精品解析：江苏省苏州实验中学太湖科学城校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

实验中学太湖校2026级高一年级10月考数学卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 设集合，，若，则由实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 13. 已知函数满足 ，若，则________. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 如图所示，为美化校园环境，学校计划将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，扩建后点落在上，点落在上，且满足，对角线恰好经过点．已知原矩形花坛中米，米． （1）若扩建后矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； （2）求扩建后矩形花坛的面积的最小值，并求出此时的长度； （3）记命题：的长度落在区间内；命题：矩形花坛的面积小于平方米．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学太湖校2026级高一年级10月考数学卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 2. 已知，设，则与的值的大小关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项是自然数集，仅包含0和正整数，无法覆盖所有形如​的数（比如属于但不属于自然数集）； B选项是整数集，仅包含整数，同样无法覆盖分数（比如​属于但不属于整数集）； D选项是实数集，实数中还包含无理数（比如，无法表示为两个整数的比值，不属于）； 因此集合就是有理数集. 4. 设集合，，若，则由实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，此时，，满足题意； 若，则，解得， 当时，则，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足题意； 若，则，解得或； 当时，满足题意； 当时，，，满足题意； 综上所述：由实数构成的集合为. 5. 已知函数，则“”是“函数的定义域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求解函数定义域为时参数的取值范围，再通过判断两个范围的等价性确定条件类型. 【详解】若函数的定义域为，则不等式对任意恒成立，分情况讨论： 当时，不等式化为，对任意恒成立，满足要求； 当时，为二次函数，需满足， 解得，所以定义域为的充要条件就是，和题设给出的条件完全等价. 因此“”是“函数的定义域为”的充要条件. 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用已知不等式的解集为，得到，同时得到的两个根，再利用根与系数的关系得到，，再代入求解即可 【详解】的解集为，，的两个根为，，， 所以不等式， 即， 解得. 故选：B. 7. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式可得，代入结合一元二次不等式解法计算求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，即， 令，得，解得或（舍去）， 所以的最小值为，当且仅当时等号成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式的性质、作差法和举反例逐一判断即可. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误： 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，，则，故C错误； 对于D，， 因为，，则，所以，故D正确． 10. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 11. 若正实数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为 D. 有最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解D，利用不等式成立的条件即可求解B. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B：因为，当且仅当，即时取等号，这与均为正实数矛盾，故B错误， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D，=，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 13. 已知函数满足 ，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】换元法先求解出的解析式，然后代入到解析式即可求解出的值. 【详解】令，则，所以 ，所以 ， 因为 ，解得. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）利用得，解出即可. 【小问1详解】 当时，，， 根据并集的概念可得， 所以或； 【小问2详解】 由，，得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合和分情况列不等式（组）求解即可. （2）由是的充分不必要条件得到是的真子集，结合和分情况列不等式（组）求解即可. 【小问1详解】 若时， ①当时，即，可得； ②当时，需满足或， 解得（舍）或，即. 所以时，实数的取值范围为或． 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，所以是的真子集． ①当时，有，可得； ②当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围为． 17. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【小问1详解】 为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. 【小问2详解】 若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 18. 如图所示，为美化校园环境，学校计划将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，扩建后点落在上，点落在上，且满足，对角线恰好经过点．已知原矩形花坛中米，米． （1）若扩建后矩形的面积大于平方米，求的长的取值范围； （2）求扩建后矩形花坛的面积的最小值，并求出此时的长度； （3）记命题：的长度落在区间内；命题：矩形花坛的面积小于平方米．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）长度的取值范围是. （2）当米时，矩形花坛面积最小，最小值为平方米 （3） 【解析】 【分析】（1）设的长为米，求解矩形的面积，再由矩形的面积大于平方米，即可求解； （2）利用矩形的面积公式列出解析式，再借助基本不等式计算即可得； （3）先求解命题对应的不等式，再由是的充分不必要条件，即区间是的真子集，即可求解. 【小问1详解】 设的长为米，由可知定义域为， 则米．由，可得，因此， 代入，解得， 故矩形的面积为：， 由题意，整理得，解得或， 结合定义域，得．故长度的取值范围是． 【小问2详解】 将面积函数变形；，由基本不等式， 对，有， 当且仅当，即时等号成立．因此， 即当米时，矩形花坛面积最小，最小值为平方米． 【小问3详解】 先求解命题对应的不等式：，整理得， 解得．结合定义域，命题对应， 因为是的充分不必要条件，所以区间是的真子集， 故有，解得．故实数的取值范围是． 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $