江苏省苏州市昆山市2026-2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试模拟试卷

昆山市2026-2027学年度初三上学期数学期中考试模拟试卷 范围；反比例函数 圆 数据的集中趋势与离散程度 本卷满分130分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）下列函数是关于的反比例函数的是（     ）． A． B． C． D． 2．（本题3分）欢欢的妈妈在网上销售装饰品．最近一周，每天销售某种装饰品的个数为．关于这组数据，欢欢得出如下结果，其中错误的是（     ） A．众数是 B．平均数是 C．中位数是 D．方差是 3．（本题3分）下列命题：①直径是弦：②垂直于半径的直线是这个圆的切线；③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点；④三点确定一个圆，其中真命题的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题3分）如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）一组数据方差的算式为：，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D．在这组数据中添加一个数据，离差平方和不变 6．（本题3分）校运动队统计男、女队员各5名的一周训练达标次数，数据整理如图，分析两组队员的达标情况，下面说法正确的是（     ） A．男生训练达标次数的平均数高于女生 B．男、女生训练达标次数的离差平方和相等 C．男、女生训练达标次数的中位数均为4 D．女生达标情况更稳定 7．（本题3分）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 8．（本题3分）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）若一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则______． 10．（本题3分）将一组数据中的每一个数都加上得到一组新的数据，那么在众数、中位数、平均数、方差、第三四分位数这五个统计量中，值保持不变的是________． 11．（本题3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 12．（本题3分）如图，，分别与相切于，两点，，则________． 13．（本题3分）是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 14．（本题3分）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点F在优弧上，连接，若，则的度数为______． 15．（本题3分）如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若，则___． 16．（本题3分）如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值是________． 三、解答题（共82分） 17．（本题5分）已知是的反比例函数，并且当时，． ⑴求关于的函数解析式； ⑵当时，求的值． 18．（本题6分）已知函数． (1)当m为何值时，此函数为正比例函数，且图象经过第二、四象限？ (2)当m为何值时，此函数为反比例函数，且在每一象限内，y随x的增大而减小？ 19．（本题6分）体育老师随机选取八年级两个班各10名同学测量身高（单位：cm），数据如下： 八（1）班：154，161，149，158，162，155，160，152，156，163； 八（2）班：148，150，166，168，152，155，158，149，165，159． (1)分别计算两组数据的离差平方和； (2)根据离差平方和判断哪个班的身高数据离散程度更大． 20．（本题6分）综合与实践：九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象：如图．列表：下表是x与y的几组对应值，其中_________． x … 1 2 3 4 … y … 3 1 m … 描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点． 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你画出函数图象． (2)观察图象并分析表格；回答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度而得到． ②函数的图象关于点________成中心对称．（填点的坐标） ③当时，则y的取值范围为_________． 21．（本题6分）如图，点C在以为直径的上，平分交于点D，过D作的垂线交的延长线于点F，垂足为E． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 22．（本题7分）日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．它是根据日影的位置，指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点）．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与交于点，连接，． (1) 求证：； (2) 若，，求半径长． 23．（本题8分）深圳市实施“每周半天计划”，某校组织学生利用半天时间开展校外研学实践，可供选择的五个场馆分别为：美术馆、音乐厅、植物园、博物馆、科技馆．参与本次研学活动的某班学生共有50人，各场馆参与人数如下的条形统计图所示（图1）． (1)请根据图中信息，补全条形统计图； (2)现从参与人数最多的两个场馆（博物馆和科技馆）的学生中，开展满意度打分调查，满分为10分．打分数据如下列折线图所示（图2），图中横坐标表示学生编号，纵坐标表示对应打分． 对以上打分数据进行整理，得到如下统计表： 场馆 平均数 众数 中位数 频率（满意度分） 方差 博物馆 科技馆 求表中的数据________，________； (3)结合表格中的统计数据，综合分析你认为哪个场馆的体验更好？并说明理由． 24．（本题8分）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 25．（本题10分）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点为反比例函数图像上一点，连接并延长，交图像另一支于点，若点为第一象限内反比例函数图像上异于点的任意一点，直线、分别交轴于点、． (1)试探究线段和的数量关系，并写出你探究的过程； (2)若的面积为10，求点的坐标． 27．（本题10分）如图，内接于，且为的直径．的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，过点作于点． （1）求证：； （2）试猜想线段，，之间有何数量关系，并加以证明； （3）若，，求线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《昆山市2026-2027学年度初三上学期数学期中考试模拟试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B D B D B C 1．C 【分析】根据反比例函数的定义：形如（为常数，）的函数，叫做反比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，不是反比例函数，不符合题意； 选项：的分母为，，是反比例函数，符合题意； 选项：是正比例函数，不符合题意． 2．D 【分析】先将数据从小到大排序，再分别计算各统计量判断正误即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为， 、出现次数最多，众数是，该选项结果正确，不符合题意； 、平均数为，该选项结果正确，不符合题意； 、共个数据，中位数为第个数据，即，该选项结果正确，不符合题意； 、方差为，该选项结果错误，符合题意． 3．B 【分析】根据圆的相关概念逐项判断即可． 【详解】解：①直径是弦，是真命题； ②原命题缺少经过半径外端的条件，是假命题； ③三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，是真命题； ④原命题缺少三点不在同一直线上的条件，是假命题； 故真命题共有2个． 4．D 【分析】先利用解直角三角形的知识，再利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， ， ， ， 弦的长度等于圆半径的倍， ， ， ， ， ， 是弦所对的圆周角， ． 5．B 【分析】从方差算式中提取数据组与样本容量，结合相关定义计算后逐项判断选项正误即可． 【详解】解：由方差算式可知，这组数据为1，2，3，4，5，样本容量，故A正确；，故C正确；，故B错误； 添加数据3后，新数据的平均数为．新的离差平方和为，与原离差平方和相等，故D正确． 6．D 【分析】根据折线统计图读取男、女生各5次的达标次数数据，分别计算平均数、离差平方和、中位数和方差，逐一判断选项即可． 【详解】解：由图可知， 男生数据为：， 女生数据为：， A、男生训练达标次数的平均数为， 女生训练达标次数的平均数为， ∴男、女生训练达标次数的平均数相等，故选项说法错误，不符合题意； B、男生离差平方和为， 女生离差平方和为， ∴男、女生训练达标次数的离差平方和不相等，故选项说法错误，不符合题意； C、将男生数据从小到大排列为：，中位数为5； 将女生数据从小到大排列为：，中位数为5， ∴男、女生训练达标次数的中位数均为5，故选项说法错误，不符合题意； D、男生数据的方差为， 女生数据的方差为， ∵， ∴女生达标情况更稳定，故选项说法正确，符合题意． 7．B 【详解】试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2， ∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB， ∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD===， ∴⊙C的半径为，故选B． 考点：圆的切线的性质；勾股定理． 8．C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 9． 【分析】根据平均数的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据4，5，6，a，b的平均数为5， ∴， ∴， ∴． 10． 方差 【分析】设原数据各统计量，每个数据加后，根据各统计量的定义和方差公式，计算新数据的对应统计量，比较后即可得到结果. 【详解】解：设原数据的众数为，中位数为，平均数为，方差为，第三四分位数为，数据个数为， ∵将一组数据中的每一个数都加上， ∴新数据的众数为，发生改变； 新数据的中位数为，发生改变； 新数据的平均数为，发生改变； 新数据的第三四分位数为，发生改变； 新数据的方差为， ∴值保持不变的统计量是方差. 11． 【分析】已知三点在反比例函数图象上，结合的条件，代入横坐标得到纵坐标表达式，即可比较大小． 【详解】解： ∵ 点，，在反比例函数的图象上， ∴ 将各点横坐标代入函数解析式，得，，， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 12． 【分析】分别连接，先由圆的切线的性质求出的度数，再由圆周角定理求解． 【详解】解：分别连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴． 【点睛】 13． 【分析】圆内过点的最长弦为圆的直径，最短弦是过点且垂直于该直径的弦，利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与直径垂直的弦， ∴的直径为，半径为，最短弦长为， ∵根据垂径定理，最短弦被点平分， ∴最短弦一半的长度为， ∴由勾股定理得． 14．/25度 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理．连接，根据圆内接四边形的性质求得，再由圆周角定理得到，求得，再根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15．2 【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义求出及的值，进而可得出的值． 【详解】解：∵点A，B是双曲线上的点，， ∴， ∴, 解得． 16． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H， ∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 17．（1）；（2）. 【分析】（1）直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）直接利用x=4代入求出答案． 【详解】解：（1）y是x的反例函数， 所以，设， 当x=2时，y=6． 所以，k=xy=12， 所以，； （2）当x=4时，=3． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出解析式是解题关键． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数的定义得到，根据图象经过第二、四象限得到，然后求解即可； （2）根据反比例函数的定义得到，根据在每一象限内，y随x的增大而减小得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵此函数为正比例函数， ∴， 解得， ∵图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵函数为反比例函数， ∴， 解得， ∵在每一象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴． 19．(1) 八（1）班身高数据的离差平方和为，八（2）班身高数据的离差平方和为 (2) 八（2）班的身高数据离散程度更大 【分析】（1）先计算两组数据的平均数，再根据离差平方和的定义求和； （2）结合两组数据样本容量、平均数均相同的条件，通过比较离差平方和判断离散程度． 【详解】（1）解：设八（1）班身高的平均数为，八（2）班身高的平均数为， 则， ， ∴八（1）班离差平方和为 ； 八（2）班离差平方和为 ； （2）解：∵ 两个班身高数据的样本容量相同，平均数相同，且离差平方和， ∴ 八（2）班的身高数据离散程度更大． 20．(1)0； (2)①下，1 ② ③或 【分析】（1）将代入中计算即可求出m的值；根据各点坐标描点，再用平滑曲线连接，注意x不能取0，图象分为两支，分布在y轴两侧． （2）①需将函数表达式变形为反比例函数平移形式，根据平移规律判断方向和单位． ②根据反比例函数对称中心及平移规律确定对称点坐标． ③分和两种情况，结合函数增减性求y的取值范围． 【详解】（1）解：表格中函数值m对应的x值为2，将代入中得，所以，m的值为0． （2）①∵， ∴函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度而得到． ②∵函数的图象关于原点对称， ∴函数的图象关于点对称． ③当时，分两种情况： 当时，y随x的增大而减小， 当时，，当x趋近于正无穷时，y趋近于， 因此，当时，； 当时，y随x的增大而减小， 当时，，当x趋近于负无穷时，y趋近于， 因此，当时，； 综上，y的取值范围为或． 21．(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接，根据平分，可得，再由，可得，从而得到，可得到，即可求证； （2）连接，首先证明出是等边三角形，然后根据三角形外角的性质得到，最后根据等角对等边得到求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴与相切； （2）连接 ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的半径为5． 【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 22．(1) 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴； (2) 【分析】（）连接，由切线的性质可得，再根据角平分线的判定可得平分线，即可求解； （）由直角三角形的性质可得，进而得到，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴半径长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23．(1) (2)； (3)博物馆的体验更好，理由： 博物馆和科技馆打分的平均数相同，但博物馆打分的众数大于科技馆打分的众数， 所以博物馆的体验感会更好（答案不唯一）． 【分析】（1）根据总人数减去其他场馆的人数求得植物园的人数，进而补全统计图，即可； （2）根据频率以及中位数的定义，结合折线统计图，即可求得的值； （3）根据平均数、众数、中位数、方差等角度分析即可． 【详解】（1）解：植物园的人数为：； 图略； （2）解：博物馆的满意度分的频率， 科技馆的打分为：，，，，，，，，， 从小到大排列为：，，，，，，，，， 中位数； （3）略 24．(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 25．(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 26．(1)，探究过程见解析 (2)（，5） 【分析】（1）先求出反比例函数解析式和点B的坐标，设点P的坐标是（a，），分和两种情况，分别进行证明即可； （2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，设点P的坐标是（a，），则点Q的坐标是（a，0）， 求出直线PM的表达式，再求出点M的坐标，利用的面积为10，求出a的值，得到点P的坐标． 【详解】（1）解：． ∵点为反比例函数图像上一点， ∴k＝2×1＝2， ∴ 由反比例函数的对称性得， ∵点P在的图像上 ∴可设点P的坐标是（a，）， 当时，如图1，作轴，垂足为，轴，两垂线交于点，作，垂足为． 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵∠PNM＝90°－∠BPC，∠PMN＝90°－∠APD ∴， ∴． 当时，如图2，作轴，垂足为，轴，两垂线交于点，作，交CP的延长线于点D． 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵∠PNM＝90°－∠BPC，∠PMN＝90°－∠MPE ∴， ∴． 综上，． （2）解：过点P作PQ⊥x轴于点Q，如图3， 设点P的坐标是（a，），则点Q的坐标是（a，0）， 设直线PM的表达式是y=mx+n， 点P和点A的坐标待代入得到 解得 ∴直线PM的表达式是 当y＝0时，， 解得x＝a＋2 ∴点M的坐标是（a＋2,0） ∴QM＝2 ∴MN＝2QM＝4 ∵的面积为10， ∴ ∴a＝ ∴点P的坐标是（，5） 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质、等腰三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数的表达式等知识，熟练掌握反比例函数的性质并数形结合是解题的关键． 27． （1）证明：连结，如图， ∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 即. （3） 【分析】（1）连结OD，先由已知△ABD是等腰直角三角形，得DO⊥AB，再根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB； （2）由“一线三垂直模型”易得，进而可得． （3）利用勾股定理依次可求直径AB=10，，，得，再证明可得，，进而由求得PD即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质．解题关键是抓住45°角得等腰直角三角形进行解答． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 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