第一章 三角形（期中知识清单）八年级数学上学期新教材苏科版

第一章 三角形　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 三角形中的线段和角 1.1 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边。 示例：三条线段长为 ，， 时，因为 ，能组成三角形；长为 ，， 时，因为 ，不能组成三角形。 1.2 三角形的两边之差 三角形的任意两边之差小于第三边。 示例：在 中，。 注意：”两边之差小于第三边”可由”两边之和大于第三边”移项得到。如由 得 ，即 。 1.3 三角形的边角关系 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大（简称”大边对大角，大角对大边”）。 示例：在 中，若 ，则 。 1.4 三角形的中线、角平分线、高 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线。 示例：在 中，点 在 上，，线段 是 的中线。 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 示例：在 中，点 在 上，，线段 是 的角平分线。 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。 示例：在 中，，垂足为 ，线段 是 的边 上的高。 2. 全等三角形 2.1 全等三角形的定义 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合。我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形。 示例：把 平移、轴对称或旋转得到 ，变换前后的两个三角形可以重合，它们全等。 2.2 全等三角形的记法与对应关系 和 全等，记作 ，读作” 全等于 “。 顶点 和 ， 和 ， 和 是对应顶点； 和 ， 和 ， 和 是对应边； 和 ， 和 ， 和 是对应角。 注意：用符号表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。 2.3 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 如果 ，那么 ，，，，，。 示例：已知 ，则 。 3. 全等三角形的判定 3.1 边角边（） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或””）。 在 和 中，如果 ，，，那么 。 示例：在 和 中，，，，则 （）。 注意：”边角边”中的角必须是两边的夹角，否则不能判定两个三角形全等。 3.2 角边角（） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或””）。 在 和 中，如果 ，，，那么 。 示例：在 和 中，，，，则 （）。 3.3 角角边（） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或””）。 在 和 中，如果 ，，，那么 。 示例：在 和 中，，，，则 （）。 注意： 是”角边角”的推论：两角分别相等时，由三角形内角和定理可得第三组角也相等，从而可用 判定。 3.4 边边边（） 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或””）。 在 和 中，如果 ，，，那么 。 示例：在 和 中，，，，则 （）。 3.5 三角形的稳定性 三角形三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，这叫作三角形的稳定性。 示例：用三根细木棒钉成的三角形框架，形状不会改变；用四根细木棒钉成的四边形框架，形状可以改变。 3.6 直角三角形全等的判定（） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“”）。 在 和 中，，如果 ，，那么 。 示例：在 和 中，，，，则 （）。 注意： 只适用于直角三角形，且”斜边”与”一条直角边”要分别对应相等。 4. 线段垂直平分线与角平分线 4.1 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 示例：若点 在线段 的垂直平分线 上，则 。 4.2 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 示例：若 ，则点 在线段 的垂直平分线上。 注意：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合；三角形三条边的垂直平分线交于一点。 4.3 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等。 示例：若点 在 的平分线上，且 ，，垂足分别为 ，，则 。 4.4 角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 示例：若点 在 内，且 ，，，则点 在 的平分线上。 注意：角平分线是角的内部到角两边距离相等的点的集合；三角形的三条角平分线交于一点。 5. 等腰三角形 5.1 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的边叫作腰。 示例：在等腰 中，，则 ， 是腰， 是底边。 5.2 等腰三角形的性质 等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。 示例：在 中，，则 ；若 是底边 上的中线，则 同时也是高线和顶角平分线。 5.3 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）。 示例：在 中，若 ，则 。 5.4 等边三角形的定义与性质 三边都相等的三角形叫作等边三角形。 等边三角形的各角都等于 。 示例：在等边 中，，。 5.5 等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 示例： 的 是等边三角形；等腰 中若顶角为 ，则它是等边三角形。 5.6 含 角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边是斜边的一半。 