2026-2027学年江苏省南京市玄武区九年级数学上学期期中模拟练习卷

2026-2027学年江苏省南京市玄武区九年级数学上学期期中模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．下列函数是关于的反比例函数的是（     ）． A． B． C． D． 3．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（     ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，是地球示意图，其中表示赤道，分别表示北回归线和南回归线，，点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共108分） 2、 填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．若是方程的一个根，则的值为__________． 8．若反比例函数图象的一支在第四象限，则k的取值范围是______． 9．在中，若两直角边长为、，则它的外接圆的直径为________． 10．一定质量的二氧化碳气体，其密度与体积之间成反比例关系，其图象如图所示．当时，密度的值为__________． 11．一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此扇形的面积是__________． 12．已知是方程的一个根，则代数式______． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数，与反比例函数分别交于点A，B，若的面积为10，则______． 14．如图，已知与相切于点，是的直径，且，延长交于点，若，，则点与上的点的最大距离为____． 15．如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图象经过点D，则k的值为________． 16．如图，是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点，若C为劣弧的中点，，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共11小题，满分88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知y与成反比例函数关系，且当时，．求y与x之间的函数关系式． 19．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 20．某网店于今年收购一批农产品，四月份的销售量达到袋，已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 21．在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（是常数，且），则称点，是“瞬移点”． (1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有 ．（填序号） ①点与；②点与；③点与． (2)如图，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点，是“瞬移点”． ①的值为 ； ②若的面积为4，求的值． 22．如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 23．如图，在正方形网格中，有一圆弧经过三个点． (1)请在图中标出圆心的位置； (2)若，请判断点与的位置关系，并说明理由． 24．如图所示为某新款饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)求开机后第一个周期内，加热阶段和水温下降阶段的函数表达式； (2)生活委员到校打开电源，请通过计算说明：当第一节课下课时（），同学们能否喝到不高于的温水． 25．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是“邻根方程”的为：______； ①；    ②． (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 26．数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 27．如图，在中，，，．点D是边上一动点（不与点B重合），设，过A、B、D三点作，设的半径为r．解决下列问题： (1)【特殊情形】当时，直接写出r的值； (2)【一般情形】过点O作于点E，直线于点G．设，用含m的代数式表示h； (3)【深入研究】当与直线相交时，设另一交点为F． ①随着m的变化，点O的运动路径是 的一部分（从“圆”、“直线”、“双曲线”中选择填写）； ②用含m的代数式表示，并求出当与直线相切时m的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D D B C 1．B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【详解】解：在中，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 2．C 【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义、根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，，是反比例函数，符合题意； 选项：是正比例函数，不符合题意． 3．D 【知识点】圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，列出关于m的不等式，即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， 解得． ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 5．B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】先求出反比例函数的解析式为，设的解析式为，由经过，得出的解析式为，设，由平行四边形的性质得，，根据平行四边形的面积可得，则，推出，最后代入直线求出，即可得出结果． 【详解】解：在反比例函数上， ， 解得， 反比例函数解析式为， 设直线表达式为， 将点坐标代入得， 解得， 直线表达式为， 设， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积是， ， ， ， ， ， 点在直线上， ， 解得（负值已舍去）， ， 故选：B． 6．C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、切线的性质定理、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：由切线的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 7． 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程，即可得出的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得，即， 解得． 8． 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、求一元一次不等式的解集 【分析】反比例函数比例系数小于0时，图象位于第二、四象限，根据图象一支在第四象限的条件列不等式求解即可. 【详解】解：∵ 反比例函数图象的一支在第四象限， ∴ ，解得 . 9． 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，利用勾股定理求出斜边长即可得到结果． 【详解】解：∵在中，两直角边长分别为、， ∴由勾股定理可得斜边长为， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴外接圆的直径为． 10． 2.5 【知识点】求反比例函数解析式、从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数、求反比例函数值 【分析】根据图象上的点坐标求出反比例函数的系数，确定函数解析式，再代入的值求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 图象经过点，即当时，， ∴， ∴与的函数关系式为， 当时，， 故的值为 2.5． 11． 【知识点】求扇形面积 【分析】直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形， ∴此扇形的面积是． 12． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】根据方程根的定义得到，即得，，进而得到，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴，， ∴， ∴． 13． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】因为一次函数，它们平行，我们取与轴的交点为，连接，此时因为和等底同高，就可以将的面积为10转化为的面积为10，从而求出． 【详解】解：连接， 取与轴的交点为，连接 此时 联立， 得，， 又因为点在第二象限， 所以，则的高即为 得， 14．/ 【知识点】含30度角的直角三角形、点与圆上一点的最值问题、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、利用二次根式的性质化简 【分析】连接AE，连接并延长交于点，先利用切线性质得到，结合推出垂直平分，得到，再由判定为等边三角形，求出相关线段长度，接着在中借助勾股定理算出，最后加上半径得到最大值． 【详解】解：连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 连接并延长交于点，此时为所求最大距离， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是圆的综合填空题，综合考查切线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及圆外一点到圆上点的最值模型，解题关键是掌握圆外一点到圆上点的最大距离为该点到圆心的距离加上半径． 15． 【知识点】角平分线的性质定理、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】过点分别作轴、轴、的垂线，利用角平分线的性质证明垂线段相等，从而得出点横纵坐标绝对值相等；结合勾股定理求出长，利用全等三角形对应边相等建立关于点坐标参数的方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作轴于，轴于，交的延长线于， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ， 四边形是正方形， 点，， ，， 在中，， 设，则， 点在第二象限， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，且由图可知在下方（若在上方则，此时，由得无解）， ， ， 解得， ， 反比例函数的图象经过点， ． 16．18 【知识点】圆周角定理、点与圆上一点的最值问题、根据成轴对称图形的特征进行求解、利用垂径定理求值 【分析】由垂径定理和弧的中点性质推出，利用轴对称的性质将的最小值转化为两点间的距离，计算即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，弦半径于点E，P为直径上一动点， ∴，， ∵C为劣弧的中点， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作于，延长交于点，连接， ∴，， ∴点与点关于对称， ∴， ∴， ∴点、、三点共线， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴、、三点共线时，有最小值，的最小值为点与点重合时，即最小值为， 即为的中点，时，的最小值为． 17．(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【详解】（1）解： ， ， 即，； （2）解： ， 或， ，． 18． 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】设y与x之间的函数关系式为，进一步利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意，得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为． 19．(1) 解：如图所示： (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 20．当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】先求出该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元，根据利润每袋的利润数量列方程即可求解． 【详解】解：（袋）， 该农产品每袋降价元，销售量可增加袋， 设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元， 根据题意得， 整理得， 解得（舍去），， 答：当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 21．(1)②③ (2)①；②3 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数与几何综合、根据判别式判断一元二次方程根的情况、求一次函数解析式 【分析】（1）根据 “瞬移点” 定义，2 瞬移点需要满足；依次代入每组点的坐标，分别计算纵坐标之差与倍横坐标之差，比较结果是否相等，从而判断． （2）①设交点、，根据 “瞬移点” 的关系式，再把两点代入直线解析式，作差化简得到，由两点不相同可知，两边同除这个式子求出．②过、向轴作垂线，利用面积转化得到面积等于梯形面积等于 4，代入求出，利用完全平方变形，代入计算得到． 【详解】（1）解：①点与， 设， ， ， 不是 2 瞬移点． ②点与 设 ， ， 是 2 瞬移点． ③点与 设 ， ， 是 2 瞬移点． 综上，是 “2 瞬移点” 的有 ． （2）解：①设点的坐标为，点的坐标为． 点，是 “瞬移点”， ． 点，在直线上， ，． ， 整理得 ． 点，是两个不同的交点， ，即 ．等式两边同时除以， ． ②联立，消去得，， ，， ， 有两个交点，， ，即， 又在的右侧，则， ，    如图所示， 过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，， ，在第一象限，则， ， ；    所以，， 经检验是原方程的解， ∴的值为3． 22．(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 为半径， ∴； (2)解：，理由如下， ∵，， ∴． ∵，， ∴是的中位线， ∴，． ∴， ， ∴， ∴． ∴． 【知识点】圆周角定理、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、垂径定理的推论、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）根据题意得出，确定，结合图形即可证明； （2）根据垂径定理的推论确定．再由三角形中位线的判定得出是的中位线，确定，，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可得出结果． 【详解】（1）略． （2）略． 23．(1) (2)点在的内部． 理由如下： 解：由题可知，圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、勾股定理与网格问题、判断点与圆的位置关系 【分析】（1）建立平面直角坐标系，圆心为中垂线的交点即可； （2）根据勾股定理判断半径与的大小即可． 【详解】（1）略； （2）解：由题可知点， 则可知圆心在的直线上， 连接， 设点， 则， 即 解得：， 点， 可知圆的半径为：， ∵， ∴， ∴点在的内部． 24．(1)加热阶段的函数表达式为，水温下降阶段的函数表达式为 (2)同学们能喝到不高于的温水 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求反比例函数解析式、从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）判断出时，饮水机处于第4个周期的第10分钟，则此时处于水温下降阶段，将代入反比例函数表达式求出函数值，再与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，加热阶段与是一次函数关系． 设加热阶段的函数表达式为． 因为初始水温为， 所以． 因为每分钟上升， 所以． 所以加热阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以加热阶段的函数表达式为． 由题意可知，水温下降阶段与成反比例关系． 设水温下降阶段的函数表达式为． 因为图象经过点， 所以， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 当时，， 解得． 所以水温下降阶段的函数表达式为． 综上：加热阶段的函数表达式为， 水温下降阶段的函数表达式为； （2）解：从到经过的时间为：1小时10分钟分钟． 由（1）可知，一个周期的时间为20分钟．． 所以时，饮水机处于第4个周期的第10分钟． 因为， 所以此时处于水温下降阶段． 将代入，得． 因为， 所以同学们能喝到不高于的温水． 答：同学们能喝到不高于的温水． 25．(1)② (2) (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、公式法解一元二次方程 【分析】（1）分别解出方程的根，令两根相减，根据邻根方程的定义进行判断即可得解； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值等于1，从而得到关于的方程，解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简可得，整体代入再配方可得，即可确定的最大值． 【详解】（1）解：①， ， ， ． ， ∴不符合邻根方程的定义， 不是邻根方程． ②， ， ， ， ，． ， ∴符合邻根方程的定义， 是邻根方程． （2）解：∵关于的方程（是常数）是邻根方程， ∴解方程可得：，， ， ． （3）∵关于的方程（、是常数，）是邻根方程，设两个根为、， ． ，， ， ， ． 当时，． 26．(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、通过对完全平方公式变形求值、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 27．(1) (2) (3)①直线；②；当与直线相切时 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、列代数式、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、利用垂径定理求值 【分析】（1）当时，点D、C重合，，由直径所对圆周角逆定理得是直径，求出长后除以2得到半径； （2）由垂径定理得到，结合矩形性质表示、，在和中利用勾股定理结合化简求出； （3）①建立平面直角坐标系，写出圆心O坐标用m表达，消去参数m得到一次函数关系式，判断O的运动路径为直线的一部分；②根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，得到，代入线段表达式化简得，再根据直线和圆相切的判定：圆心到直线距离等于半径，列方程求解得到． 【详解】（1）解：， 点C与点D重合， ， 是的直径， ，， ， ； （2）解：如图，连接、， 点B、D都在上，且， 点O在的垂直平分线上， ， 又， ， ，直线AC，， 四边形是矩形， ，，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，以点C为原点、为x轴、为y轴建立坐标系，则，，， 由（2）知点O到的距离为，到直线的距离为，即， 设， ， ， ， 点O在直线上运动，其路径是直线的一部分； ②直线AC，且A、F都在上， G是弦的中点，， 由（2）知，，，， ， ， 当与直线相切时， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $