2026-2027学年人教版九年级数学期中模拟卷

【备战期中】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷 2027中考新考纲题型结构 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级第25章~第27章 5．难度系数：0.67。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，不是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 3．抛物线的最大值是（     ） A．1 B． C．4 D． 4．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为（     ） A． B． C． D． 5．如果反比例函数（为常数，且）的图象分布在第一、三象限，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 0 1 0 … 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为xm，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 10．如图是二次函数的图象，直线与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论：①；②；③；④若对于的任意值都有，则；⑤当为定值时，若变大，则线段变长．其中正确的结论是（     ） A．①②④ B．①② C．①④ D．②④ 第二部分（非选择题 共120分） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．方程的根为_________． 12．若是方程的一个根，则的值为__________． 13．一元二次方程的根是___________． 14．抛物线的顶点坐标是_____． 15．已知函数是关于的二次函数，则的取值范围是___． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 17．在对某物体做功一定的情况下，此物体在力的方向上移动的距离（米）与力（牛）成反比例函数关系，其图象如图所示．当物体在力的方向上移动的距离不超过米时，的取值范围为______． 18．若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“倍值点”，如：，，都是“倍值点”．若对于任意的实数，抛物线上总有两个不同的倍值点，则的取值范围是________． 三、解答题：本题共8小题，共96分。 19．解方程 (1) (2) 20．某中学劳动教育实践活动中，同学们在一块平方米的校园农场上种植玉米．经试验发现，每平方米种植株时，每株产量是千克；每平方米每增加株，平均每株产量减少千克；每平方米最多种植株．设每平方米增加株． (1)增加后每平方米有_________株玉米，单株产量为_________千克．（用含的代数式表示） (2)如果这块农场的玉米总产量为千克，则每平方米应种植多少株？ 21．已知二次函数 ． (1)指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当 时， 随 的增大而___________；当 时， 随 的增大而___________． 22．已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． (1)若，，求c的值； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 23．如图，双曲线与直线交于，两点，轴于，且． (1)点的坐标为________，点的坐标为________． (2)当时的取值范围是________；当时，的取值范围是________． (3)求的面积． 24．新定义探究：函数的“迁移中心” 对于函数（a、b、h为常数，且），变形可得，称点为该函数图象的“迁移中心”．例如的迁移中心为． (1)①函数的迁移中心是 ； ②在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出函数的大致图象（小方格的边长为1）． 观察图象可知，函数的对称中心是点 （写出点的坐标）； (2)若函数图象的“迁移中心”为，且该函数图象由函数的图象平移得到，求此函数的解析式； (3)若直线与（2）中函数图象交于P、Q两点，点P的横坐标为p，点Q的纵坐标为q，求代数式的值． 25．已知抛物线，为抛物线的顶点． (1)如图1，抛物线经过点 ①求抛物线的解析式； ②若在第一象限下方的抛物线上有点B，使最大，求出点B的坐标； (2)将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2）交轴于、两点，点为x轴上方抛物线上的一个动点，直线、分别交轴于、两点，求的最大值（用含的式子表示）． 第4页（共5页） 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 《【备战期中】2026-2027学年九年级数学期中模拟卷》答案讲解 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B B A C D C B 1．A 【分析】需求一元二次方程两根之和，利用根与系数的关系可直接计算，无需解方程求根． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得． 2．C 【分析】抓住一元二次方程是整式方程的核心特征，优先判断含分式的选项，再验证其余选项． 【详解】解：A．、B．、D．均为一元二次方程，不符合题意． C．是分式方程，不是一元二次方程，符合题意． 3．C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，取得最大值． 4．B 【详解】解：原抛物线解析式为， 向右平移2个单位长度，将替换为，得， 再向上平移3个单位长度，得. 5．B 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数中的符号与图象所在象限的对应关系即可得出结果． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴根据反比例函数的图象性质可得． 6．A 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 7．C 【分析】先利用表格中的点坐标，根据抛物线的对称性逐一判断个结论的正误，统计正确结论的数量，选出对应选项． 【详解】解：∵和时的值均为， ∴抛物线的对称轴为直线，故②正确． ∵与关于直线对称，且时， ∴时，即抛物线与轴交点为，故①正确． ∵和时， ∴方程的根为和，故③正确． ∵抛物线顶点坐标为，且时， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或，故④错误． 综上，正确的结论共个． 8．D 【分析】利用平移思想，将道路平移至矩形边缘，把分散的六块试验田拼成一个大矩形，表示出新矩形的长和宽，根据面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路宽为， 利用平移法，将两条纵向道路和一条横向道路分别平移到矩形的边缘，此时试验田合并为一个长为，宽为的矩形， 由试验田总面积为，得． 9．C 【分析】分和两种情况，结合反比例函数增减性求的最小值，列不等式求解． 【详解】解：将代入，得 分两种情况讨论： ①当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而减小，且， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 得， 解得，符合条件； ②当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而增大，且，， ∴，且当时，取得最小值，最小值为 要使，需，即， ∵， ∴，结合，得 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得， 解得，结合，得， 综上，的取值范围是或． 10．B 【分析】根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴； ∴，，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴ 解得：；②正确， ∵， ∴， 由图像可知：， ∴， 即：；③错误； ∵对于的任意值都有， ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即：， ∵二次函数图像经过点， ∴， ∴该二次函数的表达式可化为：， 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小， ∴线段变短；⑤错误， 综上，正确的有①②． 11．， 【分析】提取公因式对左边因式分解，即可求出方程的根. 【详解】解：原方程， 提取公因式得， ∴ 或 ， 解得 ，. 12． 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程，即可得出的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得，即， 解得． 13． 【详解】解：∵， ∴，即或， 解得 ，． 14． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的顶点坐标为． 15． 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为，可得 ， 解得． 16． 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 17． 【分析】利用待定系数法求出反比例函数的关系式，再根据列不等式解答即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 由图象可知，图象经过点， ， 解得， ∴函数关系式为， ∵ ∴， 解得． 18．/ 【分析】根据新定义得倍值点在直线上，抛物线总有两个不同的倍值点说明联立后的方程对任意总有两个不相等的实根，转化为关于的二次不等式恒成立问题求解． 【详解】解：∵倍值点满足纵坐标是横坐标的倍， ∴所有倍值点都在直线上． ∵对任意，抛物线总有两个不同的倍值点， ∴联立有两个不同的解， 消去整理得： 该方程有两个不相等的实数根对任意恒成立，因此判别式恒成立， 对任意实数恒成立， ∵该式是关于的二次函数，二次项系数为，函数图象开口向上，要使函数值恒大于0，需要与横轴没有交点，即， ∴令该二次函数的判别式， ，即， 对应方程的两个根是，，因为二次项系数为正，抛物线开口向上，要使函数值小于0，解集在两个根之间，即． 19．(1)， (2)， 【分析】（1）移项、两边同除以2，再直接开平方即可； （2）先因式分解得，即可求得答案． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同除以2，得， ， 即，； （2）解：因式分解，得， ，或， ，． 20．(1)， (2)每平方米应种植株 【分析】（1）根据原有每平方米株数加增加株数列总株数，依据每增株单株减产千克，用原单株产量减去减产重量，列出对应代数式； （2）利用总面积乘每平方米株数再乘单株产量列总产量方程，求解后结合每平方米最多种株的限制舍去不合理解，算出每平方米种植株数； 【详解】（1）解：增加后每平方米株数：，单株产量：； （2）解：由题意得：， 整理得， 即， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去， （株）． 答：每平方米应种植株． 21．(1)开口向下，对称轴 轴(或直线),顶点 (2)减小，增大 【详解】（1）解：∵二次函数 中， ∴函数图象的开口向下，对称轴为 轴(或直线)，顶点坐标为； （2）解：∵函数图象的开口向下，对称轴为 轴， ∴当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大． 22．(1) (2)的值为或 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之积直接计算的值； （2）根据抛物线开口向上且对称轴在轴右侧的性质，分类讨论对称轴与区间的位置关系，结合最值差列方程求解，舍去不符合范围的解即可． 【详解】（1）解： ∵ 抛物线与轴交点为，，且，， ∴ 由一元二次方程根与系数的关系得， ∴ ； （2）∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ， ∴ ， 分情况讨论： ① 当，即时， ∵ 在范围内，随的增大而减小， ∴ （时取得），（时取得）， ∵ 最大值与最小值的差为， ∴ ， 解得， ∵ ，与矛盾， ∴ 该情况舍去； ② 当，即时， ∵ 抛物线开口向上， ∴ 最小值在对称轴处取得，， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 整理得， 解得，； ∵ ， ∴ 符合条件， 当，即时， ∵ 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴ （时取得）， 由题意得：， 解得， ∵ ， ∴ 符合条件； 综上所述，的值为或 23．(1)， (2)或；或 (3) 【分析】（1）根据，结合的几何意义得出，联立双曲线和一次函数解析式，解方程组即可求出、两点坐标； （2）根据图象，结合、两点坐标即可得出时的取值范围；求出时的值，结合图象即可得出时，的取值范围； （3）设交轴于，根据一次函数解析式求出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，轴 ∴， 解得， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴，， 联立双曲线和一次函数解析式得，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴由图象可知，时的取值范围是或； 当时，， 解得， ∴当时，的取值范围是或． （3）解：如图，设交轴于， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴． 24．(1) ；，对称中心为 (2) （或） (3) 【分析】（1）① 对照定义比较系数得 、、，直接写出迁移中心；② 将函数式变形为 ，明确双曲线由 平移得到，列表描点画图，由双曲线的中心对称性读出对称中心； （2）先求 的迁移中心 ，由“中心从 平移到 ”确定平移方式，写出平移后的解析式并化成标准形验证； （3）设 、，把双曲线与直线都化为 、 的关系式，联立后利用两交点对应的 值之积整体代换，避免求 、 的具体值． 【详解】（1）解：① 在 中，，，分母 ，故 ， 所以迁移中心为 ． ② ， 其图象由 的图象向左平移 1 个单位、向上平移 1 个单位得到，是两支双曲线． 列表如下： 描点连线可得图象（图象分两支，无限接近直线 和 ）． 由双曲线的中心对称性可知，对称中心为 ． （2）解： 可写成 ，即 ，，，迁移中心为 ． 新图象的迁移中心为 ，由 平移到 ，故图象向左平移 2 个单位、向上平移 2 个单位， 得 ． 验证：，，，，符合定义． 所以所求函数解析式为 ． （3）解：由（2），函数图象满足 ． 设 ，，则双曲线为 ；直线 即 ． 联立得 ，即 （，方程有两个不相等的实数根）． 设交点 对应 ，交点 对应 ，则 ． 点 的横坐标为 ，则 ；点 的纵坐标为 ，则 ． 所以 ． 【点睛】① 迁移中心是 ，分母须化成 的形式：，，易误写为 ； ② 平移方向与中心对应：中心 平移到 是左移 2、上移 2，分母是 而不是 ； ③ 第（3）问中 、 含参数 ，不能（也不必）分别求出具体值，须设 、 整体代换，利用 消去 ． 25．(1)①；② (2) 【分析】（1）①因为抛物线经过点，所以把点代入，解出即可求抛物线的解析式； ②求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，设，，则，表示出，再用配方法取面积最大即可； （2）将抛物线绕顶点旋转，旋转后的抛物线的解析式为，,，设，求出直线的解析式和直线的解析式，得到，，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴把点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ②∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为，代入点和， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴，交于点， 设，，则， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，此时点坐标为． （2）解：如图， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点， ∵将抛物线绕顶点旋转， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 令，则， 解得，或， ∴,． 设点，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， 同理可求直线的解析式为， ∴， ∴， ， ， ∴当时，有最大值． 答案第14页（共15页） 答案第15页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $