精品解析：浙江杭州市西湖区保俶塔实验学校2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年第一学期十月独立作业 八年级数学 试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题时，必须在答题卷相应位置写明考场号、座位号、姓名、考号等内容．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 劳动实践课上，小明已有两根长分别为和的木条，要再选一根木条钉成三角架．下列长度中，可以选择的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形三边关系确定第三边的取值范围，再筛选选项； 【详解】解：设第三根木条长为， ∵三角形三边关系， ∴，即，选项C的符合该范围． 2. 同学们制作校园展示架时，在四边形框架中加装一根斜撑，使框架形成三角形结构．这样做所依据的数学道理是（ ）． A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的内角和为 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 全等三角形的对应边相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知框架变成三角形结构，使展示架更稳固，是应用三角形的稳定性． 【详解】解：在四边形框架中加装斜撑后形成三角形结构，三角形具有稳定性，可使框架更稳固． 3. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】三角形按角分类由最大角的度数决定，需先结合内角和与角度比求出最大角的度数． 【详解】解：∵ 三角形内角和为，三个内角度数的比为． ∴最大角的度数为． ∴这个三角形是直角三角形． 4. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数． 【详解】∵等边三角形的顶角为60°， ∴两底角和=180°-60°=120°， ∴∠α+∠β=360°-120°=240°， 故选：C． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题. 5. 用尺规作一个角等于已知角：在的两边上分别取点、，使；在射线上取点，使，再作点，使，．连接、，作射线．说明所依据的三角形全等判定方法是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用证明三角形全等即可. 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴. 6. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等．已知一组边和一组角，添加条件后判断是否满足，或即可． 【详解】解：A．添加后，结合已知，满足，能判定全等； B．添加后，结合已知，满足，不能判定全等； C．添加后，结合已知，满足，能判定全等； D．添加后，结合已知，满足，能判定全等； 故选：B． 7. 如图，平分，点在内部，于点，，点在射线上运动，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短，结合角平分线的性质进行求解即可. 【详解】解：∵点在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵平分，， ∴当时，， ∴的最小值为4. 8. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，连接，由题意得，推出，即可求解； 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B 9. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中，，， ， ，是△的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 故选：B． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，根据题意得出，及的度数，找出规律是解答此题的关键． 10. 如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分、、三种情况，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ． 由折叠的性质得， ， ． 分三种情况：当时，则， ， ， 解得； 当时，则， ， ， ， 解得； 当时，则， 不存在， 综上所述，的度数为或． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等， 顶角是40°， 它的底角为 ． 故答案为： ． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：______________． 【答案】 【解析】 【分析】找出满足，但不满足的的值即可． 【详解】解：当时，，满足，但不满足，因此可作为该假命题的反例. 13. 如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，．以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F．若，则的大小是______度． 【答案】20 【解析】 【分析】根据作图过程得到，利用直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的两底角相等求解即可． 【详解】解：根据题意，得，则， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查尺规作图-作垂线、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质，得到是解答的关键． 15. 如图，在中，平分，交于点，，。点在线段内部，过作，交直线于点，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 16. 如图，点，在同侧，且，且，点在射线上．若，则______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形的外角的性质，作交的延长线于点，先证明，得出，，推出，得出，再根据三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】 作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分，解答应写出证明过程或演算步骤） 17. 如图，点为中点，，，则． 解：∵是的中点， ∴①________． 在和中， ∴③________（④________）， ∴， ∴． 【答案】① ② ③ ④ 【解析】 【详解】解：∵是的中点， ， 在和中， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是网格线交点． （1）画出的边上的高； （2）的面积为________； （3）在网格内画出一个，使得与全等． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 略 19. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°． （1）尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）①点D即为所求， ②射线AE即为所求． （2）∠DAE＝35°． 【解析】 【分析】（1）①利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD； ②作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求． （2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题． 【详解】解：（1）略 ②略 （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠CAD＝100°﹣30°＝70°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝35°． 【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【答案】 证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【解析】 【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 21. 如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【答案】（1）证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． （2）， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【解析】 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图所示，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）当在上运动时，________（用含的代数式表示）；当在上运动时，________（用含的代数式表示）． （2）当为何值时，和全等？ 【答案】（1）； （2）当为1或7时，和全等 【解析】 【分析】（1）当在上运动时，就等于速度乘以时间；当在上运动时，等于减去P所走的路程； （2）根据题意分析可得：，，要使和全等，只需要或，分类讨论进行求解即可． 【小问1详解】 解：当在上运动时，； 四边形是长方形， ，， 当在上运动时，； 【小问2详解】 解：四边形是长方形， ，， ， ，， 要使和全等， 只需要或， 当在上运动时，则， 即， 解得； 当在上运动时，则， 即， 解得； 综上所述，当为1或7时，和全等． 23. 发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． （1）如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； （2）如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； （3）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，，再利用面积公式即可求值． 【小问1详解】 解： 与等底等高， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，理由如下： 由题意可知，，，， ， ， ． ， ， ， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． 与等高， ． 故答案为：． 24. 如图，Rt中，，，点为射线上一动点，连接，在的上侧作，使且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接交于点，若点为中点，求证：； （3）当点在射线上，连接与直线交于点，若，求． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵点为中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用证明三角形全等即可； （2）由可得，，再证明，进而即可得到结论； （3）分两种情况：当点E在的延长线上时，当点E在线段上时，结合全等三角形的性质即可得到答案 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：当点E在的延长线上时，过点F作， ∵，，， ∴， 由（1）（2）得，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴； 同理，当点E在线段上时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期十月独立作业 八年级数学 试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题时，必须在答题卷相应位置写明考场号、座位号、姓名、考号等内容．答题必须书写在各规定区域之内，超出答题区域的答案将被视为无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 劳动实践课上，小明已有两根长分别为和的木条，要再选一根木条钉成三角架．下列长度中，可以选择的是（ ）． A. B. C. D. 2. 同学们制作校园展示架时，在四边形框架中加装一根斜撑，使框架形成三角形结构．这样做所依据的数学道理是（ ）． A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的内角和为 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 全等三角形的对应边相等 3. 一个三角形三个内角度数的比是，这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 4. 如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 用尺规作一个角等于已知角：在的两边上分别取点、，使；在射线上取点，使，再作点，使，．连接、，作射线．说明所依据的三角形全等判定方法是（ ）． A. B. C. D. 6. 在与中，，，则添加下列选项中的条件仍不一定能证得这两个三角形全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，点在内部，于点，，点在射线上运动，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 8. 如图，在中，，，，垂直平分，点为直线上的动点，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 11 9. 如图，在第1个，同；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长，到，使，得到第3个，…．按此做法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为________． 12. 要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例：______________． 13. 如图，，点、、、依次在同一直线上．若，，则______________． 14. 如图，在中，．以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F．若，则的大小是______度． 15. 如图，在中，平分，交于点，，。点在线段内部，过作，交直线于点，则______________． 16. 如图，点，在同侧，且，且，点在射线上．若，则______． 三、解答题（共8小题，共72分，解答应写出证明过程或演算步骤） 17. 如图，点为中点，，，则． 解：∵是的中点， ∴①________． 在和中， ∴③________（④________）， ∴， ∴． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是网格线交点． （1）画出的边上的高； （2）的面积为________； （3）在网格内画出一个，使得与全等． 19. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°． （1）尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 20. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 21. 如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 22. 如图所示，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）当在上运动时，________（用含的代数式表示）；当在上运动时，________（用含的代数式表示）． （2）当为何值时，和全等？ 23. 发现与探究：三角形的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． （1）如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为：______（填、或）； （2）如图3，若三条中线、、交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想x，y，z之间的数量关系为：______； （3）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则______． 24. 如图，Rt中，，，点为射线上一动点，连接，在的上侧作，使且． （1）如图1，过点作交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接交于点，若点为中点，求证：； （3）当点在射线上，连接与直线交于点，若，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $