2026～2027学年苏科版数学九年级上册期中模拟卷(1)

2026~2027学年九年级上学期数学期中原创模拟卷(1) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程中，属于关于 的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D　【解析】是一元一次方程；是分式方程；展开化简为 ，是一元一次方程；符合一元二次方程定义。 2．已知反比例函数 （）的图象经过点 ，则该函数图象所在的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C　【解析】由点 在图象上得 ，故图象位于第二、四象限。 3．如图，是 的直径，弦 于点 ，连接 、．若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A　【解析】因为直径 ，由垂径定理得弧 弧 ，故圆周角 。 4．用配方法解一元二次方程 ，配方后所得的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A　【解析】移项得 ，两边加 得 。 5．若点 、、都在反比例函数 （为常数）的图象上，则 、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B　【解析】因为 ，图象在第一、三象限，故 ；在第三象限内 随 增大而减小，因 ，故 ，从而 。 6．【传统文化·苏州园林】苏州古典园林中的“扇形花窗”兼具通风采光与借景之美．如图是一个扇形花窗的平面示意图，其外轮廓为扇形 ，内轮廓为扇形 （点 在 上，点 在 上）．已知 ，，，则花窗镂空区域（图中阴影部分 ）的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B　【解析】。 7．已知 、是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C　【解析】由根的定义得 ，即 ；又由韦达定理得 ，故原式 。 8．如图，在平面直角坐标系 中，以原点 为圆心的 半径为 ，反比例函数 （）的图象与 相交于 、两点（点 的横坐标大于纵坐标）．过点 作 的切线，分别交 轴、轴的正半轴于点 、．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B　【解析】连接 ，则 。由 得 ，即 ，得 。由勾股定理得 ，由面积法得 ，故 。 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请将答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9．一元二次方程 的解是 ________． 【答案】， 10．已知变量 与 成反比例，且当 时，，则 关于 的函数表达式为 ________． 【答案】 11．如图，正六边形 内接于 ，若 的半径为 ，则该正六边形的边心距 （于点 ）的长为 ________． 【答案】　【解析】为等边三角形，，故 。 12．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 ________． 【答案】　【解析】，解得 。 13．如图，点 在反比例函数 （）的图象上，过点 作 轴于点 ，点 为 轴上任意一点，连接 、．若 的面积为 ，则 的值为 ________． 【答案】　【解析】由同底等高知 ，因 ，故 。 14．【非遗工艺】苏州苏绣工坊制作一款圆锥形宫灯灯罩，已知该圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，则将该圆锥的侧面沿一条母线剪开后，所得扇形展开图的圆心角度数为 ________． 【答案】　【解析】由 ，解得 。 15．【数学文化·《九章算术》】我国古代数学名著《九章算术》中记载了“勾股容圆”问题．现有一块直角三角形木板 ，其中 ，斜边 ，其内切圆半径 （注：直角三角形内切圆半径公式为 ，其中 为直角边，为斜边）．若两直角边 、的长恰好是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ________． 【答案】　【解析】由 得两直角边之和 ；由勾股定理 得 ，故 。 16．如图，在矩形 中，，，点 是边 上的一个动点（可与端点重合），连接 ，过点 作 于点 ，连接 、．在点 从点 运动到点 的过程中，面积的最小值为 ________． 【答案】　【解析】由 知点 在以 为直径的 （半径 ）上运动。当 时，点 到 的距离最小，为 ，故 。 三、解答题：本大题共 11 小题，共 82 分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17．（本题满分 分）解下列一元二次方程： （1）；　　　　　　（2）． 【解】（1）因式分解得 ，解得 ，。（2分） （2）移项提公因式得 ，解得 ，。（5分） 18．（本题满分 分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论实数 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根 、满足 ，求实数 的值． 【解】（1），故总有两个不相等的实数根。（2分） （2）由韦达定理得 ，。代入 ，化简得 ，解得 ，。（5分） 19．（本题满分 分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 （）的图象与反比例函数 （）的图象相交于 、两点，且一次函数图象与 轴交于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于 的不等式 的解集，并求 的面积． 【解】（1）反比例函数为 ，点 ，一次函数为 。（3分） （2）解集为 或 ；点 ，。（6分） 20．（本题满分 分）如图，是 的直径，弦 于点 ，点 是弧 上一点（不与点 、重合），连接 、、． （1）求证：； （2）若 ，，求 的半径长． 【解】（1）由直径 得弧 弧 ，故等弧所对的圆周角 。（3分） （2）连接 ，则 ，设半径为 ，在 中，，解得 。（6分） 21．（本题满分 分）【新课标·尺规作图与古桥修复】苏州水乡古桥众多，某古建保护团队在修缮一座单孔圆弧石拱桥时，测绘得到圆弧形桥拱的一段残弧 （如图）． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在图中作出该圆弧桥拱所在圆的圆心 （保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接 ，取 的中点 ，过点 作 交弧 于点 ．经测量，桥拱跨度 ，拱高 ，求该古石拱桥圆弧所在圆的半径 ． 【解】（1）作弦 、（或 ）的垂直平分线，交点即为圆心 。（3分） （2）在 中，，，由 解得 。（6分） 22．（本题满分 分）【真实情境·文旅经济】苏州博物馆文创商店推出一款“江南花窗”丝绸书签．已知该书签今年 月份的销售量为 件，随着秋季文旅旺季到来，销量逐月攀升，月份的销售量达到 件，且 月、月两个月销售量的月平均增长率相同． （1）求该款书签 月、月销售量的月平均增长率； （2）已知每件书签的制作成本为 元．当售价为每件 元时，月销售量为 件．市场调研发现：每件售价在 元的基础上每降低 元，月销售量可增加 件．若文创商店计划在 月份销售该款书签获得 元的月利润，同时为了回馈游客、尽可能让利于消费者，则 月份每件书签的售价应定为多少元？ 【解】（1）设月平均增长率为 ，由 解得 ，（舍去）。（4分） （2）设每件降价 元，由 化简得 ，解得 ，。为尽可能让利于消费者，取 ，售价应定为 （元）。（8分） 23．（本题满分 分）【跨学科探究·智能生态农业】苏州洞庭山碧螺春生态育苗基地采用智能恒温营养液供给系统．在某次营养液“恒功率升温—生态缓释降温”循环测试中，营养液温度 与运行时间 的函数关系如图所示： • 当 时，为恒功率升温阶段，是 的一次函数，图象经过点 与点 ； • 当 时，为生态缓释降温阶段，是 的反比例函数，图象经过点 ． （1）分别求出当 和 时，关于 的函数表达式； （2）求当运行时间 时，营养液的温度； （3）已知碧螺春茶苗吸收微量元素的最佳营养液温度满足 ，求单次循环测试中，营养液处于最佳温度区间的持续时长． 【解】（1）当 时，；当 时，。（3分） （2）当 时，。（5分） （3）令 得 ；令 得 。持续时长为 。（8分） 24．（本题满分 分）如图，在 中，，点 在斜边 上，以点 为圆心、为半径的 与直角边 相切于点 ，分别交 、于点 、，连接 、． （1）求证：平分 ； （2）若 ，，求图中阴影部分（由线段 、与弧 围成的区域）的面积． 【解】（1）因 切 于 ，故 ，又 ，得 ，。因 ，，故 。（4分） （2）在 中，，，得 ，，故 。（8分） 25．（本题满分 分）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在 轴正半轴上，顶点 在 轴正半轴上，，．反比例函数 （）的图象经过边 的中点 ，且与边 交于点 ． （1）求反比例函数的表达式及点 的坐标； （2）连接 、、，求 的面积； （3）在备用图中，设点 是线段 上的一个动点（不与点 、重合），过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 ；点 是边 上的任意一点，连接 、．是否存在点 ，使得 的面积恰好等于 ？若存在，请求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1），反比例函数为 ，。（3分） （2）。（6分） （3）设 （），则 ，因 ，点 到 的距离恒为 。由 整理得 ，解得 ，，故点 的坐标为 或 。（10分） 26．（本题满分 分）【新定义与过程性探究】 定义：若关于 的一元二次方程 （）有两个实数根 、（不妨设 ），且满足 ，则称该方程为“倍根方程”． （1）【概念理解】判断一元二次方程 是否为“倍根方程”，并说明理由； （2）【代数运用】若关于 的一元二次方程 是“倍根方程”，求实数 的值； （3）【几何迁移】如图，在 中，弦 与弦 相交于点 （点 不与圆心 重合），连接 、． （i）由圆周角定理易知 ，，从而 ，可得 ．若已知 ，，且线段 、（）的长恰好是关于 的“倍根方程” 的两个实数根，求弦 的长及 、的值； （ii）在（i）的条件下，若两弦夹角 ，求 的半径 ． 【解】（1）是，两根为 ，满足 。（2分） （2）因式分解得 ，两根为 和 ，分类讨论得 或 。（5分） （3）（i）由 得 ，故 ，。（7分） （ii）作 于 ，于 ，则 。由 得 ，故 ，由勾股定理得 。（10分） 27．（本题满分 分）【综合与实践·圆与函数动态探究】 如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，以点 为圆心、为半径作 ，交 轴于 、两点（点 在点 的左侧）．点 是 上位于第一象限内的一个动点，过点 作 轴于点 ． （1）【基础定位】写出点 、的坐标；当 时，若反比例函数 （）的图象经过点 ，求 的值； （2）【切线探究】过原点 作 在第一象限的切线，切点为 ，切线 的延长线与过点 且垂直于 轴的直线 交于点 ，连接 ． 　　① 若反比例函数 （）的图象经过切点 ，求点 的坐标及 的值； 　　② 求证：平分 ； （3）【代数关联】在点 沿第一象限的圆弧运动过程中（不与点 、重合），设点 的横坐标 （），连接 ． 　　① 求证：； 　　② 当 时，若反比例函数 （）的图象经过此时的点 ，求 的值． 【解】（1）；当 时，，故 。（3分） （2）① 连接 ，在 中，，得 ，，；② 直线 与 相切于点 ，由切线长定理知 平分 。（6分） （3）① 在 中，，故 ；② 由 得 ，解得 （舍去），此时 ，故 。（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年九年级上学期数学期中原创模拟卷(1) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程中，属于关于 的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知反比例函数 （）的图象经过点 ，则该函数图象所在的象限是（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．如图，是 的直径，弦 于点 ，连接 、．若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程 ，配方后所得的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若点 、、都在反比例函数 （为常数）的图象上，则 、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．【传统文化·苏州园林】苏州古典园林中的“扇形花窗”兼具通风采光与借景之美．如图是一个扇形花窗的平面示意图，其外轮廓为扇形 ，内轮廓为扇形 （点 在 上，点 在 上）．已知 ，，，则花窗镂空区域（图中阴影部分 ）的面积为（　　） A． B． C． D． 7．已知 、是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系 中，以原点 为圆心的 半径为 ，反比例函数 （）的图象与 相交于 、两点（点 的横坐标大于纵坐标）．过点 作 的切线，分别交 轴、轴的正半轴于点 、．若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．请将答案直接填在答题卡相对应的位置上． 9．一元二次方程 的解是 ________． 10．已知变量 与 成反比例，且当 时，，则 关于 的函数表达式为 ________． 11．如图，正六边形 内接于 ，若 的半径为 ，则该正六边形的边心距 （于点 ）的长为 ________． 12．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 ________． 13．如图，点 在反比例函数 （）的图象上，过点 作 轴于点 ，点 为 轴上任意一点，连接 、．若 的面积为 ，则 的值为 ________． 14．【非遗工艺】苏州苏绣工坊制作一款圆锥形宫灯灯罩，已知该圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ，则将该圆锥的侧面沿一条母线剪开后，所得扇形展开图的圆心角度数为 ________． 15．【数学文化·《九章算术》】我国古代数学名著《九章算术》中记载了“勾股容圆”问题．现有一块直角三角形木板 ，其中 ，斜边 ，其内切圆半径 （注：直角三角形内切圆半径公式为 ，其中 为直角边，为斜边）．若两直角边 、的长恰好是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ________． 16．如图，在矩形 中，，，点 是边 上的一个动点（可与端点重合），连接 ，过点 作 于点 ，连接 、．在点 从点 运动到点 的过程中，面积的最小值为 ________． 三、解答题：本大题共 11 小题，共 82 分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17．（本题满分 分）解下列一元二次方程： （1）；　　　　　　（2）． 18．（本题满分 分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论实数 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根 、满足 ，求实数 的值． 19．（本题满分 分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 （）的图象与反比例函数 （）的图象相交于 、两点，且一次函数图象与 轴交于点 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）直接写出关于 的不等式 的解集，并求 的面积． 20．（本题满分 分）如图，是 的直径，弦 于点 ，点 是弧 上一点（不与点 、重合），连接 、、． （1）求证：； （2）若 ，，求 的半径长． 21．（本题满分 分）【新课标·尺规作图与古桥修复】苏州水乡古桥众多，某古建保护团队在修缮一座单孔圆弧石拱桥时，测绘得到圆弧形桥拱的一段残弧 （如图）． （1）请用无刻度的直尺和圆规，在图中作出该圆弧桥拱所在圆的圆心 （保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接 ，取 的中点 ，过点 作 交弧 于点 ．经测量，桥拱跨度 ，拱高 ，求该古石拱桥圆弧所在圆的半径 ． 22．（本题满分 分）【真实情境·文旅经济】苏州博物馆文创商店推出一款“江南花窗”丝绸书签．已知该书签今年 月份的销售量为 件，随着秋季文旅旺季到来，销量逐月攀升，月份的销售量达到 件，且 月、月两个月销售量的月平均增长率相同． （1）求该款书签 月、月销售量的月平均增长率； （2）已知每件书签的制作成本为 元．当售价为每件 元时，月销售量为 件．市场调研发现：每件售价在 元的基础上每降低 元，月销售量可增加 件．若文创商店计划在 月份销售该款书签获得 元的月利润，同时为了回馈游客、尽可能让利于消费者，则 月份每件书签的售价应定为多少元？ 23．（本题满分 分）【跨学科探究·智能生态农业】苏州洞庭山碧螺春生态育苗基地采用智能恒温营养液供给系统．在某次营养液“恒功率升温—生态缓释降温”循环测试中，营养液温度 与运行时间 的函数关系如图所示： • 当 时，为恒功率升温阶段，是 的一次函数，图象经过点 与点 ； • 当 时，为生态缓释降温阶段，是 的反比例函数，图象经过点 ． （1）分别求出当 和 时，关于 的函数表达式； （2）求当运行时间 时，营养液的温度； （3）已知碧螺春茶苗吸收微量元素的最佳营养液温度满足 ，求单次循环测试中，营养液处于最佳温度区间的持续时长． 24．（本题满分 分）如图，在 中，，点 在斜边 上，以点 为圆心、为半径的 与直角边 相切于点 ，分别交 、于点 、，连接 、． （1）求证：平分 ； （2）若 ，，求图中阴影部分（由线段 、与弧 围成的区域）的面积． 25．（本题满分 分）如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 在 轴正半轴上，顶点 在 轴正半轴上，，．反比例函数 （）的图象经过边 的中点 ，且与边 交于点 ． （1）求反比例函数的表达式及点 的坐标； （2）连接 、、，求 的面积； （3）在备用图中，设点 是线段 上的一个动点（不与点 、重合），过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 ；点 是边 上的任意一点，连接 、．是否存在点 ，使得 的面积恰好等于 ？若存在，请求出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（本题满分 分）【新定义与过程性探究】 定义：若关于 的一元二次方程 （）有两个实数根 、（不妨设 ），且满足 ，则称该方程为“倍根方程”． （1）【概念理解】判断一元二次方程 是否为“倍根方程”，并说明理由； （2）【代数运用】若关于 的一元二次方程 是“倍根方程”，求实数 的值； （3）【几何迁移】如图，在 中，弦 与弦 相交于点 （点 不与圆心 重合），连接 、． （i）由圆周角定理易知 ，，从而 ，可得 ．若已知 ，，且线段 、（）的长恰好是关于 的“倍根方程” 的两个实数根，求弦 的长及 、的值； （ii）在（i）的条件下，若两弦夹角 ，求 的半径 ． 27．（本题满分 分）【综合与实践·圆与函数动态探究】 如图，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，以点 为圆心、为半径作 ，交 轴于 、两点（点 在点 的左侧）．点 是 上位于第一象限内的一个动点，过点 作 轴于点 ． （1）【基础定位】写出点 、的坐标；当 时，若反比例函数 （）的图象经过点 ，求 的值； （2）【切线探究】过原点 作 在第一象限的切线，切点为 ，切线 的延长线与过点 且垂直于 轴的直线 交于点 ，连接 ． 　　① 若反比例函数 （）的图象经过切点 ，求点 的坐标及 的值； 　　② 求证：平分 ； （3）【代数关联】在点 沿第一象限的圆弧运动过程中（不与点 、重合），设点 的横坐标 （），连接 ． 　　① 求证：； 　　② 当 时，若反比例函数 （）的图象经过此时的点 ，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $