精品解析： 湖北省襄阳市襄州区第十一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2025-2026学年湖北省襄阳市襄州十一中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意； B．含有两个未知数，故本选项不合题意； C．不是整式方程，故本选项不合题意； D．方程整理得x＝1，是一元一次方程，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键. 2. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，移项、再方程两边同时加上即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 3. 下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A. x2+2x﹣1＝0 B. x2﹣1＝0 C. x2+x＝﹣2 D. 2x＝3x2 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项方程的根的判别式，然后根据计算的结果分别判断根的情况． 【详解】解：A．， ∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故A不符合题意； B．＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0， ∴方程x2﹣1＝0有两个不相等的实数根，故B不符合题意； C．∵x2+x+2＝0， ∴＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴方程x2+x＝﹣2没有实数根，故C符合题意； D．∵3x2﹣2x＝0， ∴＝（﹣2）2+4×3×0＝4＞0， ∴方程2x＝3x2有两个不相等的实数根，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了一元二次方程（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 已知a，b，c为的三边长，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则为（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最根的判别式，勾股定理的逆定理，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1），方程有两个不相等的实数根； （2），方程有两个相等的实数根； （3），方程没有实数根． 熟知以上知识点是正确解决本题的关键． 由根的判别式，整理得出，由勾股定理逆定理得出的形状即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 是以为斜边的直角三角形． 故选C． 7. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 8. 如图，从一块长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小长方形的面积是原来长方形面积的一半，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得，小长方形的长为，宽为，进而根据小长方形的面积是原来长方形面积的一半列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，小长方形的长为，宽为， 则， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴， 故选：． 9. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡132张，参加活动的同学有多少？设参加活动的同学有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加活动的同学有x人，则每人需送出张贺卡，根据共送贺卡132张，可列出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设参加活动的同学有x人，则每人需送出张贺卡，根据题意得： ， 故选：． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，则，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，即异号， 当时，一次函数的图象过一三四象限， 当时，一次函数的图象过一二四象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握，则方程有两个不相等的实数根；，则方程有两个相等的实数根；，则方程有没有实数根． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，绝对值的方程求解，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，得到且进行求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：， 故答案为：． 12. 已知m是方程的根，则代数式的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根的定义：使等式成立的未知数的值，是方程的根得到：，再利用整体思想进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得： ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义．熟练掌握方程的解的定义解题的关键．本题利用了整体思想． 13. 已知实数a，b满足，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，设，则原方程转化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以． 所以或． 所以或（舍去）． 所以． 故答案为：8． 14. 的两边、的长是关于的方程的两个实数根．当为________时，四边形是菱形． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质．先根据菱形的性质得到，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可解题． 【详解】解：由题可得：， 则方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 已知实数、满足，，则的值为_______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意可知，实数是一元二次方程的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系及方程相等的两实数根解题即可． 【详解】解：依题意，实数是一元二次方程的实数根， 若，则 ； 若，则 故答案为：或2． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】（）移项，利用因式分解法解答即可； （）左式转化成完全平方式，再可以直接开平方法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得，； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴，； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∴或 ∴，； 【小问4详解】 解：，， ∵ ∴ ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键． （1）由，求出k的范围即可； （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：，，代入等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，即， ∴或， ∵； ∴． 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】（1） （2）会超过 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． 【小问2详解】 解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 19. 某市2021年底森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年底该市的绿化面积比2021年底提高了万亩．求2021年底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． 【答案】2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设2021年底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为x，根据2021年底森林和人工绿化面积为20万亩，2023年底该市的绿化面积比2021年底提高了万亩，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可． 【详解】解：设2021年底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：2021年底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程中，， ， 关于的一元二次方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及根的判别式、十字相乘法解一元二次方程及解一元一次不等式等知识，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系及解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出，即可得证； （2）利用十字相乘法因式分解求出关于的一元二次方程的解，由题意列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程可分解为， 解得， 方程有一根小于， ， 解得． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元， 根据题意得，然后解方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 22. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为______； （2）用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． （3）若实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）或 （2）最小值为， （3）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【小问1详解】 解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． 【小问2详解】 解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． 【小问3详解】 解：， ，， ，，的最小值为4． 23. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的长为，宽为； （3） 不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； 【小问3详解】 解：略． 24. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）当为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； （3）当为何值时，、间的距离等于？ 【答案】（1）当时，为等腰三角形 （2） 不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3） 【解析】 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【小问1详解】 解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖北省襄阳市襄州十一中九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程 ，下面的配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程没有实数根的是（　　） A. x2+2x﹣1＝0 B. x2﹣1＝0 C. x2+x＝﹣2 D. 2x＝3x2 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 6. 已知a，b，c为的三边长，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则为（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，从一块长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下部分四周的宽度都等于，且小长方形的面积是原来长方形面积的一半，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 9. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡132张，参加活动的同学有多少？设参加活动的同学有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于的方程是一元二次方程，则的值为 _________． 12. 已知m是方程的根，则代数式的值为 _____． 13. 已知实数a，b满足，则_________． 14. 的两边、的长是关于的方程的两个实数根．当为________时，四边形是菱形． 15. 已知实数、满足，，则的值为_______． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 19. 某市2021年底森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年底该市的绿化面积比2021年底提高了万亩．求2021年底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于，求的取值范围． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 22. 阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． （1）若代数式是完全平方式，则常数的值为______； （2）用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． （3）若实数，满足，求的最小值． 23. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． （1）求车棚的长；（用含x的代数式表示） （2）若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； （3）在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点同时出发，设运动时间为秒． （1）当为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由； （3）当为何值时，、间的距离等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $