精品解析：湖北省襄阳市襄州区襄阳法龙中学教育集团2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月第一次学情检测 九年级数学试题 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解法解答即可求解． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得. ∴或， ∴． 2. 用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 【答案】C 【解析】 【详解】x2+6x+4=0， 移项，得x2+6x=-4， 配方，得x2+6x+32=－4+32， 即（x+3）2=5． 故选C． 3. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式逐一判断各方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：A．的判别式，方程无实数根，符合题意， B．的判别式，方程有两个不相等的实数根，不符合题意， C．的判别式，方程有两个不相等的实数根，不符合题意， D．的判别式，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 4. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标． 【详解】∵ ∴顶点坐标是 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法求顶点坐标是解题的关键． 6. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，“左加右减，上加下减”，直接计算平移后的解析式即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后解析式为， 故选：A． 7. 如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 抛物线与轴另一个交点是 D. 当时，有最大值3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B、D选项；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C选项． 【详解】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，当时，有最大值是3． 故A、B、D正确． 抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点是． 故C选项错误，符合题意． 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】 A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5 【答案】D 【解析】 【详解】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集： 由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）． 由图象可知：的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5．故选D． 9. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0）， ∴c=1，a﹣b+c=0． ①∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴,x＞0． ∴a与b异号． ∴ab＜0，正确，符合题意． ②∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2﹣4ac＞0． ∵c=1， ∴b2﹣4a＞0，即b2＞4a．正确，符合题意． ④∵抛物线开口向下，∴a＜0． ∵ab＜0，∴b＞0． ∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1．∴b﹣1＜0，即b＜1．∴0＜b＜1，正确，符合题意． ③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b． ∴a+b+c=2b＞0． ∵b＜1，c=1，a＜0， ∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2． ∴0＜a+b+c＜2，正确，符合题意． ⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0， 由图可知，当﹣1＜x＜x0时，y＞0；当x＞x0时，y＜0． ∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误，不符合题意． 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为0，即， 解得． 12. 若关于的方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为，然后根据根与系数的关系得到，再解一元一次方程即可． 【详解】解∶设方程的另一个根为， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个实数根为，，则，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 13. 已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（　　） A. ﹣1 B. 9 C. 23 D. 27 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根， ∴α+β=5，αβ=﹣2， ∴α2+αβ+β2=（α+β）2﹣αβ=52+2=27． 故选D． 14. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 【答案】-4 【解析】 【详解】解：由对称轴公式得=2， 求得b=-4． 故答案为：-4． 15. 关于的二次函数与轴没有交点，则的最小整数值是____________ 【答案】 【解析】 【分析】先整理二次函数为一般形式，根据二次函数定义得二次项系数不为0，再结合函数与轴无交点得判别式小于0，解不等式得到的取值范围，即可求出的最小整数值． 【详解】解：整理二次函数得： ∵ 该函数是关于的二次函数． ∴ 二次项系数不为0，即，解得． ∵ 二次函数与轴没有交点 ∴ 根的判别式 将，，代入得： 解得：． ∴的最小整数值是． 16. 抛物线上有三点，，，则、、的大小关系为____________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的水平距离越大，对应函数值越大比较大小． 【详解】解：对抛物线解析式配方得： ， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 开口向上的抛物线，点的横坐标离对称轴越远，对应函数值越大． 计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：， ∵ ， ∴ ． 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，； 【小问3详解】 解： 或 解得，． 18. 关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）且 （2）不存在符合条件的实数，理由如下： 设方程两根为， 由根与系数的关系，得， ∵方程的两个实数根的倒数和等于， ∴， ∴，即， 解得， 由（）知需满足且， ∴不符合要求， 故不存在这样的实数． 【解析】 【分析】（）根据根的判别式及二次项系数不为列不等式解答即可； （）设方程两根为，由根与系数的关系得，进而由两根倒数和为得到，即得，再结合（）的结果即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 又∵二次项系数不能为， ∴， ∴的取值范围为且； 【小问2详解】 略 19. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）第三轮将又有448人被传染 【解析】 【分析】（1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出， （2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数． 【详解】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了人， 或（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）（人． 答：第三轮将又有448人被传染． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 20. 利用一面长为米的墙和40米的篱笆围成如图所示的矩形菜地，菜地有2个1米宽的门，门用其他材料． （1）如何搭建使矩形菜地的面积为120平方米？ （2）能不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米？ 【答案】（1）当垂直于墙的篱笆长为米，平行于墙的长为米时，可使矩形菜地的面积为120平方米 （2）不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的篱笆长为米，则平行于墙的长为米，利用矩形面积求法得出答案； （2）根据根的判别式即可解答． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的篱笆长为米，则平行于墙的长为米， 可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：当垂直于墙的篱笆长为米，平行于墙的长为米时，可使矩形菜地的面积为120平方米； 【小问2详解】 解：根据题意可得 化简得， ， 则方程无解， 故不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米． 21. 已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（4，0）；（2）27 【解析】 【详解】试题分析：（1）令y=0，则有x2－2x－8＝0，解这个方程即可得A、B两点的横坐标，从而得到这两点的坐标； （2）求出抛物线顶点P坐标，再根据A、B的坐标，即可解决问题． 试题解析：（1）当y＝0时， x2－2x－8＝1， x１=4，x２=－2， ∴A（－2，0），Ｂ（4，0）， （2）y＝x2－2x－8＝（x－１）2－9， ∴P（1，－9）， ∴S＝AB×｜yＰ ｜=×[4-（-2）]×9=27. 22. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二次函数的表达式； （2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？ 【答案】（1）；（2）米． 【解析】 【分析】（1）先设这个二次函数的表达式为，再求出点A的坐标，然后利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），先令，求出点C、D的坐标，由此即可得． 【详解】（1）由题意，设这个二次函数的表达式为，且，即， 将代入得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为； （2）如图，CD即为所求， 由题意得：点C、D的纵坐标均为， 当时，， 解得或， 即， 则， 答：此时水面宽为米． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 【答案】（1）30 （2）每件衬衫降价20元，利润最大是2500元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意正确的列方程和二次函数是解题的关键． （1）设每件衬衫应降价x元，根据题意列方程求解，为了尽快减少库存，降价要取较大值； （2）设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y，根据题意可得，再化为顶点式，根据二次函数的图象和性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得， 解得， 尽快减少库存， ， 答：每件衬衫应降价30元； 【小问2详解】 解：设每件衬衫应降价x元时，商场利润为y， 由题意得， ， 当时，y有最大值，y最大， 答：每件衬衫降价20元，利润最大是2500元． 24. 如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． （1）求二次函数的解析式； （2）设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由如下： 令， 可得， ， 所以不存在这样的矩形，使它的周长为9． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，即可表示出矩形的周长p关于自变量x的函数解析式； （3）利用根的判别式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：A、D在抛物线上，点A在点D的左侧， ， 矩形在抛物线与x轴所围成的图形内， ， 抛物线的对称轴为轴， ， ， ， 令， 解得，， ； 【小问3详解】 略 25. 如图，已知抛物线的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． （1）①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； （2）点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 【答案】（1）①；点的坐标为，点的坐标为； ②或 ③的最大值为，此时点的坐标为 （2）点，点或点，点或点，点 【解析】 【分析】（1）①将点代入即可求解函数解析式，将代入即可求解A、B两点的坐标； ②分别考虑在对称轴左右两侧即可求解； ③求得直线的解析式，设点的坐标为：，进而可求点的坐标，再联立可知的长度，根据二次函数求最值即可求解； （2）分别以为对角线，为对角线，为对角线讨论即可，根据中点坐标构造方程即可求解． 【小问1详解】 解：①∵抛物线交y轴于点 将点代入得：， 解得：或（舍去）， 将代入抛物线得：， 令，得， 解得：，， ∵点A在点B的左侧 ∴点的坐标为，点的坐标为， ②由， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，y的最大值为3， ∴顶点不在范围内， 第一种情况，当区间在对称轴左侧， 则， 解得：， 此时随着的增大而增大，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 第二种情况，当区间在对称轴右侧， ， 解得：， 此时随着的增大而减小，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 综上所述，或 ③设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 设点的坐标为：， ∵轴 ∴点的纵坐标为：， 将点的纵坐标代入直线得： 则得到点的横坐标：， 则 ∴当时，取得最大值， 则的最大值为：， 则点的纵坐标为：， ∴的最大值为，此时点的坐标为， 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为， 则设点，点， 以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时， 第一种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第二种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第三种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 综上所述，满足条件的的有三组： 点，点或点，点或点，点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月第一次学情检测 九年级数学试题 （本试卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程x2+6x+4=0，下列变形正确的是（　　） A. （x+3）2=﹣4 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=5 D. （x+3）2=± 3. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与轴的一个交点是，顶点是，下列说法中不正确的是（　　） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 抛物线与轴另一个交点是 D. 当时，有最大值3 8. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【 】 A. B. C. 且 D. x＜－1或x＞5 9. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是____________． 12. 若关于的方程的一个根是，则另一个根是______． 13. 已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（　　） A. ﹣1 B. 9 C. 23 D. 27 14. 已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____． 15. 关于的二次函数与轴没有交点，则的最小整数值是____________ 16. 抛物线上有三点，，，则、、的大小关系为____________ 三、解答题 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3） 18. 关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 20. 利用一面长为米的墙和40米的篱笆围成如图所示的矩形菜地，菜地有2个1米宽的门，门用其他材料． （1）如何搭建使矩形菜地的面积为120平方米？ （2）能不能使搭建出的矩形菜地的面积为150平方米？ 21. 已知抛物线y=x2﹣2x﹣8与x轴的两个交点为A，B（A在左边），且它的顶点为P． （1）求A、B两点的坐标 （2）求△PAB的面积． 22. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数的图象，以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二次函数的表达式； （2）因降暴雨水位上升1米，此时水面宽为多少？ 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元，利润最大是多少？ 24. 如图所示，二次函数的顶点坐标为，矩形的顶点B，C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形在抛物线与x轴所围成的图形内，且点A在点D的左侧． （1）求二次函数的解析式； （2）设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）是否存在这样的矩形，使它的周长为9？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由． 25. 如图，已知抛物线的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． （1）①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； （2）点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $