精品解析：广西贵港市部分校2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名游客来到广西旅游，准备分别从南宁、柳州、桂林、北海这4个城市中随机选一个游览，记事件“甲和乙至少有一人选择柳州”，事件“甲和乙选择的城市不同”，则条件概率（ ） A. B. C. D. 7. 某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为正实数，且，则的最小值为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 与向量平行的单位向量为 C. 若与的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 当时，向量在向量上的投影向量为 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与该双曲线交于，两点，则（ ） A. 到渐近线的距离为 B. 的最小值为 C. 若，在左、右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D. 若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 点在底面内，当时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，含的项的系数为________（用数字作答）． 13. 若直线与曲线相切，则________． 14. 随机抛一枚质地均匀的硬币6次，定义数列满足：记事件“对于任意，均有，且”，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． （1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； （2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 16. 如图，和所在平面垂直，且，，． （1）证明:． （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在中，记，，，已知，设边上的高为． （1）若的面积为，且不是钝角三角形，求的值； （2）若，求的最大值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为． （1）求该椭圆的标准方程． （2）过该椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交该椭圆于，两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 19. 已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则称为函数的一个“伴随数列”． （1）若函数，求的一个“伴随数列”的通项公式． （2）若函数，数列，为的两个“伴随数列”，且对任意的，均有，． （ⅰ）证明：． （ⅱ）当时，判断的正负，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知：. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，所以， 由，所以. 所以. 4. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由结合等差数列下标和性质求出，再由等差数列前项和公式结合下标和性质求解. 【详解】因为，所以，解得，又， 所以. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式可知，结合余弦二倍角公式将化为，代入求值即可. 【详解】由可得，即，所以. 6. 甲、乙两名游客来到广西旅游，准备分别从南宁、柳州、桂林、北海这4个城市中随机选一个游览，记事件“甲和乙至少有一人选择柳州”，事件“甲和乙选择的城市不同”，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式，分别求出和，即可求出. 【详解】由题可知，甲、乙各自从4个城市中选一个，总基本事件数为个， 又事件“甲和乙至少有一人选择柳州”的对立事件为“甲和乙都不选柳州”，此时甲、乙各有3种选择， 所以对立事件共包含个基本事件数，所以事件共有个基本事件，即； 又事件表示“甲和乙至少有一人选择柳州，且两人选择的城市不同”，当甲选柳州，乙不选时，共有3种情况； 当乙选柳州，甲不选时，也有3种情况，所以事件的基本事件数共有种，即， 因此，由条件概率公式可得. 7. 某圆锥的侧面展开图是一个弧长为，圆心角为的扇形．若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面展开图的弧长和圆心角求出圆锥的底面半径、母线长与高，再通过轴截面等腰三角形的内切圆半径得到内切球半径，最终计算球的最大表面积． 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， 侧面展开图弧长等于底面周长，即：， 由弧长公式得，，所以圆锥母线即扇形半径为2， 由勾股定理得圆锥高， 圆锥内最大球为内切球，其半径等于圆锥轴截面（边长为2的等边三角形）的内切圆半径， 轴截面面积， 轴截面半周长，所以， 所以球的表面积为． 8. 已知，为正实数，且，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用约束条件代换分子中的常数“1”，将分式拆分为“倒数和”形式，再通过“1的代换”（乘以）构造基本不等式结构，最终用基本不等式求最小值. 【详解】由，得， ， 而， 因为正实数，则，当且仅当时取等， 又，即当时，取得最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 与向量平行的单位向量为 C. 若与的夹角为钝角，则的取值范围为 D. 当时，向量在向量上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【详解】选项 A，，令 ，即 ，解得 ，A 正确； 选项 B， ，与 平行的单位向量有同向、反向两个， 即，B 错误； 选项 C，夹角为钝角的条件：① 数量积小于 0，② 两向量不反向共线， 由 ，得 ； 若与 共线，则，解得 （此时夹角为 ，不属于钝角，需排除）， 因此 的取值范围是 ，而非 ，C 错误； 选项 D，当 时，，，，故向量 在 上的投影向量为 ，D 正确. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与该双曲线交于，两点，则（ ） A. 到渐近线的距离为 B. 的最小值为 C. 若，在左、右两支上，则直线的斜率的取值范围为 D. 若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据双曲线的标准方程得到，，，及渐近线的方程．对于A，根据点到直线的距离公式计算即可判断；对于B，分①直线交于双曲线的左右两支和②直线交于双曲线的右支两种情况分析，进而得到的最小值即可判断；对于C，结合题意直线的斜率的绝对值小于，计算即可判断；对于D，根据圆的性质，及双曲线的定义即可判断． 【详解】由题意可得，，， 所以，，渐近线的方程为，即， 对于A，到渐近线的距离为，故A错误； 对于B，若直线交于双曲线的左、右两支，显然当，为左右交点时，取得最小值，此时，，则最小值为， 若直线交于双曲线的右支，显然当直线垂直于轴时，取得最小值，此时，，则最小值为， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，由渐近线方程的斜率为，当直线的斜率的绝对值小于时，过的直线与双曲线交于，两点在左、右两支上， 此时直线的斜率的取值范围为，故C正确； 对于D，设内切圆圆心为，内切圆与，，相切于点，，， 则，，， 因为，所以， 令的横坐标为，则，解得， 所以若在左支上，则的内切圆的圆心的横坐标恒为，即为定值，故D正确． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 的最小值为 C. 当时， D. 点在底面内，当时，点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断ABC的真假；确定点的轨迹，再求其长度，可判断D的真假. 【详解】以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，，，. 设，，， 所以，则. 对A，，， 由. 即为中点时，.故A正确； 对B，，，. 所以， 所以当时， 取得最小值，为.故B正确； 对C，由（舍去）或，所以当时，.故C错误； 对D，因为点在底面内，且，所以. 由. 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的圆弧， 其长度为.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，含的项的系数为________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理通项公式求解指定项系数，首先写出二项展开的通项，确定式子中，整理得到通项中的指数表达式；再根据目标，建立方程求出对应的值，把代回通项，依次计算组合数、的幂次与的幂次，合并得到该项系数即可. 【详解】∵二项展开通项公式：， 又∵ ，， ∴， 令 的指数 ，得 ， 将 代入通项：， 含 项的系数为 . 13. 若直线与曲线相切，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得， 则，即切点坐标为， 把代入直线可得，解得. 14. 随机抛一枚质地均匀的硬币6次，定义数列满足：记事件“对于任意，均有，且”，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用古典概型结合组合数公式计算求解. 【详解】事件A满足6次抛硬币正面、反面各出现3次，且任意前n次正面出现次数不少于反面出现次数， 有； ； ； ； ， 符合条件的情况有5种，总样本数为， 故， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． （1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； （2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）方法一：利用独立事件的概率公式求解即可； 方法二：利用对立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可. 【小问1详解】 记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件． （方法一）． （方法二：间接法）． 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ． 故的分布列如下： 0 1 2 3 . 16. 如图，和所在平面垂直，且，，． （1）证明:． （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点作垂直于的延长线于点F 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 平面， ． ，，平面， 平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）过点作垂直于的延长线于点，由面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可证明； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则令，解得，． 记直线与平面所成的角为，，． 17. 在中，记，，，已知，设边上的高为． （1）若的面积为，且不是钝角三角形，求的值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的面积公式得到，从而得到，再根据余弦定理得到，进而根据余弦定理即可求出的值； （2）先根据三角形的面积公式，余弦定理，及辅助角公式得到，进而即可求出的最大值． 【小问1详解】 由，且的面积为， 则，所以， 又不是钝角三角形，所以． 在中，由余弦定理，，得， 再由余弦定理，． 【小问2详解】 由，且，则，即，所以， 又由余弦定理得， 所以，即， 所以，其中， 所以，即，即，解得， 假设能取得最大值，此时，则， 所以在中，当时，即，即时，取得最大值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为． （1）求该椭圆的标准方程． （2）过该椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交该椭圆于，两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上． （3）在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：设直线． 由，消去可得， 整理可得 显然． 设，， 则， 直线，直线 将两直线方程联立可得， 即 代入，可得 因为， 代入上式，可得 所以，所以点在定直线上； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据，，求解即可； （2）设直线，与椭圆方程联立，求出两直线的交点，结合韦达定理，即可得证； （3）设，设，根据夹角公式及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为点到点的距离的最大值为3，所以． 又， 所以，． 由，得， 所以该椭圆的方程为; 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设，． 因为，，所以， 设， 由两直线的夹角公式得 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立 因为，且函数在上单调递增， 所以，即， 即的最大值为 19. 已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则称为函数的一个“伴随数列”． （1）若函数，求的一个“伴随数列”的通项公式． （2）若函数，数列，为的两个“伴随数列”，且对任意的，均有，． （ⅰ）证明：． （ⅱ）当时，判断的正负，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：由“伴随数列”的定义得，且当时， ， ①证明：由，两边取自然对数，得 ， ②证明：要证，只需证， 又因为，整理得，所以即证当时，， 构造函数，则， 函数在上为减函数，在上为增函数， 故，从而． 综上，得证． （ⅱ）当时，为负， 证明：构造函数， ， 则，故在上单调递增， 又，所以当时，，，，即 ， 由题意得，因为，令，则 ， 所以 ， 又，所以， 易知在上单调递增，则，即，证毕. 【解析】 【分析】（1）由“伴随数列”的定义以及即可求解； （2）（i）先证，再证，构造函数，对求导，求解的单调性，即可求解； （ii）构造函数，对求导，求解的单调性， 得到，由题意可得，令，再由的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由“伴随数列”的定义得，所以 【小问2详解】 （ⅰ） 略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $