精品解析：湖北武汉市武钢三中2026-2027学年上学期高一年级第一次月考数学试卷

数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 全集，集合，图中阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知集合，，，其中有2个元素，有6个元素，且.则满足，且为的真子集的集合的个数为（ ） A. 7 B. 6 C. 15 D. 14 3. 已知，，，，若，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为．则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 如果集合只有一个元素，则实数的值是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 10. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数满足，则_________． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 14. 若存在实数，对任意的，不等式恒成立，则的取值集合是______． 四、解答题 15. （1）设集合，，求，． （2）解不等式； 16. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 17. 已知二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）画出函数的简图并写出该函数的值域； （3）解关于的不等式． 18. 已知函数，． （1）若a为负数，且关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求a的取值范围 （2）求关于x的不等式yx的解集； （3）若且方程有两个正实数根，，求的最小值． 19. 定义有限集的元素个数为，如，则．设集合，其中．对集合，定义它的“镜像集合”为．若，则称为的“镜离集”；若还满足，则称为的“完美镜离集”．记集合中所有元素之和为． （1）当，时，判断是否为的“完美镜离集”，并说明理由； （2）证明：若是的“镜离集”，则； （3）当时，求所有满足的的“完美镜离集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 全集，集合，图中阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由Venn图可知，阴影部分表示集合，进而可求解. 【详解】由Venn图可知，阴影部分表示集合， 由， 得， 所以或， 故选：D 2. 已知集合，，，其中有2个元素，有6个元素，且.则满足，且为的真子集的集合的个数为（ ） A. 7 B. 6 C. 15 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题可得，其中为的真子集，据此可得答案. 【详解】设，因为，且为的真子集， 则，其中为的真子集，从而满足条件的的个数即为相关集合的个数， 则的个数为. 3. 已知，，，，若，则（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合相等定义结合分类讨论可得答案. 【详解】因，则两集合中元素相同. 若，此时，不满足集合的互异性； 若或.注意到当时，，不满足集合的互异性. 综上可得：. 4. 设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 5. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合 所以，当时，，此时成立， 当时，由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为 故选：A 6. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出当时，即可得到当时的值域需包含，从而得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以当时，即； 要使函数的值域为， 所以当时的值域需包含， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：D 7. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 8. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为．则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】依题意集合的所有非空子集可以分成4种情况，分别分析4种情况中，所有元素乘积，综合即可得答案. 【详解】依题意集合的所有非空子集为可以分成4种情况： （1）含元素0的子集一共有个，这些子集中所有元素乘积； （2）不含元素0，含有元素，且含有其他元素的子集共有个； （3）不含元素0，不含有元素，且含有其他元素的子集共有个； （4）只含有元素的子集只有1个，此时. 其中（2）（3）中除元素外元素是一一对应的，则乘积互为相反数，故的和为0， 综上所述，. 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 命题“，”的否定是， C. 如果集合只有一个元素，则实数的值是 D. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题综合考查同一函数的判定、全称命题的否定、集合元素个数的求解、含参二次式恒成立问题，需逐一分析各选项判断正误. 【详解】选项A：，与的定义域均为， 对应法则完全一致，是同一个函数，表述正确，不符合题意； 选项B：全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论， 原命题的否定应为，而非，B表述错误，符合题意； 选项C：当时，方程为一次方程，仅有1个解，集合只有一个元素； 当时，二次方程判别式，解得，此时集合也只有一个元素， 故的取值为或，C表述错误，符合题意； 选项D：函数定义域为说明对任意恒成立， 当时，恒成立，符合要求；当时，，解得， 故实数的取值范围是，D表述错误，符合题意. 10. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 又，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，当时，，不成立， 故D错误； 故选：BC 11. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数满足，则_________． 【答案】 0 【解析】 【详解】取，可得． 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可. 【详解】由，得，所以的定义域为， 令，得，所以的定义域为， 故答案为：. 14. 若存在实数，对任意的，不等式恒成立，则的取值集合是______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简不等式，转化为两个不等式组，结合二次函数图象与一次函数图象分析确定满足条件的解． 【详解】存在实数，对任意的，不等式恒成立， 等价于或， 整理得①或②， 令，，， 则不等式①②等价于的图象夹在和之间， 令，解得，即，， 的对称轴为，设点关于直线的对称点为点，则， 对任意的，函数的图象必须夹在和图象之间， 所以，即，故． 四、解答题 15. （1）设集合，，求，． （2）解不等式； 【答案】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，；当 时，. （2）. 【解析】 【详解】（1）由题意知， 当时，，则，； 当时，，则，； 当时，，则，； 当时，，则， 故当时，；当时，； 当时，为；当 时为；当时为. （2）移项并分解： ， 得， 用数轴穿根法得 16. 某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为． （1）用含有的代数式表示； （2）当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）， （2）当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解析】 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 17. 已知二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）画出函数的简图并写出该函数的值域； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） ，值域. （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图象即可. （3）由（2）可得，分段解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，设， 则， 整理得，即， 则，解得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，定义域为R， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以， 综上，的值域为， 的图象如图， 【小问3详解】 由（2）可得， 当，由，可得：，解得：， 当，由，可得：，解得： 综上，不等式的解集为 18. 已知函数，． （1）若a为负数，且关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求a的取值范围 （2）求关于x的不等式yx的解集； （3）若且方程有两个正实数根，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）． 【解析】 【分析】（1）通过因式分解解出的解集，通过题干条件有3个整数解确定a的范围； （2）通过讨论a的取值范围确定不等式的解集； （3）根据韦达定理计算出两根和与两根积，根据题干所给正根建立不等式，利用基本不等式求得所得式子的最小值． 【小问1详解】 由； 因为a为负数，故图象开口向下； 故，即，解得； 因为解集中恰有3个整数，由范围可得整数为2,1,0； 故，解得； 综上a的取值范围为； 【小问2详解】 ，即； ①当时，恒成立，解集为； ②当时，； i）当时，即，解得时， 不等式的解集为； ii）当时，即时，恒成立，解集为； ③当时，必有， 故不等式的解集为； 综上：时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 【小问3详解】 由可得，，即； ， 因为方程有两个正根，，则，；解得； 因为， 由； 因为，故，故， 当且仅当时，即时，等号成立； 故的最小值为． 19. 定义有限集的元素个数为，如，则．设集合，其中．对集合，定义它的“镜像集合”为．若，则称为的“镜离集”；若还满足，则称为的“完美镜离集”．记集合中所有元素之和为． （1）当，时，判断是否为的“完美镜离集”，并说明理由； （2）证明：若是的“镜离集”，则； （3）当时，求所有满足的的“完美镜离集”． 【答案】（1）是的“完美镜离集”，理由如下： 因为， 由可得，解得； 故； 由镜像集合的定义可知；因为， 故；故且； 故是的“完美镜离集”． （2）证明：由可得，解得； 又因为，则，根据“镜像集合”定义， 可以把的元素分为组：， 每组和为； 若是的“镜离集”，则，即中不能同时有组集合中的两个元素， 因为共分为组，每组至多选一个元素，所以； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出全集与，验证交集为空集，并集为全集； （2）把元素分成个镜像元素对，镜离集每组最多取1个，故元素个数不超过； （3）时分成4组镜像对，由条件列式算出集合元素总和，列举得到两个符合条件的集合． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，； 可将中的元素分成4组：； 因为； 联立，解得或21； 所有符合题意的集合有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $