精品解析：湖南省邵阳市海谊中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

海谊中学高二年级期末考试 数学科目 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得：. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3. 已知圆的圆心在曲线上，且圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可设，根据点到直线的距离公式结合基本不等式可得，即可得结果. 【详解】由圆的圆心在曲线上，可设， 又因为圆与直线相切， 则圆的半径， 当且仅当，即时等号成立， 即圆的半径的最小值，所以圆面积的最小值为． 故选：C． 4. 已知中，角所对的边分别为.已知，的面积，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由面积公式求得，由余弦定理求得，再结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，的面积2，所以，解得， 由余弦定理得， 解得（负值舍去）， 由正弦定理可知，的外接圆的半径为. 故选：D. 5. 已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 6. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以． 故选：B． 7. 圆与直线的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交且过圆心 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，与半径比较即可得出答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 直线即， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切． 故选：A 8. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，结合对数的定义运算求解即可. 【详解】令，则， 所以． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是（ ） A. 两条平行直线 B. 两条互相垂直的直线 C. 同一条直线 D. 一条直线及其外一点 【答案】ABD 【解析】 【分析】以正方体为例，找出满足题意的两条异面直线和平面，然后判断选项的正误． 【详解】解：不妨以正方体为例，与在平面ABCD上的射影互相平行，A正确； 与在平面ABCD上的射影互相垂直，B正确； 如果a、b在α上的射影是同一条直线，那么a、b共面，C不正确． 与在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点，D正确． 故选：ABD． 10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为2 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 C. 若是双曲线的一个焦点，则 D. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质一一判断即可. 【详解】对于A，双曲线的实轴长为，故错误． 对于B，因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为，故B错误． 对于C，若是双曲线的一个焦点，则，解得，故C正确． 对于D，双曲线的两条渐近线为， 若两条渐近线相互垂直，则，解得，故D正确． 故选：CD 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. 是钝角三角形 D. 是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理可得即可判断A；再根据三边长可求的余弦值，进一步可判断关系；再根据“大边对大角”可知最大，为锐角，即可判断形状. 【详解】根据正弦定理，则，A错误； 根据正弦定理可知最大，余弦定理，则为锐角，所以是锐角三角形，C错误，D正确. ,为锐角，，因为都为锐角，所以，B正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性可得分段在每段上个存在一个零点，再分别求其零点，使其满足定义域即可. 【详解】因函数在和在均为增函数， 则这两个函数在对应区间上的零点均至多有个， 因有两个不同的零点， 则函数在和在上分别有1个零点， 令，得，则，即； 令，得，则， 又，则． 故答案为： 13. 已知在等比数列中，，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，即，所以，即. 所以． 故答案为：4. 14. 设随机变量服从两点分布，若，则________，_________. 【答案】 ①. 0.6## ②. 0.6## 【解析】 【分析】根据两点分布求解概率及数学期望即可. 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得，所以. 故答案为：0.6；0.6. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”等级，用样本的频率分布估计总体，估计高二年级男生中成绩为“优秀”等级的人数． 【答案】（1）84； （2）96人. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，结合第80百分位数的意义求得答案. （2）求出成绩不低于80分的频率，估计高二年级男生中“优秀”等级的人数. 【小问1详解】 在内的成绩占比为， 在内的成绩占比为， 因此第80百分位数在内，， 所以估计第80百分位数约是84. 【小问2详解】 成绩不低于80分的频率为， 则高二年级男生中成绩优秀人数估计为：， 所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人. 16. 已知等差数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求正整数n的最小值． 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）利用的关系式，可求出的通项，进一步可得到通项. （2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求得的前项和，依题解方程即得正整数的值即可. 【小问1详解】 ，当时，， 又，，满足； 即，． 【小问2详解】 ， ， ，解得，， 即正整数的最小值为17． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”． 【答案】（1） 在区间上单调递增， 又，，的值域为， 区间是的一个“优美区间”． （2） 设是已知函数的定义域的子集． 由，可得或， 函数在上单调递减． 假设是已知函数的“优美区间”，则两式相减得，． 则，，，，则， 显然等式不成立，函数不存在“优美区间”． 【解析】 【分析】（1）函数解析式明确，区间确定，求值域即可证明； （2）假设存在“优美区间”，则满足定义，以假设为已知，验证是否存在满足定义的值即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海谊中学高二年级期末考试 数学科目 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题只有一个选项符合要求 1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆的圆心在曲线上，且圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，角所对的边分别为.已知，的面积，则的外接圆的半径为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义域为的函数，，，，都有，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 圆与直线的位置关系为（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交且过圆心 8. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 已知a，b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a，b在上的射影有可能是（ ） A. 两条平行直线 B. 两条互相垂直的直线 C. 同一条直线 D. 一条直线及其外一点 10. 已知双曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的实轴长为2 B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 C. 若是双曲线的一个焦点，则 D. 若双曲线的两条渐近线相互垂直，则 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. 是钝角三角形 D. 是锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围为______． 13. 已知在等比数列中，，则_____________． 14. 设随机变量服从两点分布，若，则________，_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个．再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数； （2）若成绩不低于80分的为“优秀”等级，用样本的频率分布估计总体，估计高二年级男生中成绩为“优秀”等级的人数． 16. 已知等差数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求正整数n的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）求证：函数不存在“优美区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $