精品解析：湖南省邵阳市海谊中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年度海谊中学高二数学期末考试卷 考试时间:120分钟 一、单选题:本题共8题，每小题五分，共40分 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为全集，，， 所以，所以. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项通分,原不等式转化为或，再解不等式即可. 【详解】不等式可化为， 所以，即， 所以， 所以或， 所以或， 解得， 所以不等式的解集是. 3. 设复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法法则化简，再求出共轭复数得到相应的虚部. 【详解】，，可知其虚部为． 故选A． 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 5. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法. 先将丙、丁捆绑为一个整体，再与戊排列，形成空位，将甲、乙插入空位中. 【详解】把丙、丁看作一个整体，内部排列有种.将这个整体与戊一起排列，共有种顺序. 排好后形成3个空位，将甲、乙插入其中两个空位，且不相邻，有种， 因此总排列数为种. 7. 某电商平台的消费者中，男性用户占，其对某商品的好评率为；女性用户占，其对该商品的好评率为．若随机选择一名用户，则该用户对该商品给予好评的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先定义事件，明确各事件的概率，根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“随机选择一名用户对该商品给予好评”， 事件表示“随机选择一名用户为男性用户”， 事件表示“随机选择一名用户为女性用户”， 由题意，， ，， 所以. 8. 函数的零点个数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C. 函数的一条对称轴为直线 D. 函数在上单调递减 【答案】AC 【解析】 【详解】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 10. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（ ） A. 焦距为6 B. 实轴长为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据双曲线的焦点坐标结合双曲线基本关系求出参数的值，再逐一验证各选项对应性质是否正确． 【详解】由双曲线的方程，可得， 已知一个焦点为，故， 根据双曲线性质，代入得，即， 对于A，双曲线焦距为，A正确； 对于B，双曲线实轴长为，B错误； 对于C，离心率，C正确； 对于D，渐近线方程为，整理得，D正确． 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确； 因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 曲线在处的切线的倾斜角为__________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先求函数在处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角. 【详解】设，函数定义域为， 得到，所以，即曲线在处的切线斜率为. 设切线的倾斜角为，其中，由斜率定义可知，解得. 13. 若的展开式中的常数项是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 14. 已知函数，若函数与轴有个交点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将函数与轴有个交点，转化成与的交点问题，再作出分段函数的图像，利用数形结合求得范围即可. 【详解】依题意，函数与轴有个交点， 即与有3个交点， 作分段函数的图像如下， 由图可知，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解. 四、解答题（本大题共5题，共77分） 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）设，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 而， 所以，又，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理， 又，所以，即，解得. 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明:底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知等差数列，，. （1）求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和. （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助等差数列基本量计算即可得； （2）利用等比数列求和公式分组求和即可得； （3）借助裂项相消法计算即可得. 【小问1详解】 设数列的公差为，由，得， ，所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）， 所以 ； 【小问3详解】 ， 所以 . 18. 已知椭圆的方程为，直线：. （1）写出椭圆的焦距和离心率； （2）当时，求椭圆被截得的弦长； （3）已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值. 【答案】（1）焦距为2，离心率为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及离心率公式求解即可. （2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可. （3）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理、向量垂直的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 由，可得，， 所以，，， 所以椭圆的焦距为2，离心率为. 【小问2详解】 当时，直线：， 联立 ，整理得：，， 设直线与椭圆交点坐标为，， 所以，， 则， 即椭圆被截得的弦长为. 【小问3详解】 设，，则，， 联立方程：，整理可得：， 因为存在两个交点，故，解得， ，， 所以， 因为，所以，所以， 即，解得，均满足， 所以的值为. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）直接由导数的几何意义求切线方程可得； （2）先对函数求导，再对实数分两类讨论：和，并结合导数与函数单调性关系可得； （3）对不等式进行参数分离可得，再构造函数，利用导数求函数的最大值可得. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， 所以， ，切线斜率， 则曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年度海谊中学高二数学期末考试卷 考试时间:120分钟 一、单选题:本题共8题，每小题五分，共40分 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 设复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 5. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 7. 某电商平台的消费者中，男性用户占，其对某商品的好评率为；女性用户占，其对该商品的好评率为．若随机选择一名用户，则该用户对该商品给予好评的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的零点个数为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C. 函数的一条对称轴为直线 D. 函数在上单调递减 10. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（ ） A. 焦距为6 B. 实轴长为 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 曲线在处的切线的倾斜角为__________． 13. 若的展开式中的常数项是________． 14. 已知函数，若函数与轴有个交点，则实数的取值范围是_________． 四、解答题（本大题共5题，共77分） 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求； （2）设，，求. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知等差数列，，. （1）求数列的前项和； （2）设，求数列的前项和. （3）设，求数列的前项和． 18. 已知椭圆的方程为，直线：. （1）写出椭圆的焦距和离心率； （2）当时，求椭圆被截得的弦长； （3）已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $