可得BD=DC(等角对等边），于是得到CD=-AB（这里 CD是斜边AB上的中线). 第二章 实数的初步认识 1、 平方根 【知识点1 算术平方根的概念及性质】 1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫作a的算术平方根． 2. a的算术平方根记为，读作“根号a”． 3. 性质：（1）正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． （2）当时，． （3）算术平方根具有双重非负性：①；②． 【知识点2 平方根的概念及表示】 1. 定义：一般地，如果，那么x叫作a的平方根，也称为二次方根． 2. 如果a为正数，那么a有两个平方根，其中，正的平方根是算术平方根，负的平方根是． 【知识点3 平方根的性质】 1. 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 2. 0的平方根是0． 3. 负数没有平方根． 【知识点4 开平方】 1. 定义：求一个数的平方根的运算叫作开平方． 2. 表示方法：开平方用符号“”表示． 3. 性质：开平方是求一个非负数的平方根的运算．开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是两个数，且互为相反数． 2、 立方根 【知识点1 立方根的定义】 一般地，如果，那么x叫作a的立方根，也称为三次方根．a的立方根记作“”，读作“三次根号a”． 【知识点2 开立方】 1. 定义：求一个数的立方根的运算叫作开立方． 2. 性质：开立方和立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求． 3. 重要公式：①；②． 4. 开平方和开立方的区别 开平方 开立方 运算符号 被开方数 非负数 任意数 个数 0的平方根只有一个；一个正数的平方根有两个；负数没有平方根 任意数的立方根都只有一个 【知识点3 立方根的性质】 正数的立方根是正数，0 的立方根是0，负数的立方根是负数． 立方根的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的． 3、 实数 【知识点1 无理数】 无限不循环小数叫做无理数． 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（相邻的两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 【知识点2 实数的概念及分类】 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数．实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 正数，有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 【知识点3 实数与数轴的关系】 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都能表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应． 【知识点4 实数范围内的有关概念】 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是， 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 【知识点5 用计算器求数的平方根与立方根】 （1）用计算器求非负数a的平方根，按键顺序如下：按平方根运算键输入数据a按等号键显示结果． （2）用计算器求数a的立方根，按键顺序如下：先按，再按立方根运算键输入数据a按等号键显示结果． 【知识点6 实数的运算】 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．在实数运算中，当遇到无理数时，可用计算器进行求值． 【知识点7 实数的大小比较】 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）利用计算器计算出它们的近似值，再比较大小． 4、 近似值 【知识点1 近似值与准确值】 与实际接近的数称为近似值；与实际情况完全符合的数叫作准确值．生产、生活中的许多数据都是近似值．例如，用度量工具测出的长度、质量、时间、速度等数据都是近似值，且由于测量工具不同，测量的精确程度也不同．在实际计算中，对于这样的数，也常常取它的近似值． 【知识点2 近似值的取法】 对较大的数取近似值时，结果一般要用科学记数法来表示．在一些计算或测量中，我们有时需要对近似值进行处理，通常应用四舍五人法对近似值进行精确．如果结果只取整数，那么就叫作精确到个位，如；如果结果取一位小数，那么就叫作精确到十分位（或精确到0.1），如.1；如果结果取两位小数，那么就叫作精确到百分位（或精确到0.01），如.14． 第3章 勾股定理 1、 勾股定理的探究 【知识点1 勾股定理】 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 如图所示，在中，较短的直角边a叫做“勾”，较长的直角边b叫做“股”，斜边c叫做“弦”．如果，，，那么有． 【知识点2 勾股定理的验证】 勾股定理的验证有很多方法，其中借助图形来验证勾股定理是最常见的一种方法，拼图法验证勾股定理的一般步骤： （1）拼出图形； （2）写出图形面积的表达式； （3）找出相等关系； （4）恒等变形，推导出勾股定理． 2、 勾股定理的逆定理 【知识点1 勾股定理的逆定理】 1. 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且，那么这个三角形是直角三角形． 2. 勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，是以“一个三角形的三边长满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”． 联系：勾股定理与其逆定理的条件和结论正好相反，都与直角三角形有关． 【知识点2 勾股数】 定义 如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数； ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数 常见形式 ①，，（为大于1的整数）； ②，，（n为正整数）等 判断勾股数的方法步骤 （1）确定三个是正整数； （2）确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大数的平方与两个较小的数的平方和； （3）进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则三个正整数是勾股数，否则不是． 3、 勾股定理的简单应用 【知识点1 勾股定理的应用】 运用勾股定理解决生活中的一些实际问题时，应先构造出直角三角形，再把直角三角形中的某两条边表示出来． 【知识点2 勾股定理的逆定理的应用】 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形是生产、生活中常遇到的问题，要根据实际，选择合适的方法进行判断． 学科网（北京）股份有限公司 $