示例：在 中，，，则 。 5.7 直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 示例：在 中，， 是斜边 的中点，则 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 第三边的取值范围 已知三角形两边长为 ，（），则第三边 满足 。如两边长为 ，，则第三边 满足 。 1.2 中线等分面积 三角形的一条中线把它分成面积相等的两个三角形，即 。如 是 的中线，则 与 等积。 1.3 全等三角形的对应线段相等 全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线分别相等。如 ，， 分别是对应高，则 。 1.4 三线共点 三角形三条边的垂直平分线交于一点，三条角平分线交于一点（角平分线的交点到三边距离相等）。 1.5 等腰三角形”三线合一”的互推 等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一：已知”底边中点”“垂直底边”“平分顶角”之一，可推出另外两个。如 且 平分顶角，则 也是底边中线和高。 1.6 顶角外角与底边平行 等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边。如 ， 平分外角 ，则 。 1.7 含 角直角三角形的逆用 在直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则它所对的锐角等于 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 证明线段（角）相等的基本思路 证两条线段相等（或两个角相等），可证它们是两个全等三角形的对应边（对应角）。 2.2 全等证明的书写规范 先找齐判定所需三个条件，按”边—角—边”（）或”角—边—角”（）等的对应顺序排列，再写”在 和 中”，最后写”（依据）“。 2.3 判定方法的选择 已知两边相等→找夹角（）或第三边（）；已知两角相等→找夹边（）或一组等角的对边（）；已知一边一角相等→再找一边（）或一角（/）；直角三角形优先考虑 。 2.4 挖掘隐含条件 从公共边、公共角、对顶角、平行线所得同位角/内错角、角平分线、垂直、中点中找相等条件；线段和差也可转化，如由 得 。 2.5 证”点在垂直平分线（角平分线）上” 证点到线段两端距离相等（到角两边距离相等），再用垂直平分线（角平分线）性质定理的逆定理下结论。 2.6 等腰三角形中角与边的互化 利用”等边对等角”“等角对等边”在角与边之间互化，再结合三角形内角和定理求角。如 且 ，则 。 3. 解题小技巧 技巧 要点 示例 快速判断能否组成三角形 只需检验较短两边之和是否大于最长边 ，，：，不能 全等找对应关系 对应顶点写对应位置，先定对应顶点再找对应边、角 中 对应 对称/折叠构造全等 等腰三角形关于底边中线对称，可翻折构造全等 沿顶角平分线翻折 4. 常见考试模型 4.1 角平分线 + 作垂线 公式：角平分线上的点到角两边距离相等，向两边作垂线段即得 。 限定：两垂足分别落在角的两边上，垂线段是点到边的距离。 示例：如 平分 ，，，则 。 4.2 双垂直全等 公式：，， 在 上，若 ，，则 ，得 且 。 限定：两直角相邻（共斜边或共直角顶点），用 判定。 示例：如 ，，，则 与 垂直且相等。 4.3 旋转型（手拉手）全等 公式：两个等腰三角形共顶点，由”“证旋转前后的两个三角形全等。 限定：两组对应边相等、且夹角相等（夹角常需由”公共角加减等角”推得）。 示例：如 ，，，则 ，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：判断三条线段能否组成三角形，未抓住”较短两边之和大于最长边” 典例：判断下列长度的三条线段能否组成三角形： ，，； ，，； ，，。 错解：第 组：因为 ，两边之和等于第三边，仍能组成三角形；第 组只看 ，也能组成三角形。 正解：只需检验较短两边之和是否大于最长边。 ，不能组成； ，不满足”大于”，不能组成； ，能组成。 原因：对”两边之和大于第三边”理解不到位，误把”大于或等于”当”大于”；且没有掌握”较短两边之和大于最长边”这一快捷判据，逐条去算导致漏判、误判。 易错点 2：把”两边及一边的对角相等”误当作全等判定（） 典例：两边及其中一边所对的角分别相等的两个三角形，是否一定全等？ 错解：一定全等，因为满足”边边角”。 正解：不一定全等。只有”两边及其夹角分别相等”（）才能判定全等；“两边及其中一边的对角分别相等”（俗称 ）不能作为判定依据。 原因：把”“中”角必须是两边的夹角”这一关键位置要求丢掉，凭字面记成”两边一角”。两个三角形中，夹角与”一边的对角”位置不同，结论不同。 易错点 3：全等三角形书写时对应顶点顺序错乱 典例：已知 ，其中 对应 ， 对应 ， 对应 ，写出所有对应边。 错解： 与 对应， 与 对应， 与 对应。 正解： 与 、 与 、 与 分别对应。 原因：写全等记法时没有”把对应顶点的字母写在对应的位置上”，导致找对应边、对应角时张冠李戴。应先锁定对应顶点，再按顶点顺序逐个对应。 易错点 4：等腰三角形求角，漏分”顶角 / 底角”讨论 典例：等腰三角形中有一个角等于 ，求另外两个角的度数。 错解： 是底角，所以另一底角为 ，顶角为 ，另外两角为 ，。 正解：分情况讨论：① 若 是顶角，则两底角都为 ；② 若 是底角，则另一底角为 ，顶角为 。综上，另外两角为 ， 或 ，。 原因：忽略隐含条件未分类。等腰三角形的角有顶角、底角之分，题目只说”有一个角”，须讨论它到底是顶角还是底角；只按一种情况作答就会漏解。 易错点 5：把”三线合一”误用在非等腰三角形 典例：在 中， 是 的平分线，求证：。 错解：由”三线合一”得 。 正解：不能直接得 。“三线合一”的前提是三角形为等腰三角形，题目没有给出 ，故不能使用；应先证 （或用其他条件）再下结论。 原因：把等腰三角形的性质无条件推广到一般三角形，忽视”三线合一”的适用前提。凡用定理，都要先核对前提条件是否满足。 易错点 6：含 角的直角三角形，把边的关系用反 典例：在 中，，，，求 。 错解： 所对的直角边等于斜边的一半，所以 。 正解： 所对的直角边是 ，斜边是 ，由” 所对的直角边是斜边的一半”得 ，所以 。 原因：没有先分清” 角所对的直角边”是哪一条、“斜边”是哪一条，把”直角边 斜边的一半”记成”斜边 直角边的一半”，方向反了。 学科网（北京）股份有限公司 $