湖北省黄石市第二中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

湖北省黄石市第二中学20262027学年高一（上)第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列图形可作为函数图象的是() A。 B 2.已知-3∈{d+4a,a,则实数a=() A.-1或-3B.-3 C.-1 D.1或-3 3.“关于x的一元二次方程x2-5x+2=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A.m<0 B.m<-2 C.m>0 D.m<3 4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(3,5)，则不等式cx2-bx+a>0的解集是() B（nw c传 D. 5.下列命题为真命题的是() A.2-5<6-V5 B.若ab≠0且a<b,则上1 a b C.若a>b,c>d,则a-c>b-d D.若1<x-y<3,-2<x+y<1,则-9<2x+4y<2 高一数学第1页（共4页） 6.当0<m<1时，不等式1+，3≥2a-5（a∈Z)恒成立，则整数a的最大值为() m'1- A.5 B.6 C.7 D.8 7.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k],即[k]={5n+kn∈Z, k=0,12,3,4.则下面选项正确的为() A.2026∈[2] B.-2027∈[2] C.a∈[3]，b∈[4]，则a+b∈[2] D.整数a,b属于同一类的充分不必要条件是a-b∈[O] 8.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为I6,把△ACD沿AC折叠，CD折叠后与AB交于点E,设 AB=x,△BCE的面积为S,则S关于x的解析式为() A.S=48-4x-128(4<x<8) B.S=48-4x-128(0<x<8) 1 c.S=4x+128-48(4<x<8) D.S=96-8x-256(0<r<8) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.命题“x>0,x2-2x>0”的否定是x>0,x2-2x≤0” B.集合{x|y=x2}与集合{(x,y)川y=x2)是同一个集合 C.集合A={礼，3}，B={xx+2=0},若AUB=A,则符合条件的实数m的取值集合是 2引 D.M-eN。eN,则M的子集个数为16 10.已知f(+1)=x+2,则下列选项中正确的有() A.f(x)=x2-2x+3 B.函数y=f(x)与8(t)=t-2t+3(t≥1)是同一个函数 c.函数y=+2的定义域是[10)u(0,+m) D.若函数h(x)= 1 的定义域为R,则实数a的取值范围是[O,4) √ax2+r+1 高一数学第2页（共4页） 11.已知a>1,b>1,且a+b=4,则下列选项中正确的有() A.ab的最小值为4 B.+2的最小值为1+2互 a b 2 C.√a+√b的最大值为22 1 D. 的最小值为} a-1'b-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 1 12.已知函数f(x)= x+x>0,若f(@=2,则a= x2-1,x≤0 13.某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课.甲班共55名学生，每人至少报了上述 培训课中的一门.已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30,25,20，其中既报了羽毛球 培训课又报了乒乓球培训课的有13人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓 球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数 是 14.若关于x的不等式x2-(3a+1)x+3a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知函数f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x+3,f(0)>0. (1)求函数f(x)的解析式： 8x2-1 (2)求G(倒fP+Lf 的值域。 16.(本小题15分) 设函数f(x)=x2-(a+3)x+3a（a>0). (1)当a=1时，求f(x)在区间[3,4]的最小值： (2)解关于x的不等式：f(x)>0: (3)设，名是关于x的方程fx)=0的两个根，求书+，8 的最小值。 x1+x3 17.(本小题15分) 一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板 面积的比应不小于15%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一间办公室的地板面积为100m,且窗户的面积比地板面积的20%少6n,则这间办公室的 采光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ 高一数学第3页（共4页） (2)若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证 明你的结论 18.（本小题17分) 已知全集V=R,集合A={2s0, 集合B={x|a-1<x<2a+2}. x-10 (1)当a=3时，求An(CB): (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (3)命题q:x∈B,x∈A,若q是真命题，求实数a的取值范围. 19.(本小题17分) 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：abeR,a+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成 立.我们从不等式㎡+b≥2b出发，可以得到一个非常优美的不等式一柯西不等式.柯西不等式的 一般形式为： a,4,,4,b,b,…,b∈R，且bb…b≠0， (g++…+G)+G++公)2(ab+a,b+…+ab,)},当且仅当4===4时，等号成立. b b2 b (1)若x+2y+3z=14,求x2+y2+z2的最小值： (2)己知x>0,y>0,且3Wx+4Vy≤a√x+y恒成立，求实数a的取值范围； (3)求√72x+1+√4-x+√2(5-x)的最大值. 高一数学第4页（共4页） 湖北省黄石市第二中学2026~2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形可作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则实数 （　　） A． 或 B． C． D． 或 3．“关于 的一元二次方程 有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 4．若关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 5．下列命题为真命题的是（　　） A． B．若 且 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 6．当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，．则下面选项正确的为（　　） A． B． C．，，则 D．整数 属于同一类的充分不必要条件是 8．设矩形 （）的周长为 ，把 沿 折叠， 折叠后与 交于点 ．设 ， 的面积为 ，则 关于 的解析式为（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（　　） A．命题“，”的否定是“，” B．集合 与集合 是同一个集合 C．集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D．，则 的子集个数为 10．已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A． B．函数 与 （）是同一个函数 C．函数 的定义域是 D．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 11．已知 ，，且 ，则下列选项中正确的有（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数 ，若 ，则 　　　　　　． 13．某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共 名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为 ，，，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有 人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有 人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有 人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是　　　　　　． 14．若关于 的不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是　　　　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分） 已知函数 是一次函数，且 ，． （1）求函数 的解析式； （2）求 的值域． 16．（本小题15分） 设函数 （）． （1）当 时，求 在区间 的最小值； （2）解关于 的不等式：； （3）设 ， 是关于 的方程 的两个根，求 的最小值． 17．（本小题15分） 一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板面积的比应不小于 ，而且这个比值越大，采光效果越好． （1）若一间办公室的地板面积为 ，且窗户的面积比地板面积的 少 ，则这间办公室的采光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ （2）若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证明你的结论． 18．（本小题17分） 已知全集 ，集合 ，集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围； （3）命题 ：，，若 是真命题，求实数 的取值范围． 19．（本小题17分） 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当 时，等号成立．我们从不等式 出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式．柯西不等式的一般形式为： ，且 ， ，当且仅当 时，等号成立． （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 恒成立，求实数 的取值范围； （3）求 的最大值． 高一数学　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省黄石市第二中学2026~2027学年高一（上）第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列图形可作为函数图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数图象要求：对定义域内任意一个 ，都有唯一的 与之对应（“一个 对应一个 ”）． 【解答】 A中，当 时有两个 与之对应，不是函数图象； B中，曲线在 轴左侧“回头”，对某些 有两个不同的 与之对应，不是函数图象； C中， 时对应无数个 （竖直线段），不是函数图象； D中，每个 至多对应一个 ，可以作为函数图象． 故选D． 2．已知 ，则实数 （　　） A． 或 B． C． D． 或 【答案】C 【分析】由 属于集合，分“”与“”两种情况讨论，并用集合中元素的互异性检验． 【解答】 若 ，则 ，集合为 ，不满足互异性，舍去； 若 ，则 ，解得 或 （舍去）， 当 时，，集合为 ，满足互异性，符合题意． 所以 ．故选C． 3．“关于 的一元二次方程 有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求“有一个正根和一个负根”的充要条件，再在选项中找它的真子集（充分不必要）． 【解答】 因为方程是一元二次方程，所以 ． 设两根为 ，则 ，得 ； 此时 恒成立，故“有一个正根和一个负根”的充要条件是 ． 因为 ，而 不能推出 （如 时 ，但 不成立）， 所以 是充分不必要条件．故选B． 4．若关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由解集得 且 是方程 的两根，用韦达定理把 用 表示． 【解答】 因为 的解集为 ，所以 ，且 是 的两根． 由韦达定理：，，得 ，． 所以 ． 因为 ，所以 ，即 ，解得 ． 故选A． 5．下列命题为真命题的是（　　） A． B．若 且 ，则 C．若 ，，则 D．若 ，，则 【答案】D 【分析】逐项判断，A、B、C 均可举反例或作差比较，D 用换元后整体求范围． 【解答】 A项：因为 ，，且 ，所以 ，A错误； B项：取 ，，则 且 ，但 ，B错误； C项：取 ，，，，则 ，C错误； D项：设 ，，则 ，，且 ，． ，由 ， 得 ，D正确． 故选D． 6．当 时，不等式 （）恒成立，则整数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用基本不等式求 的最小值，再由恒成立转化为关于 的不等式． 【解答】 因为 ，所以 ，，且 ． ， 由基本不等式 ， 所以 ，当且仅当 （即 ）时取等号． 由恒成立得 ，即 ， 又 ，所以 的最大值为 ．故选B． 7．在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”，记为 ，即 ，．则下面选项正确的为（　　） A． B． C．，，则 D．整数 属于同一类的充分不必要条件是 【答案】C 【分析】把“类”理解为“被 5 除的余数相同”，逐项用除法验证余数． 【解答】 A项：，所以 ，A错误； B项：，所以 ，B错误； C项：设 ，（），则 ，所以 ，C正确； D项： 属于同一类等价于 ，即 ，这是充要条件，不是充分不必要条件，D错误． 故选C． 8．设矩形 （）的周长为 ，把 沿 折叠， 折叠后与 交于点 ．设 ， 的面积为 ，则 关于 的解析式为（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设 ，由周长得 ；折叠后 ，在 中用勾股定理把 用 表示． 【解答】 设 ，则 ，即 ． 由 得 ，即 ；又 得 ，故 ． 由折叠知 ，又 得 ，所以 ，故 ． 设 ，则 ，．在 中，， 解得 ，所以 ． 于是 ． 把 代入，， 所以 ，． 故选A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（　　） A．命题“，”的否定是“，” B．集合 与集合 是同一个集合 C．集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D．，则 的子集个数为 【答案】AD 【分析】逐项判断：A 考查特称命题的否定，B 考查集合元素的属性，C 注意 的情形，D 先求 的元素个数． 【解答】 A项：特称命题的否定是全称命题，， 的否定为 ，，A正确； B项： 是数集， 是点集，二者不是同一个集合，B错误； C项：由 得 ．当 时 ，符合；当 时 ，由 或 得 或 ， 所以 的取值集合是 ，C错误； D项：由 且 得 ，即 ，所以 ，其子集个数为 ，D正确． 故选AD． 10．已知 ，则下列选项中正确的有（　　） A． B．函数 与 （）是同一个函数 C．函数 的定义域是 D．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是 【答案】ABCD 【分析】先用换元法求 的解析式与定义域，再逐项判断定义域、对应关系与恒成立问题． 【解答】 令 ，则 ，， 所以 ，即 （）． A项：解析式 正确，A正确； B项：（）与 （）定义域相同、对应关系相同，是同一个函数，B正确； C项：由 且 得 且 ，定义域为 ，C正确； D项：需 恒成立．当 时 恒成立；当 时需 ，即 ；当 时开口向下，不可能恒成立．故 ，D正确． 故选ABCD． 11．已知 ，，且 ，则下列选项中正确的有（　　） A． 的最小值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】BCD 【分析】A 考查 的最大值（不是最小值），B、C、D 用基本不等式或柯西不等式，注意等号条件． 【解答】 A项：由 得 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值为 （当 时 ，无最小值），A错误； B项：， 当且仅当 （即 ，）时取等号，B正确； C项：，所以 ，当 时取等号，C正确； D项：因为 ，由柯西不等式 ， 所以 ，当 ， 时取等号，D正确． 故选BCD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知函数 ，若 ，则 　　　　　　． 【答案】 或 【分析】分 与 两种情况代入对应解析式求解，并检验是否在相应范围内． 【解答】 当 时，由 得 ，即 ，符合 ； 当 时，由 得 ，即 ，结合 得 ． 综上， 或 ． 13．某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课．甲班共 名学生，每人至少报了上述培训课中的一门．已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为 ，，，其中既报了羽毛球培训课又报了乒乓球培训课的有 人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有 人，既报了乒乓球培训课又报了篮球培训课的有 人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数是　　　　　　． 【答案】 【分析】用三个集合的容斥原理：． 【解答】 设报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生分别组成集合 ，． 由容斥原理，， 即 ，解得 ． 所以同时报了这三门培训课的学生人数是 ． 14．若关于 的不等式 恰有两个整数解，则 的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】因式分解得两根为 与 ，按 与 的大小分类讨论，数出区间内的整数． 【解答】 原不等式即 ，两根为 与 ． ①当 ，即 时，解集为 ，其中的整数为 ， 恰有两个整数解需 ，解得 ； ②当 ，即 时，解集为 ，其中的整数为 ， 恰有两个整数解需 ，解得 ； ③当 ，即 时，不等式为 ，无解，不合题意． 综上， 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（本小题13分） 已知函数 是一次函数，且 ，． （1）求函数 的解析式； （2）求 的值域． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设 ，比较系数并用 取舍；（2）先化简分母，再用分离常数法求值域． 【解答】 （1）设 （），则 ， 所以 且 ． 当 时，，，，符合题意； 当 时，，，，不合题意，舍去． 故 ． （2）因为 ，所以 ， ， 所以 ． 令 ，则 ． 因为 ，所以 ，， 所以 ，即 的值域为 ． 16．（本小题15分） 设函数 （）． （1）当 时，求 在区间 的最小值； （2）解关于 的不等式：； （3）设 ， 是关于 的方程 的两个根，求 的最小值． 【答案】（1）；（2）当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 ；（3） 【分析】（1）配方看对称轴与区间的位置关系；（2）因式分解后按两根大小分类；（3）用韦达定理化为关于 的函数，再用基本不等式． 【解答】 （1）当 时，，对称轴为 ， 所以 在 上单调递增，最小值为 ． （2）． 当 时，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，解集为 ． （3）由韦达定理，，， 所以 ． 令 ，则 ， 由基本不等式 ，当且仅当 （即 ）时取等号， 所以 ，即最小值为 ． 17．（本小题15分） 一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板面积的比应不小于 ，而且这个比值越大，采光效果越好． （1）若一间办公室的地板面积为 ，且窗户的面积比地板面积的 少 ，则这间办公室的采光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ （2）若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证明你的结论． 【答案】（1）不达标，至少还需要增加 ；（2）采光效果变好，证明见解析 【分析】（1）先算出窗户面积与比值，再与 比较；（2）用“同时增加相同的量”作差比较比值大小． 【解答】 （1）窗户面积为 ， 窗户面积与地板面积的比为 ，所以这间办公室的采光不达标． 设窗户面积至少再增加 ，则 ，解得 ， 即窗户面积至少还需要增加 ． （2）采光效果变好．证明如下： 设原来的窗户面积为 ，地板面积为 ，且 ，同时增加的面积为 ， 则 ． 因为 ，，，所以 ，即 ， 所以比值变大，采光效果变好． 18．（本小题17分） 已知全集 ，集合 ，集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围； （3）命题 ：，，若 是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】先化简集合 ；（1）直接求补集与交集；（2），注意 的情形；（3） 为真即 ． 【解答】 由 得 且 ，所以 ． （1）当 时，，， 所以 ． （2）由“ 是 的必要不充分条件”得 ． ①当 时，，即 ，此时 且 ，符合题意； ②当 时，，由 得 且 ，解得 ． 又 为开区间，不可能等于 ，故 ． 综上， 的取值范围是 ． （3） 为真命题即 ． 此时 ，即 ，且需 与 同时成立， 解得 ，符合 ， 所以 的取值范围是 ． 19．（本小题17分） 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当 时，等号成立．我们从不等式 出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式．柯西不等式的一般形式为： ，且 ， ，当且仅当 时，等号成立． （1）若 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 恒成立，求实数 的取值范围； （3）求 的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】柯西不等式的直接应用：把待求式写成“平方和之积 ≥ 内积的平方”，并检验等号能否取到． 【解答】 （1）由柯西不等式，， 所以 ， 当且仅当 ，即 ，， 时取等号，最小值为 ． （2）由柯西不等式，， 所以 ，即 ， 当且仅当 ，即 时取等号． 由 恒成立得 ， 所以 的取值范围是 ． （3）由柯西不等式， ， 所以原式 ． 当且仅当 时取等号， 由 解得 ，此时 ，等号成立， 所以最大值为 ． 高一数学（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $湖北省黄石市第二中学20262027学年高一（上)第一次月考数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列图形可作为函数图象的是() 4A. 【答案】D 【分析】函数图象要求：对定义域内任意一个x,都有唯一的y与之对应(“一个x对应一个y”). 【解答】 A中，当x>0时有两个y与之对应，不是函数图象： B中，曲线在y轴左侧回头”，对某些x<0有两个不同的y与之对应，不是函数图象： C中，x=0时对应无数个y(竖直线段)，不是函数图象： D中，每个x至多对应一个y,可以作为函数图象。 故选D. 2.已知-3∈{+4a,a,则实数a=() A.-1或-3B.-3 C.-1 D.1或-3 【答案】C 【分析】由-3属于集合，分“-3=α”与“-3=+4a”两种情况讨论，并用集合中元素的互异性检验. 【解答】 若a=-3,则+4a=9-12=-3,集合为{-3，-3}，不满足互异性，舍去： 若a2+4a=-3,则2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3（舍去)， 当a=-1时，c2+4a=-3,集合为{3，-1}，满足互异性，符合题意. 所以a=-1.故选C. 高一数学（答案）第1页（共11页） 3.“关于x的一元二次方程2-5x+2=0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件是() A.m<0 B.m<-2 C.>0 D.<3 【答案】B 【分析】先求“有一个正根和一个负根”的充要条件，再在选项中找它的真子集（充分不必要）· 【解答】 因为方程是一元二次方程，所以m≠0. 设两根为X,西，则5=2<0，得m<0: 此时△=25-8>0恒成立，故“有一个正根和一个负根”的充要条件是<0. 因为<-2→m<0,而m<0不能推出<-2（如m=-1时m<0,但<-2不成立）， 所以m<-2是充分不必要条件.故选B. 4.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(3,5)，则不等式cx2-br+a>0的解集是() 〔( 别 .（G 【答案】A 【分析】由解集得a<0且3,5是方程2+bx+c=0的两根，用韦达定理把b,c用a表示. 【解答】 因为ax2+bx+c>0的解集为(3,5)，所以a<0,且3,5是ax2+bx+c=0的两根. 由韦达定理：3+5=，3x5=9,得b=-8a,c=15a, 所以cx2-bx+a=15ax2+8ax+a=a(15x2+8x+1)>0. 因为a<0,所以15+8x+1<0,即(3x+5x+0,解得-号x<-号 故选A. 5.下列命题为真命题的是() A.2-√5<√6-√5 B.若ab≠0且a<b,则 C.若a>b,c>d,则a-c>b-d D.若1<x-y<3,-2<x+y<1,则-9<2x+4y<2 【答案】D 【分析】逐项判断，A、B、C均可举反例或作差比较，D用换元后整体求范围. 【解答】 高一数学（答案）第2页（共11页） 5256-5=65且2+6+5，所以2-56-5，A错 A项：因为2-5=1 B眼：取a=1,0=2,则地0且a<0,但日-1名分B绩误 C项：取a=4,b=3,c=5,d=1,则a-c=-1<b-d=2,C错误： D项：段u=-少，=+少，则x=”=2,且1<u3,21 2x+4y=(u+v)+2(v-)=3-u,由-6<3v<3,-3<-u<-1得-9<3-u<2,D正确. 故选D. 6.当0<m<1时，不等式1+，3≥2a-5(aZ)恒成立，则整数a的最大值为() m 1-m A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】先用基本不等式求L+,3的最小值，再由恒成立转化为关于a的不等式 `m1-m 【解答】 因为0<m<1,所以m>0,1-m>0,且m+(1-m)=1. 由基本不等式3+1-"≥25， 1-m m 所以+，3≥4+25，当且仅当1-m=3加（即m=5-山）时取等号. m'1-m 2 由恒成立得2a-5≤4+2W5,即as9+25 2 6.23 又aeZ,所以a的最大值为6.故选B. 7.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k],即[k]={5n+kn∈Z, k=0,1,2,3,4.则下面选项正确的为() A.2026∈[2] B.-2027∈[2] c.a∈[3]，be[4],则a+b∈[2] D.整数a,b属于同一类的充分不必要条件是a-b∈[o] 【答案】C 【分析】把类”理解为“被5除的余数相同”，逐项用除法验证余数. 【解答】 A项：2026=5×405+1，所以2026∈[1]，A错误； B项：-2027=5×(-406)+3，所以-2027∈[3]，B错误： 高一数学（答案）第3页（共11页） C项：设a=5m+3,b=5n+4(m,n∈Z)，则a+b=5(+n+1)+2,所以a+b∈[2]，C正确： D项：a,b属于同一类等价于51(a-b),即a-b∈[O],这是充要条件，不是充分不必要条件，D错误.。 故选C. 8.设矩形ABCD(AB>BC)的周长为I6,把△ACD沿AC折叠，CD折叠后与AB交于点E,设 AB=x,△BCE的面积为S,则S关于x的解析式为() A.S=48-4r-128 (4<x<8) B.S=48-4x-128 (0<x<8) C.S=4+128-48（4<x<8) D.S=96-8x 256(0<x<8) 【答案】A 【分析】设BC=y,由周长得x+y=8;折叠后AE=CE,在Rt△BCE中用勾股定理把CE用x表示. 【解答】 设BC=y,则2(x+y)=16,即y=8-x. 由AB>BC得x>8-x,即x>4;又y>0得x<8,故4<x<8. 由折叠知∠DCA=∠DCA,又AB‖CD得∠DCA=∠CAB,所以∠DCA=∠CAB,故AE=CE. 设CE=t,则AE=t,BE=x-t.在Rt△BCE中，t2=(x-t)2+y2, 解得1=+少，所以BB=x-=卫 2x 2x 于是s-BC) 4x 把y=8-x代入，x2-y2=(x-y)(x+)=8(2x-8), 所以S-8=)8(2x=8】.48=)(x=4)=48-4x-128,4<x<8. 4x 故选A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分) 9.下列说法正确的是() A.命题“3r>0,x2-2x>0”的否定是“∀x>0,x2-2x≤0” B.集合{xy=x2}与集合{(x,y)川y=x)是同一个集合 C.集合A={1,3},B={x|x+2=O},若AUB=A,则符合条件的实数m的取值集合是 {2 D.M-eNeN,则M的子架个数为1G 【答案】AD 高一数学（答案）第4页（共11页） 【分析】逐项判断：A考查特称命题的否定，B考查集合元素的属性，C注意B=②的情形，D先求M 的元素个数 【解答】 A项：特称命题的否定是全称命题，x>0,x2-2x>0的否定为x>0,x2-2x≤0，A正确： B项：{x|y=x}=R是数集，{(x,y)川y=x2}是点集，二者不是同一个集合，B错误： C项：由4心B=A得BCA.当m=0时B=Q,符合：当m≠0时x=2,由-2=1或3得 m=-2或 3 所以m的取位集合是Q-2} C错误； D项：由6∈N且x∈N得6-x∈么，23,6，即x=5,43,0,所以M={0,34,5},其子集个数为 6-x 24=16,D正确. 故选AD 10.已知f(N+1=x+2,则下列选项中正确的有(） A.f(x)=x2-2x+3 B.函数y=f(x)与g(t)=t-2t+3(t≥1)是同一个函数 c.函数y-(+2）的定义域是[-10)(0，om） D.若函数h(x)= 1 的定义域为R,则实数a的取值范围是[0,4) Vax2+ax+1 【答案】ABCD 【分析】先用换元法求f(x)的解析式与定义域，再逐项判断定义域、对应关系与恒成立问题. 【解答】 令t=√+1，则t≥1，x=(t-1)2, 所以f(t)=(t-1)2+2=t2-2t+3,即f(x)=x2-2x+3（x≥1). A项：解析式f(x)=x2-2x+3正确，A正确： B项：y=f(x)(x≥1)与g(t)=t2-2t+3(t≥1)定义域相同、对应关系相同，是同一个函数，B正 确： C项：由x+2≥1且x≠0得x≥-1且x≠0，定义域为「-1,0)U(0,+o),C正确： D项：需ax2+m+1>0恒成立.当a=0时1>0恒成立；当a>0时需△=a2-4a<0,即0<a<4; 当a<0时开口向下，不可能恒成立.故0≤a<4,D正确. 故选ABCD. 高一数学（答案）第5页（共11页） 11.已知a>1,b>1,且a+b=4,则下列选项中正确的有() A.ab的最小值为4 B.+2的最小值为1+2互 a b 2 C.√a+√b的最大值为2W2 D.1+,4的最小值为9 a-1'b-1 【答案】BCD 【分析】A考查b的最大值（不是最小值），B、C、D用基本不等式或柯西不等式，注意等号条件. 【解答】 A项：由a+b=4得ab≤ a+b)2 2 =4,当且仅当a=b=2时取等号，即b的最大值为4（当a→1+ 时ab→3，无最小值)，A错误； B项：b+2_b+a+bba,1、 a+6+2ha功222Va2五+25+号=1+22 22 当且仅当a=√2b(即a=8-4W2,b=4W2-4)时取等号，B正确： C项：(a+B)=a+b+2ab=4+2d≤4+4=8，所以√a+Vb≤22，当a=b=2时取等号，C 正确； D项：因为(a-1)+(b-1)=2,由柯西不等式 (a品+a-40-02=9 所。十}当a-时取号，D确 3 故选BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.己知函数f(x)= x+片0，若fa=2,则a= x2-1,3≤0 【答案】1或-5 【分析】分α>0与a≤0两种情况代入对应解析式求解，并检验是否在相应范围内. 【解答】 当a>0时，由a+1-2得d-2a+1=0,即a=1,符合a>0: 当a≤0时，由-1=2得a2=3,即a=±V5,结合a≤0得a=-3. 综上，a=1或a=-√5. 13.某校利用课外活动时间开展了羽毛球、乒乓球、篮球培训课.甲班共55名学生，每人至少报了上述 培训课中的一门.已知报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的人数分别为30,25,20，其中既报了羽毛球 高一数学（答案）第6页（共11页） 培训课又报了乒乓球培训课的有I3人，既报了羽毛球培训课又报了篮球培训课的有8人，既报了乒乓 球培训课又报了篮球培训课的有5人，则同时报了羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生人数 是 【答案】6 【分析】用三个集合的容斥原理：A0BUC=A+B+C-AOB-AC-BnC+40B0c. 【解答】 设报羽毛球、乒乓球、篮球培训课的学生分别组成集合A,B,C,AUBOC=55. 由容斥原理，55=30+25+20-13-8-5+A⌒B∩C, 即55=49+AnB∩C,解得A∩B∩C=6. 所以同时报了这三门培训课的学生人数是6. 14.若关于x的不等式x2-(3a+1)x+3a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是 答案】[引 【分析】因式分解得两根为1与3a,按3a与1的大小分类讨论，数出区间内的整数. 【解答】 原不等式即(x-1)(x-3a)<0,两根为1与3a. ①当3>1，即a心}时，解架为13a),共中的整数为23…， .4 恰有两个整数解需3<3a≤4，解得1<a≤-； 3 ②当3a<1,即a<兮时，解集为(6a,其中的整数为0-1-2， 恰有两个整数解需-2≤3a<-1,解得-？≤a<- 3 3 ③当3a=1,即a=时，不等式为(-1<0，无解，不合题意. 综上，a的取值范围 [ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.(本小题13分) 已知函数f(x)是一次函数，且f(f(x)=4x+3,f(0)>0. (1)求函数f(x)的解析式： 8x2-1 (2)求G(x)= 的值域 fx+f(←x 高一数学（答案）第7页（共11页） 【答案】(1)f(x)=2x+1;(2) 【分析】(1)设f(x)=+b,比较系数并用f(0)>0取舍；(2)先化简分母，再用分离常数法求值 域。 【解答】 (1)设f(x)=x+b(k≠0)，则 f(f(x)=k(+b)+b=k2x+b+b=4x+3, 所以k2=4且b+b=3. 当k=2时，3b=3,b=1,f(0)=1>0,符合题意： 当k=-2时，-b=3,b=-3,f(0)=-3<0,不合题意，舍去。 故f(x)=2x+1. (2)因为f(x)=2x+1,所以f(-x)=-2x+1, [f(x]P+[f(←x)P=(2x+1)2+(1-2x)}=8x2+2, 所以o 令t=8x2≥0，则G=-1=1-3 t+2 t+2 因为t20,所以1+222,0<2≤之 所以1-，21，即c()的值玻为[ 2 t+2 16.（本小题15分) 设函数f(x)=x2-(a+3)x+3a(a>0). (1)当a=1时，求f(x)在区间[3,4]的最小值： (2)解关于x的不等式：(x)>0: (3)设马：书是关于x的方程f)=0的两个根，求西+，48的最小值。 x1+x2 【答案】(1)0；(2)当0<a<3时，解集为(-m,aU(3,+):当a=3时，解集为{x|x≠3}当 a>3时，解集为(-w,3)U(a,+0);(3)15 【分析】(1)配方看对称轴与区间的位置关系；(2)因式分解后按两根大小分类；(3)用韦达定理化 为关于a的函数，再用基本不等式. 【解答】 (1)当a=1时，f(x)=x2-4x+3=(x-2)-1,对称轴为x=2, 所以f(x)在[3,4上单调递增，最小值为f(3)=9-12+3=0. 高一数学（答案）第8页（共11页） (2)f(x)=(x-3)(x-a>0 当0<a<3时，解集为(-w,ad)U(3,+o): 当a=3时，不等式为(x-3)>0,解集为{x|x≠3}： 当a>3时，解集为(-0,3)U(a,+o) (3)由韦达定理，x2=3a,x+x3=a+3, 所以x5+48=3a+48 为+x a+31 令1=a+3>3,则3a+48-3-3)+48=+48-9, a+3 由基本不等式3+4≥244=24，当且仅当t=4(即a=1)时取等号， t 所以xx2+ 48≥24-9=15，即最小值为15. +X2 17.(本小题15分) 一般认为，现代化办公室的窗户面积必须小于地板面积，但为了保证良好的自然采光，窗户面积与地板 面积的比应不小于15%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一间办公室的地板面积为100m,且窗户的面积比地板面积的20%少6m?,则这间办公室的采 光是否达标？如果不达标，窗户面积至少还需要增加多少平方米？ (2)若办公室装修时同时增加相同的窗户面积和地板面积，办公室的采光效果是变好了还是变坏了？证 明你的结论. 【答案】(1)不达标，至少还需要增加1m；(2)采光效果变好，证明见解析 【分析】(1)先算出窗户面积与比值，再与15%比较：(2)用“同时增加相同的量”作差比较比值大小. 【解答】 (1)窗户面积为100×20%-6=14m), 窗户面积与地板面积的比为14 =14%<15%,所以这间办公室的采光不达标. 100 设窗户面积至少再增加xm',则14+x≥15%，解得x≥1， 100 即窗户面积至少还需要增加1m. (2)采光效果变好.证明如下： 设原来的窗户面积为，地板面积为f,且0<w<f,同时增加的面积为t>0, 则+t_”_f("+)-"(f+)_t(f-w) f+t f f(f+) f(f+t) 因为1>0，f>p,f+1>0,所以m>0,即+4>" f(f+t) f+1 所以比值变大，采光效果变好 高一数学（答案）第9页（共11页） 18.(本小题17分) 已知全集U=R,集合A=x2s0, 集合B={xa-1<x<2a+2}. x-10 (1)当a=3时，求An(CgB): (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围： (3)命题q:x∈B,x∈A,若g是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1){2}U[8,10):(2){aa≤-3或3≤a≤4；(3){a0<a<11 【分析】先化简集合A;(1)直接求补集与交集；(2)BA,注意B=O的情形：(3)q为真即 A∩B≠⑦. 【解答】 鱼00得(x-2x-10)≤0且x0,所以A20 (1)当a=3时，B=(2,8),CwB=(-m,2U[8,+m)； 所以An(CB)={2}U[8,10): (2)由“x∈A是x∈B的必要不充分条件”得B三A. ①当B=⑦时，a-1≥2a+2,即a≤-3，此时BSA且AzB,符合题意： ②当B≠⑦时，a>-3,由B∈A得a-1≥2且2a+2≤10，解得3≤a≤4. 又B为开区间，不可能等于A,故B≠A. 综上，a的取值范围是{aa≤-3减3≤a≤4}. (3)q为真命题即A∩B≠0. 此时B≠☑，即a>-3,且需a-1<10与2a+2>2同时成立， 解得0<a<11,符合a>-3, 所以a的取值范围是{a0<a<11}. 19.(本小题17分) 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：a,beR,a2+b≥2ab,当且仅当a=b时，等号成 立.我们从不等式㎡+b≥2b出发，可以得到一个非常优美的不等式一柯西不等式.柯西不等式的 一般形式为： a,42,…,a,b,b2,…,bn∈R,且bb…bn≠0， (G+店++G)+吲++)≥(a4+a,山++a,b),当且仅当4==…=时，等号成立. b. (1)若x+2y+3z=14,求x2+y2+z2的最小值： (2)已知x>0,y>0,且3Wx+4V)≤aVx+y恒成立，求实数a的取值范围； (3)求√72x+1+√4-x+√2(5-x)的最大值 高一数学（答案）第10页（共11页） 【答案】(1)14：(2)[5，+∞)：(3)10 【分析】柯西不等式的直接应用：把待求式写成“平方和之积≥内积的平方”，并检验等号能否取到. 【解答】 (1)由柯西不等式，(x2+y2+z2)12+2+32)≥(x+2y+3z)}=196, 所以x2+y2+z2≥196=14， 14 当且仅当于分号即=山，少=2，=3时取等号，最小值为14 (2)由柯西不等式，(3+4V四)≤(32+42)x+y)=25(x+y), 所以3W+45≤5+，即3+4正≤5. x+y 当且仅当压-5，即x:y=9:16时取等号. 3 4 由a√x+y≥3√+4V恒成立得a≥5， 所以a的取值范围是[5，+o). (3)由柯西不等式， [「V7V2x+1+14-x+23V5-x≤(7+1+2(2x+1)+(4-x)+5-x)]=10x10=100, 所以原式≤10 当且仅当2x+1_4--5时取等号， 1√2 由2x+1七4X解得x=3,此时，31=43，等号成立， 7 所以最大值为10. 高一数学（答案）第11页（共11页）