期中培优：解一元二次方程、根据根的情况求参数、根与系数的关系、新定义问题培优专项训练-2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中培优：解一元二次方程、根据根的情况求参数、根与系数的关系、新定义问题培优专项训练 期中培优：解一元二次方程、根据根的情况求参数、根与系数的关系、新定义问题培优专项训练 考点目录 解一元二次方程 根据一元二次方程根的情况求参数 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程为背景的新定义问题 考点一 解一元二次方程 例1．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解： ∴ 解得，； （2）解： 其中 ，，， 则， ∴， 解得，． 例2．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）解方程 (1)（用配方法解方程）； (2)（用适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法解方程的步骤求解即可； （2）先将原方程化为一般式，再因式分解解方程即可． 【详解】（1）解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，； （2）解：原方程变形为 ∴ ∴或 ∴，． 例3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）解方程： (1)， (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解： ， ， 或 ， ． 变式1．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ，； (2) ，； (3) ，． 【详解】（1）解： ∴， 解得，； （2）解： ， ∴或， 解得，； （3）解： ∴或， 解得，． 变式2．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)： 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式因式分解，即可求解； （2）将方程左边整理为完全平方式，用直接开平方法即可求解． 【详解】（1）解：对原方程移项得 ， 提取公因式得 ， 可得或， 解得，． （2）原方程变形得， 开方得 ， 解得，． 变式3．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 ， （2）解： 或 ， 考点二 根据一元二次方程根的情况求参数 例1．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 例2．（26-27九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题得 ∵方程有两个不相等的实数根 ∴，即 解得． 例3．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且． 变式1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴，整理得 ， 解得 ， 综上，的取值范围是且． 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可能是（     ） A．5 B．3 C．6 D．－7 【答案】D 【分析】因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，再建立关于的不等式，求出的取值范围，再逐项对比验证即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即． A、，不符合条件； B 、，不符合条件； C 、，不符合条件； D、，符合条件． 变式3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】该方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0；方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，结合两个条件即可求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得：， 解得， 综上，的取值范围是且． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 例1．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）若、是方程的两个实数根，则_______． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，将所求式子因式分解后代入计算即可． 【详解】解：、是方程的两个实数根， 由根与系数的关系得，， 例2．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）已知、是方程的两个实数根，则_______． 【答案】8 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子因式分解后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 、是方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系可得：，. 对所求式子因式分解变形：. 将，代入得：原式． 例3．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知方程的两根为，求下列式子的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，将所求代数式变形为含两根和、两根积的形式后代入计算； （2）根据代入求值即可． 【详解】（1）解：∵方程的两根为， ∴由根与系数的关系得， ， ∴； （2）解：， 代入，得 ． 例4．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)证明：， 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． (3) 【分析】（1）把代入方程即可解答； （2）计算根的判别式，即可解答； （3）根据根与系数的关系可得，即可解答． 【详解】（1）解：方程有一个根为， ， 解得； （2）略 （3）解：根据根与系数的关系可得，， ∴， 当时，原式． 变式1．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）已知、是方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式展开后代入计算即可． 【详解】解：∵ 、是方程的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系得 ，， 展开所求代数式得， 代入计算得． 变式2．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）若，是方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∴． 变式3．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且，求k的值． 【答案】(1)证明： ∵， ∴该方程总有两个实数根； (2)或 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得：或． 变式4．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，设方程的两个根为、，求的值． 【答案】(1)的取值范围是． (2)的值为． 【分析】（1）根据题意得出，求解即可； （2）当时，一元二次方程为，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：当时，一元二次方程为， ∵方程的两个实根是和， ∴，， ∴． 考点四 一元二次方程为背景的新定义问题 例1．（25-26八年级下·安徽池州·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为2 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系与完全平方公式的变形求解； （2）利用二次根式的被开方数的非负性得到，根据两个一元二次方程的二次项系数，一次项系数以及常数项都相等判断出是一元二次方程的两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系求解； （3）根据材料3构造一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根分别为、， ∴由根与系数的关系可知：， ； （2）解：，，， ， ∵， ∴实数、可看作是方程的两个不相等的实数根 由根与系数的关系可知：， ． （3）解：∵实数、、满足、， ， ∴实数、可看作是方程的两个实数根 ， ， 解得：， 的最大值为2． 例2．（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2) 一元二次方程的“友好方程”为， 解得，， 根据以上结论，的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数， 证明如下：∵一元二次方程的两根为，， “友好方程”的两根为，， ∴， ， ∴，， 即原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． 故答案为： ，，原方程的两根与“友好方程”的两根分别互为倒数． (3)， 【分析】本题考查了新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用． （1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可； （2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可； （3）先根据“友好方程”的根的特点得出，即的两根为，，将待求方程变形为，把看作整体即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）略 （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”，即的两根为，， 则，即中或， ∴该方程的解为，． 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期末）【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】(1)2， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． （2）解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． （3）解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 变式2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为3或 【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了解一元二次方程，解题的关键是读懂题意． （1）通过解方程得到根，判断是否满足倍根关系． （2）根据因式分解形式直接得到根，结合有两个不等根和倍根条件求a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）解：方程的根为， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 又 ∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：， ∴， ∴， 情况二：， ， ， ， 经检验，和均满足， a的值为3或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：解一元二次方程、根据根的情况求参数、根与系数的关系、新定义问题培优专项训练 期中培优：解一元二次方程、根据根的情况求参数、根与系数的关系、新定义问题培优专项训练 考点目录 解一元二次方程 根据一元二次方程根的情况求参数 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程为背景的新定义问题 考点一 解一元二次方程 例1．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 例2．（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）解方程 (1)（用配方法解方程）； (2)（用适当的方法）． 例3．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）解方程： (1)， (2)． 变式1．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）用适当方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 变式2．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)： 变式3．（26-27九年级上·江苏徐州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 考点二 根据一元二次方程根的情况求参数 例1．（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D．且 例2．（26-27九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 变式1．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A． B．且 C．且 D． 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可能是（     ） A．5 B．3 C．6 D．－7 变式3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 例1．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）若、是方程的两个实数根，则_______． 例2．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）已知、是方程的两个实数根，则_______． 例3．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知方程的两根为，求下列式子的值． (1)； (2)． 例4．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有一个根为，求m的值． (2)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根 (3)已知是方程的两个根，在（1）的条件下，求的值． 变式1．（26-27九年级上·黑龙江·阶段检测）已知、是方程的两个实数根，则_______． 变式2．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）若，是方程的两个根，则的值为_____． 变式3．（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且，求k的值． 变式4．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)当时，设方程的两个根为、，求的值． 考点四 一元二次方程为背景的新定义问题 例1．（25-26八年级下·安徽池州·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，则此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． (2)已知不相等的两个实数、满足，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 例2．（25-26九年级上·四川自贡·期末）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”___________； (2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根___________，___________；根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为___________，证明你的结论； (3)已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根． 变式1．（25-26九年级上·山东济南·期末）【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 变式2．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $