期中培优：一元二次方程的实际应用5种高频考点培优专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中培优：一元二次方程的实际应用5种高频考点培优专项训练 期中培优：一元二次方程的实际应用5种高频考点培优专项训练 考点目录 传播问题与增长率问题 营销问题 与几何图形有关的问题 动态几何问题 握手、循环赛问题 考点一 传播问题与增长率问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）随着绿色出行理念的推广，某市今年月份新能源汽车的销量为辆，月份达到辆，且月平均增长率相同．求这个月平均增长率． 【答案】这个月平均增长率为 【分析】设这个月平均增长率为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这个月平均增长率为， 由题意得 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个月平均增长率为． 例2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）为提高本校学生阅读率，让书香成为校园最亮眼的名片，校图书馆内开展“全校阅读周”文化活动． 据统计，第一天进馆人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第五天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1)进馆人次的日平均增长率为． (2)校图书馆不能接纳第五天的进馆人次，理由如下： ∵由（1）得进馆人次的日平均增长率为， ∴第五天进馆人次为（人次）． ∵， ∴校图书馆不能接纳第五天的进馆人次． 【分析】（1）根据第一天与第三天的进馆人次，结合日平均增长率相同的等量关系列一元二次方程求解； （2）利用求得的日平均增长率计算第五天进馆人次，与图书馆每日接纳上限对比得出结论． 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以，进馆人次的日平均增长率为． （2）略 例3．（26-27九年级上·福建龙岩·开学考试）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 【答案】 每轮传染中平均一个人传染个人. 【分析】设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感，根据经过两轮传染后，有人患流感，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． 变式1．（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 变式2．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）大自然是人类赖以生存发展的基本条件，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．绿色是大自然的底色，我国坚持科学开展大规模国土绿化行动，不断扩大森林面积、提升森林质量．某校连续三年组织师生参加义务植树活动，植树量逐年增加，第一年共植树棵，第三年共植树棵．求该校植树棵数的年平均增长率． 【答案】该校植树棵数的年平均增长率为． 【分析】设年平均增长率为未知数，根据第一年与第三年的植树量关系列方程，结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为． 由题意得． 化简得． 解得，． ∵植树量逐年增加，增长率为正． ∴不符合题意，舍去． 答：该校植树棵数的年平均增长率为． 变式3．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． (1)求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； (2)随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 【答案】(1)该风景区游客人数的月平均增长率为． (2)按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到72万人． 【分析】（1）设风景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）根据题意，求出10月份月增长率，再列方程进行计算即可． 【详解】（1）解：设风景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解得：；（负值，不合题意，舍去）， 答：风景区游客人数的月平均增长率为； （2）由（1）可知：10月份月增长率应为， 那么10月份接待游客为（万）， 答：按照估计风景区10月份接待游客人数将达到万人． 考点二 营销问题 例1．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为元时，平均每月售出台；若每台小风扇的售价下降元，则每月多售出台． (1)若每台小风扇的售价为元，则每月可卖出________台． (2)该商店决定降价清库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）根据售价下降额与销售量增量的对应关系计算总销售量； （）设每台小风扇降价元，以总利润为等量关系列一元二次方程，求出即可求解． 【详解】（1）解：∵原售价为元，现售价为元， ∴售价下降金额为（元）， ∵每台小风扇的售价下降元，每月多售出台， ∴每月多售出台数为（台）， ∵原每月售出台， ∴每月可卖出（台）； （2）解：设每台小风扇降价元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴降价后售价为元， 答：当每台小风扇的售价定为元时，每月利润为元． 例2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）为在校园商贸街中赢得更大收益，小益带着组员进行了市场调研，调研发现，某文化用品商店的每个文具袋的售价比进价多8元，一个文具袋的进价与售价之和为56元，每天可售出200个，如果每个文具袋涨价1元，每天就会少卖5个． (1)该文具袋的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变，同时使得销量尽可能大的条件下，若每天销售文具袋所得的销售利润为2160元，该文具袋每个应涨价多少元？ 【答案】(1)该文具袋的进价为24元，售价为32元 (2)该文具袋每个应涨价4元 【分析】（1）设一个文具袋进价为元，则一个文具袋售价为元， 根据题意，得，解方程即可． （2）设每个文具袋涨价元，则每天少卖个，实际卖个，每个文具袋获利元，根据题意，得，解方程即可． 【详解】（1）解：设一个文具袋进价为元，则一个文具袋售价为元， 根据题意，得， 解得， 故 答：该文具袋的进价为24元，售价为32元． （2）解：设每个文具袋涨价元，则每天少卖个，实际卖个，每个文具袋获利元， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 使得销量尽可能大，故舍去， 故符合题意， 答：该文具袋每个应涨价4元． 例3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； (2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 【答案】(1)第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为 (2)当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元 【分析】（1）设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为，根据第一周的销量为 50 件和第三周的销量为 72 件建立方程求解即可； （2）设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元，则每件的利润为元，销量为件，再根据总利润等于每一件的利润乘以销量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为， 由题意得，， 解得：或（舍去）， 答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为； （2）解：设当该坦克模型每件降价元时，商场第四周销售该坦克模型可获利 1300 元， 由题意得，， 整理得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1300元． 变式1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）某水果店销售荔枝，每斤进价20元．当售价为每斤30元时，每天可售出200斤；经市场调查，售价每上涨1元，每天销量减少10斤．设售价上涨x元． (1)涨价后每斤利润为________元，每天销量为________斤（用含x的代数式表示）； (2)若该店想每天获得利润2250元，求此时荔枝的售价； (3)请判断（2）中符合条件的售价是否唯一，并说明理由． 【答案】(1)， (2)35元 (3)解：符合条件的售价是唯一的．理由如下： 根据题意，得， 此时， 故方程有两个相等的实数根， 故售价是唯一的． 【分析】（1）设售价上涨x元，售价为每斤元，每斤可盈利元，每天可售出斤，求解即可． （2）根据题意，总利润=每斤利润乘以总销售斤数，构造方程解答即可． （3）根据一元二次方根的判别式，解答即可． 【详解】（1）解：设售价上涨x元，售价为每斤元，每斤可盈利元，每天可售出斤． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 解得， 故． 此时荔枝的售价为35元． （3）解：略． 变式2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）某特产专卖店销售一种特产，其进价为每千克8元，按每千克20元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克． (1)若每天的销售量为200千克，则每千克特产的售价为__________元； (2)专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1500元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元？ 【答案】(1)16 (2)每千克特产应售价为14元 【分析】（1）根据每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克求解即可； （2）设每千克降价x元，根据利润的计算方法建立方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：∵每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克， ∴要降低的价格为（元）， ∴降价之后为（元）； （2）解：设每千克降价x元， 根据题意得， 解得，， ∵要使销售量尽可能大，售价应更低， ∴， ∴每千克特产应售价为（元）． 变式3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）国庆节期间，成都市某景区销售“熊猫”主题纪念币，每件成本为50元，经市场调研，该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)若该景区国庆节当天销售这种纪念币共获利12000元，求该纪念币当日的销售单价． 【答案】(1) (2)当获利12000元时，该纪念币的销售单价是70或80元 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意，， 解得， 答：当获利12000元时，该纪念币的销售单价是70或80元． 考点三 与几何图形有关的问题 例1．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ 【答案】金色纸边的宽应是1分米． 【分析】设金色纸边的宽应是x分米，根据整个挂图的面积是80平方分米列方程求解． 【详解】解：设金色纸边的宽应是x分米， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去） 答：金色纸边的宽应是1分米． 例2．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）某乡村草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需要设计一款底面积为的有盖长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．在纸板的四个角分别剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余纸板折叠后，盒盖与盒底全等．工作人员按要求设计了一款基础裁剪方案（如图1），并借助提出了优化裁剪方案（如图2）．两种方案中剪去的正方形边长相等，两种方案折叠得到的包装盒底面积、体积均相同，指出：按照方案2折叠后，包装盒的表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 请你解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求快递包装盒的表面积； (2)通过计算说明对方案2“表面积更小”的评价是否准确？ 【答案】(1) (2)解：如图：∵ ，，底面积等于， ∴，解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴如图：当， 时，满足条件， ∴，， ∴包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积． ∵， ∴对方案2“表面积更小”的评价准确． 【分析】（1）如图：根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积等于长方形硬纸板的面积减去正方形面积与长方形面积的和，据此列代数式并化简即可； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积等于长方形硬纸板的面积减去正方形面积与长方形面积的和，分别计算出两种方案的表面积，然后对比即可验证． 【详解】（1）解：如图：由题意可得， 由题意可得，，， ∴，， ∴包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积． （2）略 例3．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【详解】（1）解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． （2）解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 变式1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在空地中修筑两条互相垂直且等宽的小路（两条小路分别与矩形的一组对边平行），其余部分铺设草坪． (1)设小路的宽为，用含的代数式表示草坪的面积； (2)若草坪的面积为，求小路的宽． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把小路移到矩形的相邻的两边处，再进一步表示草坪的边长与面积即可； （2）利用矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设小路的宽度为m． ∴草坪的面积为：． （2）解：由题意得， 化简得， 解得，， 因为大于空地的宽，不合题意，舍去 所以． 答：小路的宽度为． 变式2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，某农场准备利用一面墙（墙可用长度为）和总长的木栏，围成一个如图所示的矩形养鸡场，其中与墙垂直的一边长为． (1)用含的代数式表示与墙平行的一边长； (2)若养鸡场的面积为，求的值． 【答案】(1)与墙平行的一边长为m (2)9 【分析】（1）根据图形列代数式； （2）根据养鸡场的面积为，列方程解答即可． 【详解】（1）解：与墙垂直的一边长为， 则与墙平行的一边长为m； （2）解：由题意得 即 解得，． 因为墙长15m 所以 即 所以不合题意，舍去 故的值为9． 变式3．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）某部电影火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院该部电影的首日票房为5千万元，随着观影人数的不断增多，第三日的票房达到千万元． 素材2 某商家生产了一批该电影周边盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，该长方体盒子可通过在长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形（如图），然后折叠成一个有盖的盒子制成，已知长方形硬纸板的长、宽分别为，． (1)求该影院这部电影票房的日均增长率； (2)若盲盒的底面面积是，求盲盒的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出增长率，根据首日票房和第三日的票房建立方程求解即可； （2）设剪去的正方形的边长为，则盲盒的底面是一个长为，宽为的长方形，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该影院这部电影票房的日均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该影院这部电影票房的日均增长率为； （2）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：盲盒的高为． 考点四 动态几何问题 例1．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）如图，矩形中，，点P从A开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动． (1)出发几秒时的面积为？ (2)出发几秒时的长度为？ 【答案】(1)秒 (2)秒 【分析】（1）先分别表示出，再由三角形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）先分别表示出，再由勾股定理列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点走完所花时间为；点走完所花时间为； 两点同时停止运动的时间为， 设出发秒时的面积为，则、， 在矩形中，，则， ， 即， ，解得或（，舍去）， 即出发秒时的面积为； （2）解：设出发秒时的长度为，则、， 在矩形中，，则， 在中，由勾股定理可得，则， ，即， 解得或（不合题意，舍去）， 即出发秒时的长度为． 例2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． (1)用含t的代数式分别表示 ． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）因为点P、Q的运动速度和起始位置已知，所以用路程=速度×时间的关系，结合的总长，可直接写出的表达式． （2）因为矩形内角为直角，所以是直角三角形，如果已知的长度，那么可利用勾股定理列关于t的方程求解． （3）如果要求的面积，那么先确定和中边上的高，即的长度，再用三角形面积公式列方程，求解后结合t的取值范围判断解是否符合要求． 【详解】（1）解：∵点P从A向B以运动， ∴t秒后， ∵， ∴； ∵点Q从B向C以运动， ∴t秒后． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，是直角三角形。 ∴， 代入，，， 得 ， 展开整理得， 因式分解为， 解得（舍去），或． （3）解：∵，， ∴． 由（1）知，， ∵， ∴ ， 整理得， 解得，或（舍去）． 例3．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： (1)______； (2)当时，求的面积？ (3)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)不能，理由如下： 如图， 点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，则：，， ∴， ∴，， 当时，，化简得：， ∵， ∴方程无解， ∴点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可． （2）当时，根据题意得求出，，进而得，根据三角形面积公式求出即可． （3）点P，Q分别在，上时，设点P，Q运动的时间是t秒，求出，，即可得，再求出，，当时，列出方程，计算，得方程无解，即可得点P，Q分别在，上时，的面积不能是面积的一半． 【详解】（1）解：如图， 根据勾股定理得：， ∴． （2）解：如图， 当时，根据题意得：，， ∴， ∴， ∴当时，的面积为1． （3）略 变式1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于? (2)的面积能否等于?说明理由． 【答案】(1)1 秒，2 秒 (2)不能，理由如下： 的总面积：， 在内部，其面积一定小于或等于，， 面积不可能达到． 【分析】（1）设运动时间为秒，写出与的代数式，利用直角三角形面积公式列出一元二次方程，解方程并检验在范围内，得到 1 秒和 2 秒． （2）先算出大三角形面积只有，小于，说明面积不可能等于． 【详解】（1）解： 从到总时间：秒， ． 运动秒后：，，． ， ． 即 解得 ，． 检验：， 都满足 ，符合题意． 答： 1 秒和 2 秒后，面积等于． （2）略． 变式2．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在的值，使得的面积等于，理由如下： ∵的面积等于， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∴方程无实数根， ∴不存在的值，使得的面积等于． 【分析】（1）首先表示出，，然后根据勾股定理列方程求解； （2）根据的面积等于，可得到关于t的方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∵，， ∴， ∵的长度等于，， ∴， ∴， 解得或； （2）略 变式3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段与的长，并直接写出的取值范围； (2)是否存在某一时刻，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在， (3)存在， 【分析】（1）根据题意列代数式，结合当点Q运动到点C时，两点停止运动，即可得出t的取值范围； （2）根据题意得出，，根据面积公式列方程求解即可； （3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得：，． ∵ ，即， ∴． （2）解：存在，，理由如下， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ． 由 得， 解得或． ∵， ∴舍去，． （3）解：矩形的面积为． ∵五边形的面积为， 则 ，即 ， 解得． ∵，而 不在范围内，舍去； 在范围内． ∴存在，． 考点五 握手、循环赛问题 例1．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 【答案】该家庭微信群一共有10人． 【分析】以总收到红包数为等量关系，结合每人发出的红包数比总人数少1，列一元二次方程求解． 【详解】解：设该家庭微信群一共有人． 每人不能抢自己发的红包，且群内其他微信群成员能收到自己发的红包， 每人发出个红包． 群内共人， 总发出红包数为个． 总收到红包数等于总发出红包数，且总收到90个红包， ． 整理得． 因式分解得， 解得，． 为正整数， 不符合题意，舍去． ． 答：该家庭微信群一共有10人． 例2．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，一共举行了28场比赛． (1)组织者应邀请多少支球队参赛？ (2)若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？ 【答案】(1)比赛组织者应邀请8支球队参赛； (2)不对，理由如下： 假设这个人算得对，设有支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么； 解得 由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数， 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对． 【分析】（1）设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，则可列方程，解方程即可，注意球队数为正整数； （2）假设支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，则可列方程，根据方程有无正整数解进行判断即可． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场， 则可列得方程， 解得，（不合题意，舍去） 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛． （2）略 变式1．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）某市每年都举行篮球赛，去年初赛阶段，共15支队伍参赛，每两队之间都比赛一场．今年，参赛的队伍比去年有所增加，组委会决定初赛阶段共安排40场比赛，并将参赛队伍平均分成4个小组，各小组每两队之间都比赛一场．问今年比去年增加了多少支队伍? 【答案】今年比去年增加了5支队伍 【分析】设每个小组有支参赛队伍，则每一个队伍比赛场，由于每两队之间都比赛一场，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可． 【详解】解：由题意可得，每个小组比赛场数为（场）， 设每个小组有支参赛队伍， 列方程得， 解得（不合题意，舍去）， ∴今年比去年增加的队伍数为（支）． 答：今年比去年增加了5支队伍． 变式2．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：一元二次方程的实际应用5种高频考点培优专项训练 期中培优：一元二次方程的实际应用5种高频考点培优专项训练 考点目录 传播问题与增长率问题 营销问题 与几何图形有关的问题 动态几何问题 握手、循环赛问题 考点一 传播问题与增长率问题 例1．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）随着绿色出行理念的推广，某市今年月份新能源汽车的销量为辆，月份达到辆，且月平均增长率相同．求这个月平均增长率． 例2．（26-27九年级上·江西九江·阶段检测）为提高本校学生阅读率，让书香成为校园最亮眼的名片，校图书馆内开展“全校阅读周”文化活动． 据统计，第一天进馆人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第五天的进馆人次，并说明理由． 例3．（26-27九年级上·福建龙岩·开学考试）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 变式1．（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 变式2．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）大自然是人类赖以生存发展的基本条件，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．绿色是大自然的底色，我国坚持科学开展大规模国土绿化行动，不断扩大森林面积、提升森林质量．某校连续三年组织师生参加义务植树活动，植树量逐年增加，第一年共植树棵，第三年共植树棵．求该校植树棵数的年平均增长率． 变式3．（26-27九年级上·江西宜春·阶段检测）随着旅游旺季的到来，江西某风景区游客人数逐月增加，7月份游客人数为25万人，9月份游客人数为36万人． (1)求从7月到9月的两个月中，该风景区游客人数的月平均增长率； (2)随着国庆节的到来，预计10月份该风景区游客人数会大幅增长，估计增长率是前两个月的月平均增长率的5倍．按照估计该风景区10月份接待游客人数将达到多少万人？ 考点二 营销问题 例1．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）南昌作为“火炉城市”之一，夏季日最高气温超．某商店销售一款便携式手持小风扇，进价为每台元，销售大数据分析表明：当每台小风扇的售价为元时，平均每月售出台；若每台小风扇的售价下降元，则每月多售出台． (1)若每台小风扇的售价为元，则每月可卖出________台． (2)该商店决定降价清库存，当每台小风扇的售价定为多少元时每月利润为元？ 例2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）为在校园商贸街中赢得更大收益，小益带着组员进行了市场调研，调研发现，某文化用品商店的每个文具袋的售价比进价多8元，一个文具袋的进价与售价之和为56元，每天可售出200个，如果每个文具袋涨价1元，每天就会少卖5个． (1)该文具袋的售价和进价分别是多少元？ (2)在进价不变，同时使得销量尽可能大的条件下，若每天销售文具袋所得的销售利润为2160元，该文具袋每个应涨价多少元？ 例3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某商场以元/件的进价购进一批坦克模型，并以元/件的售价进行销售，第一周销售件，第二、三周销售量持续上涨，第三周的销售量达到件． (1)求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率； (2)经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，通过调查发现，该坦克模型每件每降价元，周销售量就增加件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利元？ 变式1．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）某水果店销售荔枝，每斤进价20元．当售价为每斤30元时，每天可售出200斤；经市场调查，售价每上涨1元，每天销量减少10斤．设售价上涨x元． (1)涨价后每斤利润为________元，每天销量为________斤（用含x的代数式表示）； (2)若该店想每天获得利润2250元，求此时荔枝的售价； (3)请判断（2）中符合条件的售价是否唯一，并说明理由． 变式2．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）某特产专卖店销售一种特产，其进价为每千克8元，按每千克20元出售，平均每天可售出100千克，后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加25千克． (1)若每天的销售量为200千克，则每千克特产的售价为__________元； (2)专卖店销售这种特产若想要平均每天获利1500元，且销售量尽可能大，则每千克特产应售价为多少元？ 变式3．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）国庆节期间，成都市某景区销售“熊猫”主题纪念币，每件成本为50元，经市场调研，该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)若该景区国庆节当天销售这种纪念币共获利12000元，求该纪念币当日的销售单价． 考点三 与几何图形有关的问题 例1．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）小颖同学积极参加“乡情摄影”展等系列活动，将自己拍摄的一张风景照（如图1）上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边的宽应是多少？ 例2．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）某乡村草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需要设计一款底面积为的有盖长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．在纸板的四个角分别剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余纸板折叠后，盒盖与盒底全等．工作人员按要求设计了一款基础裁剪方案（如图1），并借助提出了优化裁剪方案（如图2）．两种方案中剪去的正方形边长相等，两种方案折叠得到的包装盒底面积、体积均相同，指出：按照方案2折叠后，包装盒的表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 请你解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求快递包装盒的表面积； (2)通过计算说明对方案2“表面积更小”的评价是否准确？ 例3．（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 变式1．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，某小区有一块长为、宽为的矩形空地，计划在空地中修筑两条互相垂直且等宽的小路（两条小路分别与矩形的一组对边平行），其余部分铺设草坪． (1)设小路的宽为，用含的代数式表示草坪的面积； (2)若草坪的面积为，求小路的宽． 变式2．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，某农场准备利用一面墙（墙可用长度为）和总长的木栏，围成一个如图所示的矩形养鸡场，其中与墙垂直的一边长为． (1)用含的代数式表示与墙平行的一边长； (2)若养鸡场的面积为，求的值． 变式3．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）某部电影火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院该部电影的首日票房为5千万元，随着观影人数的不断增多，第三日的票房达到千万元． 素材2 某商家生产了一批该电影周边盲盒进行销售．盲盒是一个长方体盒子，该长方体盒子可通过在长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形（如图），然后折叠成一个有盖的盒子制成，已知长方形硬纸板的长、宽分别为，． (1)求该影院这部电影票房的日均增长率； (2)若盲盒的底面面积是，求盲盒的高． 考点四 动态几何问题 例1．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）如图，矩形中，，点P从A开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当点Q到达点C时，P，Q两点同时停止运动． (1)出发几秒时的面积为？ (2)出发几秒时的长度为？ 例2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）． (1)用含t的代数式分别表示 ． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 例3．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（）．完成问题： (1)______； (2)当时，求的面积？ (3)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 变式1．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： (1)几秒后，的面积等于? (2)的面积能否等于?说明理由． 变式2．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 变式3．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动；同时点从点出发，沿边以每秒的速度向点运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段与的长，并直接写出的取值范围； (2)是否存在某一时刻，使的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点五 握手、循环赛问题 例1．（26-27九年级上·陕西延安·阶段检测）某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 例2．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，一共举行了28场比赛． (1)组织者应邀请多少支球队参赛？ (2)若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？ 变式1．（26-27九年级上·山西运城·阶段检测）某市每年都举行篮球赛，去年初赛阶段，共15支队伍参赛，每两队之间都比赛一场．今年，参赛的队伍比去年有所增加，组委会决定初赛阶段共安排40场比赛，并将参赛队伍平均分成4个小组，各小组每两队之间都比赛一场．问今年比去年增加了多少支队伍? 变式2．（25-26九年级上·河南濮阳·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $