第3章 勾股定理 知识清单 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第3章　勾股定理　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》八年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：3.1勾股定理的探究；3.2勾股定理的逆定理；3.3勾股定理的简单应用。本章从面积关系入手探究直角三角形三边之间的数量关系，得到勾股定理，并研究其逆定理及其在判断直角三角形、解决实际测量问题中的应用。 【考点地位】勾股定理及其逆定理、勾股数、面积法求高、勾股定理的实际应用是中考几何的核心基础，常与等腰三角形、面积、折叠、立体最短路径结合命题，属高频考点。 【学习目标】①经历探索勾股定理的过程，会用面积法验证勾股定理；②掌握勾股定理，能由两边求第三边；③掌握勾股定理的逆定理，会判断一个三角形是否为直角三角形；④了解勾股数的概念；⑤会用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下图按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第3章　勾股定理 3.1　勾股定理的探究 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²＋b²＝c²（c为斜边） 用面积法（拼图、弦图）验证勾股定理；由两边可求第三边 3.2　勾股定理的逆定理 若三角形三边a,b,c满足a²＋b²＝c²，则这个三角形是直角三角形 勾股数：满足a²＋b²＝c²的三个正整数（如3,4,5；5,12,13；8,15,17） 3.3　勾股定理的简单应用 面积法：两直角边乘积等于斜边与斜边上高的乘积 实际测量、折叠问题、立体表面最短路径（展开成平面再求线段长） 二、核心公式定理 【速查表】本章核心定理与常用结论集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 内容·定理 说明与易错提示 勾股定理 直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方：＋＝ 仅适用于直角三角形；c必须是斜边（最长边），不可把直角边当斜边 勾股定理逆定理 若三角形三边长a,b,c满足＋＝，则该三角形是直角三角形 用于判断直角三角形；先找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和 勾股数 满足＋＝的三个正整数 常见：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17；7,24,25；勾股数的整数倍仍是勾股数 面积求高 两直角边乘积＝斜边×斜边上的高：ab＝ch 由两种方式表示同一三角形面积S＝ab＝ch 实际应用 构造直角三角形，把实际长度转化为直角三角形三边 折叠、折断、航行、扶梯等问题先画直角三角形再代入 三、考点知识梳理 （一）3.1　勾股定理的探究 【勾股定理】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形两直角边长分别为a,b，斜边长为c，则＋＝。 图1 直角三角形三边a、b、c（a²＋b²＝c²） 图2 以直角三角形三边向外作正方形发现面积关系 【面积法验证】用四个全等的直角三角形拼成弦图（或其他拼图），通过两种方式表示大正方形面积，化简后得到＋＝，这就是勾股定理的面积证法。 图3 赵爽弦图的面积证法 【由两边求第三边】已知直角三角形两边，可由勾股定理求第三边：已知两直角边a,b可求斜边c；已知斜边c和一条直角边a，可求另一条直角边b，代入＋＝即可。 （二）3.2　勾股定理的逆定理 【逆定理】如果三角形的三边长a,b,c满足＋＝，那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 图4 构造全等直角三角形证明勾股定理逆定理 【判断步骤】①先找出最长边c；②计算较短两边平方和＋；③与最长边平方比较，相等则为直角三角形，否则不是。 【勾股数】满足＋＝的三个正整数叫做勾股数。常见勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17；7,24,25；一组勾股数同时扩大同一正整数倍，所得仍是勾股数。 （三）3.3　勾股定理的简单应用 【面积法求斜边上的高】直角三角形两直角边为a,b，斜边为c，斜边上的高为h。由面积相等：ab＝ch，故h＝。 【实际测量问题】折断的树、斜放的扶梯、航行的船只等问题，先画出直角三角形，把实际长度作为直角边或斜边，再代入勾股定理求解。 【折叠与立体最短路径】折叠问题抓住“折叠前后对应边相等、对应角相等”，在新形成的直角三角形中列方程；立体表面上的最短路径，先把侧面展开成平面，再用两点之间线段最短结合勾股定理求线段长。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】直角三角形，两直角边平方和等于斜边平方：a²＋b²＝c²；逆定理判直角，最长边平方等于另两边平方和。 【对比记忆】相关概念对比如下表。 项目 内容 用途 勾股定理 直角三角形两直角边a,b平方和等于斜边c平方：a²＋b²＝c² 已知两边求第三边 逆定理 三边满足a²＋b²＝c²的三角形是直角三角形 由三边判断是否为直角三角形 勾股数 满足a²＋b²＝c²的三个正整数 如3,4,5；5,12,13；8,15,17 【易混对比】勾股定理用于“已知直角三角形求边”，逆定理用于“由三边判断是否直角三角形”，方向相反不要混用；c必须是最长边（斜边）。 五、解题方法总结 题型1　由直角三角形两边求第三边 【解题方法】①先分清哪条是斜边c、哪两条是直角边a,b；②已知两直角边求斜边，已知斜边与一直角边求另一直角边；③代入a²＋b²＝c²计算。 【数学思想】方程思想：把边长关系转化为方程求解。 题型2　用逆定理判断直角三角形与识别勾股数 【解题方法】①先找出最长边c；②计算较短两边平方和，与最长边平方比较；③相等则为直角三角形，否则不是；熟记常见勾股数。 【数学思想】数形结合思想：由数量关系判定图形形状。 题型3　面积法求高及实际测量、折叠、最短路径问题 【解题方法】①求斜边上的高由面积相等ab＝ch求h；②实际问题先画直角三角形，把实际长度作为边代入；③折叠问题用对应边相等在新直角三角形中列方程；④立体表面最短路径先展开成平面再求线段长。 【数学思想】转化思想：把实际问题、立体问题转化为平面内的勾股计算。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 把直角边当作斜边 勾股定理中c一定是最长边（斜边），求边长前先分清直角边与斜边 逆定理判断方向错误，用较短边平方作比较对象 先用最长边平方去比较另两边平方和，不要拿较短边平方作比较对象 勾股数只看数字，忽略正整数要求 勾股数必须是三个正整数，分数、小数即使满足平方关系也不是勾股数 面积求高公式记错，与斜边混淆 h＝，是两直角边乘积除以斜边，不要与斜边混淆 立体最短路径在立体图中直接连对角线 先把侧面展开成平面图形，再在平面内求线段长，不可在立体图中直接连 七、高频考点速记 ①勾股定理：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，a²＋b²＝c²。 ②逆定理：三边满足a²＋b²＝c²的三角形是直角三角形，c所对角为直角。 ③勾股数是满足a²＋b²＝c²的三个正整数，常见3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25。 ④直角三角形两直角边乘积等于斜边与斜边上高的乘积：ab＝ch。 ⑤折断、扶梯、航行等问题先构造直角三角形，再代入勾股定理。 ⑥立体表面最短路径先把侧面展开成平面，再求平面内线段长。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共12题） 1．下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．不能确定 2．以直角三角形的三边为边向外作正方形，斜边所对正方形面积为16，一条直角边上正方形面积为12，另一条直角边上的正方形标为字母A，则字母A所代表的正方形面积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．“勾股树”由一个直角三角形以每一边向外作正方形重复得到，已知最大正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形面积的和为（ ） A．n B．＋1 C．n＋1 D．n＋2 4．若一个直角三角形的一条直角边长为7 cm，另一条直角边比斜边短1 cm，则斜边长为（ ） A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．25 cm 5．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝10，AO＝6，则OB的长为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．木工做一个矩形桌面，量得两组对边长分别为15 cm、8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面（ ） A．合格 B．不合格 7．在△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝4，则＋＝（ ） A．4 B．8 C．16 D．20 8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离CD＝（ ） A． B． C． D．6 9．避开拐角沿捷径AC行走，已知AB＝40米，BC＝30米，则走捷径比走原路AB＋BC少走（ ） A．10米 B．20米 C．30米 D．40米 10．甲以6千米/时向东行走2小时，乙以5千米/时向北行走1小时，两人此时相距（ ） A．13千米 B．14千米 C．15千米 D．17千米 11．直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的高为（ ） A． B． C． D．6 12．一棵大树在离地面6 m处折断，树的顶部落在离树底部8 m处，则这棵树折断前的高度为（ ） A．14 m B．15 m C．16 m D．18 m （二）填空题（每空2分，共2题） 1．将矩形纸片ABCD折叠，使点D落在对角线AC上的点D′处，折痕为CE，若AB＝3，AD＝4，则ED的长为______。 2．如图，一个池塘的底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺。如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′，求这根芦苇的长度。 （三）解答题（共2题） 1．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，E是AC上一点，且DE＝DA。若AB＝15，BC＝20，求EC的长。 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16，BC=8，AB的垂直平分线交AC于点D，求CD的长。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】A 解题步骤： ①30²＋40²＝900＋1600＝2500＝50²，构成直角三角形； ②7²＋12²＝193≠13²，5²＋9²＝106≠12²，均不构成直角三角形，选A。 【知识点睛】勾股数逆定理：先算较短两边平方和，等于最长边平方即为直角三角形。 2．【答案】B 解题步骤： ①直角三角形斜边所对正方形面积等于另两正方形面积之和； ②16−12＝4，即A所代表正方形面积为4，选B。 【知识点睛】面积法：斜边上正方形面积＝两直角边上正方形面积之和。 3．【答案】C 解题步骤： ①每一代新增正方形面积和都等于最大正方形面积1； ②第1代总和2，第n代总和n＋1，选C。 【知识点睛】勾股树规律：每一代新增面积和为1，总和＝代数＋1。 4．【答案】D 解题步骤： ①设斜边为c，另一直角边为c−1，由勾股定理：7²＋(c−1)²＝c²； ②49＋c²−2c＋1＝c²，解得c＝25 cm，选D。 【知识点睛】勾股定理列方程：设斜边为未知数，用三边平方关系列方程求解。 5．【答案】C 解题步骤： ①∠AOB＝90°，△AOB为直角三角形，斜边AB＝10，直角边AO＝6； ②OB＝＝＝8，选C。 【知识点睛】已知两边求第三边：斜边平方减直角边平方再开方。 6．【答案】A 解题步骤： ①15²＋8²＝225＋64＝289＝17²，满足勾股定理； ②对角线与两边构成直角三角形，桌面合格，选A。 【知识点睛】逆定理验矩形：对角线平方等于两邻边平方和即为合格。 7．【答案】C 解题步骤： ①∠C＝90°，由勾股定理＋＝； ②AB＝4，故＋＝16，选C。 【知识点睛】勾股定理整体：直角边平方和等于斜边平方，无需分别求边。 8．【答案】A 解题步骤： ①∠ACB＝90°，AB＝＝15，△ABC面积＝×9×12＝54； ②由面积相等AB·CD＝54，CD＝＝，选A。 【知识点睛】面积求高：两直角边乘积＝斜边×斜边上的高。 9．【答案】B 解题步骤： ①捷径AC＝＝50米，原路AB＋BC＝70米； ②少走70−50＝20米，选B。 【知识点睛】勾股应用：直角三角形两直角边40、30，斜边50，作差得少走路程。 10．【答案】A 解题步骤： ①甲向东2小时走12千米，乙向北1小时走5千米，两方向垂直； ②两人相距＝＝13千米，选A。 【知识点睛】方位距离：正东与正北垂直，构成直角三角形用勾股定理。 11．【答案】A 解题步骤： ①斜边＝＝13，面积＝×5×12＝30； ②斜边上的高＝＝，选A。 【知识点睛】5,12,13为勾股数，面积法求斜边上的高。 12．【答案】C 解题步骤： ①折断段＝＝10 m，未断部分高6 m； ②原高＝6＋10＝16 m，选C。 【知识点睛】折断树问题：折断段、未断段、落地点距离构成直角三角形。 【填空题】 1．【答案】 解题步骤： ①矩形中AC＝＝5，CD′＝CD＝AB＝3，故AD′＝5−3＝2； ②设ED＝x，则AE＝4−x，在Rt△AED′中(4−x)²＝2²＋x²，解得x＝。 【知识点睛】折叠求线段：抓住对应边相等，在直角三角形中用勾股定理列方程。 2．【答案】13尺 解题步骤： ①池塘底面为边长10尺的正方形，芦苇长在中央，中心到岸边的水平距离为10÷2=5尺； ②设水深为h尺，芦苇长为h+1尺，由勾股定理(h+1)²=h²+5²，展开得2h+1=25，解得h=12，芦苇长=12+1=13尺。 【知识点睛】折拉模型列方程：芦苇拉直后为斜边，水深与水平距离为两直角边，用勾股定理列方程求水深，再加露出部分得芦苇总长。 【解答题】 1．【答案】EC＝7 解题步骤： ①∠ABC＝90°，AC＝＝25，△ABC面积＝×15×20＝150； ②BD为AC边上的高，BD＝＝12，AD＝＝9； ③DE＝DA＝9，故AE＝18，EC＝25−18＝7。 【知识点睛】高与中线综合：先用面积求高BD，再由勾股定理求AD，最后作差得EC。 2．【答案】CD=6 解题步骤： ①设CD=x，则AD=16−x；点D在AB的垂直平分线上，故DB=DA=16−x； ②在Rt△BCD中，由勾股定理x²+8²=(16−x)²，展开得x²+64=256−32x+x²，解得32x=192，x=6，即CD=6。 【知识点睛】中垂线+勾股方程：垂直平分线上的点到线段两端距离相等得DB=DA，再在直角三角形中用勾股定理列方程求CD。 学科网（北京）股份有限公司 $