专题08 投影与视图 期中复习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题08投影与视图期中复习讲义 1.理解投影、平行投影、中心投影的概念，能区分平行投影与中心投影；知道投影线、投影面，会判断物体在不同光源下形成的投影。 2.掌握正投影的含义，了解线段、平面图形正投影的变化规律，会判断平面图形正投影的形状。 3.理解三视图（主视图、左视图、俯视图）的定义，牢记三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的绘制规则，分清三个视图的观察方向。 4.能识别简单几何体的三视图，会画出棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球以及简单组合体的三视图。 5.能够根据给出的三视图，还原想象对应的立体图形，判断几何体形状，会计算几何体的表面积、体积。 6.会结合三视图、展开图综合分析几何体，能判断某一个视图是否正确，找出视图绘制中的常见错误。 7.能够解决投影相关实际问题，利用平行投影、中心投影的特点，结合相似三角形求物体高度、影长。 8.梳理易错点：画图时忽略虚线（看不见的棱要用虚线表示）；混淆左视图和俯视图；不能准确还原组合几何体；分不清中心投影和平行投影。 题型 考察方向 难度 题型一 平行投影 ★★ 题型二 中心投影 ★★ 题型三 正投影 ★★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 投影、中心投影 1.投影： 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 2.中心投影： 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 3.中心投影的特征： 知识点 02 平行投影 1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X 光． 2.正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午 12 点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 3.平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上。 知识点 03 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 04 基础几何体标准三视图汇总表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键注意点 正方体 正方形 正方形 正方形 三边视图完全相同 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高各不相同，三个矩形尺寸不同 圆柱 矩形 矩形 圆 俯视图是完整圆形，无圆心点 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表圆锥顶点垂直落点，必须画 球体 圆 圆 圆 三个视图都是等大圆形 三棱柱 矩形（中间无虚线） 矩形 三角形 俯视图为底面三角形 四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 带中心顶点的正方形 俯视图连接中心与四个顶点 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 07 投影计算应用题 1. 平行投影（太阳光）比例模型 同一时刻，物体高度 ÷ 物体影长 = 定值（所有物体比值相等） 适用：测树高、楼高、旗杆高度。 2. 中心投影（路灯 / 手电）计算模型 构造两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，求解人影长度、路灯高度、物体距离。 知识点 08 高频易错点汇总 易错点 错误做法 标准要求 三视图尺寸 长宽高错位，不对齐 严格遵守长对正、高平齐、宽相等 遮挡线条 看不见的棱直接省略不画 遮挡棱用虚线画出 圆锥俯视图 只画圆，漏掉圆心 必须标注圆心 平行投影计算 不同时刻高度影长混用 仅限同一时刻比值相等 小正方体计数 漏算后排、下层方块 俯视图分层逐格标记层数 中心投影判断 阳光下当成点光源投影 太阳光永远是平行投影 题型一、平行投影 1．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 2．如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 3．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型二、中心投影 4．幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（    ） A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断 5．如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 6．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 题型三、正投影 7．下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 8．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    9．如图，是线段AB在投影面上的正投影．已知，则投影的长为（    ） A． B． C． D． 题型四、判断简单几何体的三视图 10．如图，该几何体的左视图是（     ） A．B．C． D． 11．如图，四个几何体中，它们各自的三种视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是_______．（请填写序号） 12．国际足联规定：足球场的边线及底线的外侧垂直向上的空间属于球场范围．当足球从地面及空中完全脱离该空间时，视为出界．这里的“完全”指的是：一定要是球的全部，一丝在界内都不算出界．一定可以用来判断足球是否出界的是（     ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上均不能 题型五、判断简单组合体的三视图 13．如图所示几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 14．如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（     ） A．主视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变 15．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的n个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则n的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、判断非实心几何体的三视图 16．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 17．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 18．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C．D． 题型七、已知一种或两种视图，判断其他视图 19．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 20．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A．B．C． D． 21．已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 题型八、画简单几何体的三视图 22．如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，其左视图是（    ） A． B．C．D． 23．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 24．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A．B．C． D． 题型九、画简单组合体的三视图 25．如图所示的是一个蒙古包所抽象出来的几何体，以下对这个几何体的三视图描述正确的是（   ） A． 主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 26．如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C．D． 27．如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C．D． 题型十、画小立方块堆砌图形的三视图 28．如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 29．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 30．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 题型十一、由三视图还原几何体 31．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 32．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．若一个小立方块的体积为1，则这个几何体的表面积为___． 33．一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 题型十二、已知三视图求边长 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 35．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 36．如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 题型十三、已知三视图求侧面积或表面积 37．如图所示的是从不同方向观察一个长方体得到的视图，则左视图的面积为（    ）    A． B． C． D． 38．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是___________．（结果保留π） 39．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 题型十四、求小立方块堆砌图形的表面积 40．用10个棱长为的正方体摆放成如图的形状，像这样向下逐层累加摆放总共12层，其表面积是__________．    41．如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 42．如图所示，是由8个完全相同的小正方体搭成的几何体．若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积是（     ） A．16 B．30 C．32 D．34 题型十五、已知三视图求体积 43．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ． 44．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______（结果保留）． 45．如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 题型十六、求几何体视图的面积 46．如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体主视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 48．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 题型十七、由三视图，判断小立方体的个数 49．一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，其主视图和左视图如图所示，则这张桌子上最少有碟子（     ） A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 50．如图是由相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么这个立体图形最多由_______________个小立方体组成，最少由_______________个小立方体组成． 51．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型十八、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 52．如图是由7块相同的正方体拼成的立体图形，在保持左视图不变的情况下，最多可以移走正方体的数量为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 53．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 54．由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 解答题 55．如图1是由7个棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)在图2网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，使该几何体的左视图不变，请你写出两种添加的方式（小正方体可以标序号）． 56．补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 57．如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 58．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 59．如图，用若干个棱长完全相同的小正方体搭成一个几何体． (1)从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长为，则该几何体的表面积（包括与地面接触的面）为________． 60．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 61．下图所示的是一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点在直线上的正投影分别是点．若，求在直线上的正投影的长． 62．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 63．如图，在校园一面围墙前有路灯杆．小明在太阳光下借助竹竿测量该路灯杆的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯杆在太阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯杆之间的距离m，路灯杆的影子落在围墙上的那部分的高度为m，求路灯杆的高度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08投影与视图期中复习讲义 1.理解投影、平行投影、中心投影的概念，能区分平行投影与中心投影；知道投影线、投影面，会判断物体在不同光源下形成的投影。 2.掌握正投影的含义，了解线段、平面图形正投影的变化规律，会判断平面图形正投影的形状。 3.理解三视图（主视图、左视图、俯视图）的定义，牢记三视图 “长对正、高平齐、宽相等” 的绘制规则，分清三个视图的观察方向。 4.能识别简单几何体的三视图，会画出棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球以及简单组合体的三视图。 5.能够根据给出的三视图，还原想象对应的立体图形，判断几何体形状，会计算几何体的表面积、体积。 6.会结合三视图、展开图综合分析几何体，能判断某一个视图是否正确，找出视图绘制中的常见错误。 7.能够解决投影相关实际问题，利用平行投影、中心投影的特点，结合相似三角形求物体高度、影长。 8.梳理易错点：画图时忽略虚线（看不见的棱要用虚线表示）；混淆左视图和俯视图；不能准确还原组合几何体；分不清中心投影和平行投影。 题型 考察方向 难度 题型一 平行投影 ★★ 题型二 中心投影 ★★ 题型三 正投影 ★★ 题型四 判断简单几何体的三视图 ★★ 题型五 判断简单组合体的三视图 ★★★ 题型六 判断非实心几何体的三视图 ★★★ 题型七 已知一种或两种视图，判断其他视图 ★★★ 题型八 画简单几何体的三视图 ★★★ 题型九 画简单组合体的三视图 ★★★ 题型十 画小立方块堆砌图形的三视图 ★★★ 题型十一 由三视图还原几何体 ★★★ 题型十二 已知三视图求边长 ★★★ 题型十三 已知三视图求侧面积或表面积 ★★★★ 题型十四 求小立方块堆砌图形的表面积 ★★★★ 题型十五 已知三视图求体积 ★★★★ 题型十六 求几何体视图的面积 ★★★ 题型十七 由三视图，判断小立方体的个数 ★★★★ 题型十八 已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 ★★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 投影、中心投影 1.投影： 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 2.中心投影： 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 3.中心投影的特征： 知识点 02 平行投影 1.平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X 光． 2.正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午 12 点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 3.平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上。 知识点 03 三视图核心概念 1. 三种视图观察方向 视图名称 观察角度 摆放位置 主视图 从物体正面向投影面看 图纸中间 左视图 从物体左面向投影面看 主视图右侧 俯视图 从物体上面向投影面看 主视图下方 2. 三视图黄金三等规则（必考绘图依据） 长对正：主视图、俯视图左右长度对齐 高平齐：主视图、左视图上下高度对齐 宽相等：左视图、俯视图前后宽度相等 3. 绘图线条规范（高频易错） 实线：看得见的物体轮廓、棱边 虚线：被遮挡、看不见的内部棱边，必须画出，不可省略 轮廓线粗细统一，不随意涂改 知识点 04 基础几何体标准三视图汇总表 几何体 主视图 左视图 俯视图 关键注意点 正方体 正方形 正方形 正方形 三边视图完全相同 长方体 长方形 长方形 长方形 长宽高各不相同，三个矩形尺寸不同 圆柱 矩形 矩形 圆 俯视图是完整圆形，无圆心点 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 带圆心的圆 圆心代表圆锥顶点垂直落点，必须画 球体 圆 圆 圆 三个视图都是等大圆形 三棱柱 矩形（中间无虚线） 矩形 三角形 俯视图为底面三角形 四棱锥 等腰三角形 等腰三角形 带中心顶点的正方形 俯视图连接中心与四个顶点 知识点 05 三种视图之间的关系及画法 1.位置关系：三种视图的位置是有规定的，主视图要在左上方，它的下方应是俯视图，左视图在右上方。主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽。 2.大小关系：主视图与俯视图的长相等，俯视图与左视图的宽相等，主视图与左视图的高相等。 3.三种视图的画法 （1）确定视图方向； （2）将复杂几何体分解为简单几何体的组合（拼接、截取或挖取）； （3）根据三种视图的定义及相互之间的位置关系画出三种视图。 知识点 06 由三种视图还原几何体（难点） 1.由三种视图还原几何体的步骤 分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面； （2) 根据实线和虚线综合考虑整体图形； （3) 画出图形后验证. 2.还原简单组合体示例 知识点 07 投影计算应用题 1. 平行投影（太阳光）比例模型 同一时刻，物体高度 ÷ 物体影长 = 定值（所有物体比值相等） 适用：测树高、楼高、旗杆高度。 2. 中心投影（路灯 / 手电）计算模型 构造两组相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，求解人影长度、路灯高度、物体距离。 知识点 08 高频易错点汇总 易错点 错误做法 标准要求 三视图尺寸 长宽高错位，不对齐 严格遵守长对正、高平齐、宽相等 遮挡线条 看不见的棱直接省略不画 遮挡棱用虚线画出 圆锥俯视图 只画圆，漏掉圆心 必须标注圆心 平行投影计算 不同时刻高度影长混用 仅限同一时刻比值相等 小正方体计数 漏算后排、下层方块 俯视图分层逐格标记层数 中心投影判断 阳光下当成点光源投影 太阳光永远是平行投影 题型一、平行投影 1．晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】从一天中太阳高度的变化规律切入，推导纪念碑影子的长度变化. 【详解】解：从早到晚，太阳高度先变大后变小. 同一物体在太阳光下的影子长度随太阳高度增大而变短，随太阳高度减小而变长. 因此纪念碑的影子先变短后变长. 2．如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】解：作于，于，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【详解】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：． 题型二、中心投影 4．幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（    ） A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影． 根据离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长可得答案． 【详解】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且丽丽的影子比妈妈的影子长，丽丽身高小于妈妈， ∴妈妈和丽丽离路灯的距离妈妈近一点． 故选：A． 5．如图小树高，在路灯M的照射下形成投影，树与路灯的距离．则路灯高为______． 【答案】 【分析】根据 得到 ，利用相似三角形对应边成比例列出方程，代入数据求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵，， ， ∴ ， ∴ ， ∴． 6．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 题型三、正投影 7．下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 8．如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 9．如图，是线段AB在投影面上的正投影．已知，则投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正投影与三角函数的应用，掌握构造直角三角形，利用三角函数定义求解投影长度是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用角度关系求出锐角，再根据三角函数的定义求解投影的长度． 【详解】解：过点作于点，则， ， 在中，，即． 故选：A． 题型四、判断简单几何体的三视图 10．如图，该几何体的左视图是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：几何体的左视图为选项A的图形．故选：A． 11．如图，四个几何体中，它们各自的三种视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是_______．（请填写序号） 【答案】②③ 【分析】分别得到几何体的三种视图，再按照题意判断即可． 【详解】解：①正方体的主视图、左视图和俯视图均为正方形； ②圆柱的主视图和左视图均为长方形、俯视图为圆； ③圆锥的主视图和左视图均为等腰三角形、俯视图为画出圆心的圆； ④球的主视图、左视图和俯视图均为圆； 综上所述，满足题意的几何体是②③． 12．国际足联规定：足球场的边线及底线的外侧垂直向上的空间属于球场范围．当足球从地面及空中完全脱离该空间时，视为出界．这里的“完全”指的是：一定要是球的全部，一丝在界内都不算出界．一定可以用来判断足球是否出界的是（     ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上均不能 【答案】C 【详解】解：∵足球场的边线及底线的外侧垂直向上的空间属于球场范围．当足球从地面及空中完全脱离该空间时，视为出界． ∴在主视图、左视图和俯视图中，一定可以用来判断足球是否出界的是俯视图. 题型五、判断简单组合体的三视图 13．如图所示几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可． 【详解】 解：俯视图为：． 14．如图是由个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（     ） A．主视图不变，左视图不变 B．主视图改变，左视图改变 C．俯视图不变，主视图不变 D．主视图改变，俯视图改变 【答案】A 【详解】解：将小正方体①移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图和左视图没有发生改变，俯视图发生了改变． 15．如图是嘉嘉用6块相同的小正方体搭成的几何体，若淇淇拿走其中的n个小正方体后，发现该几何体的左视图没有发生变化，则n的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此解答即可． 【详解】解：在保证左视图不变的情况下，留下的正方体按照图中的方式摆放，则n的最大值为3． 故选：C． 题型六、判断非实心几何体的三视图 16．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察几何体可知，该几何体的主视图是 ， 17．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 18．如图是一个带矩形通孔的圆柱体工程零部件示意图，圆柱体的高度为，底面圆的直径为，通孔的底面是边长为的正方形，则该零部件的左视图及其尺寸标注正确的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，确定通孔位置的左视图为虚线；再求解通孔的底面正方形的对角线长即可确定． 【详解】解：通孔底面正方形的对角线长为， 该零部件的左视图及其尺寸标注如B选项所示． 题型七、已知一种或两种视图，判断其他视图 19．如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，则这个几何体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的三视图，关键是熟练应用知识点解题； 根据俯视图判断主视图的形状即可． 【详解】解：主视图从左往右列，每列正方体的个数依次为，，. 故选：A ． 20．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】通过主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度等于俯视图中该列小正方形内数字的最大值，从而求解． 【详解】解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 21．已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”进行分析，由主视图和俯视图确定几何体的形状及内部结构的位置，进而推断左视图的形状． 【详解】解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆， ∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔， ∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中， ∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心， ∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方）， ∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线应靠右， ∴左视图应为 题型八、画简单几何体的三视图 22．如图是一个由5个相同的小正方体组成的立体图形，其左视图是（    ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】根据三视图的画法，从左边看图形得出结果即可． 【详解】解：从左边看图形，左边是三个小正方形，右边是一个小正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的画法，掌握三视图的画法是解题的关键． 23．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】根据几何体的三种视图解答． 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 24．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 题型九、画简单组合体的三视图 25．如图所示的是一个蒙古包所抽象出来的几何体，以下对这个几何体的三视图描述正确的是（   ） A． 主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】作出该几何体的三视图，根据三视图的求解即可． 【详解】解：从正面看，上面是一个等腰三角形，下面是长方形； 从左面看，上面是一个等腰三角形，下面是长方形； 俯视图是圆形，圆形中有一点，这点是圆心． ∴主视图与左视图相同． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图， 主视图就是从几何体的正面所看到的平面图形，左视图就是从几何体的左面看到的平面图形；俯视图就是从上往下看，所看到的平面图形，观察几何体可得答案． 26．如图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义去画图甄别即可． 【详解】根据几何体，得其左视图为 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 27．如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，小正方体的个数确定主视图． 【详解】∵ ∴几何体的主视图为： 故寻B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握主视图的定义，清楚主视图与小正方体的个数的关系是画图的关键． 题型十、画小立方块堆砌图形的三视图 28．如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，都是两个并列的小正方形，即看到的图形为 ． 29．块正方体搭建研学观景模型，再加块，保证左视图不变．有（     ）种拼摆方法（正方体之间必须有衔接面） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若增加一个正方体木块，保证左视图不变，则添加的小正方体只能在左边或右边． 【详解】解：分析可知，有以下种摆法： 30．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据左视图是从左面看得到的图形，结合几何体的排列情况，确定从左面看所得到的图形的列数及每列正方形的个数即可． 【详解】解：俯视图分为前后两行：后排（俯视图上方行）的数字最大为2，前排（俯视图下方行）的数字最大为1． 从几何体左侧观察，几何体的后排对应左视图的左列，前排对应左视图的右列，因此左视图左列高度为2（2个正方形上下排列），右列高度为1（1个正方形靠下），形状为：第一行仅左侧1个正方形，第二行左右共2个正方形； 故该几何体的左视图是． 题型十一、由三视图还原几何体 31．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，即可解答． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选项B符合题意． 32．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．若一个小立方块的体积为1，则这个几何体的表面积为___． 【答案】36 【分析】首先确定该几何体的六个面上裸露的正方形的个数，然后确定面积即可． 【详解】解：该几何体的表面积为； 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数，左视图的列数与俯视图行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 33．一个几何体的三种视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，结合各选项中的几何体可得答案． 【详解】解：由三视图可判断，这个几何体是 ． 故选项C符合题意 ． 题型十二、已知三视图求边长 34．如图，根据长方体的三视图标注的尺寸，可以判断长方体中三条棱的长分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图的对应关系：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的高和宽，即可求解. 【详解】解：根据题意，得，，. 35．三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为________cm． 【答案】． 【分析】过点E作EQ⊥FG于点Q，根据三视图可知AB的长即为EQ的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点E作EQ⊥FG于点Q， 由题意可得出：EQ=AB． ∵∠EFG=45°， ∴EQ=FQ， ∵EF=8cm， ∴， ∴EQ=FQ=（cm）， 即AB的长 cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三棱柱的三视图，得到AB的长即为EQ的长是解题的关键． 36．如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 题型十三、已知三视图求侧面积或表面积 37．如图所示的是从不同方向观察一个长方体得到的视图，则左视图的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图与俯视图的长度，得到左视图的长与宽，即可求出面积． 【详解】解：根据题意得：左视图的长为，宽为， 则左视图的面积为． 故选：． 【点睛】此题考查了三视图的有关计算，根据题意得出左视图的长与宽是解本题的关键． 38．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是___________．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据三视图判断该几何体为圆柱，确定底面直径和高，利用圆柱侧面积公式求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为圆柱．底面圆的直径为，高为．圆柱的侧面积底面周长高． 该几何体的侧面积． 39．如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据，可知这个几何体的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三视图判断几何体是截去圆柱的柱体，算出剩余曲面侧面积，再加上两个切面长方形的面积，合并得到该几何体侧面积． 【详解】由题图中的三视图知， 该几何体是底面半径为4、高为6的圆柱被沿高的方向切掉一个圆柱的柱体， 所以其侧面积为． 题型十四、求小立方块堆砌图形的表面积 40．用10个棱长为的正方体摆放成如图的形状，像这样向下逐层累加摆放总共12层，其表面积是__________．    【答案】 【分析】根据摆放十二层后，正面看到个正方形，根据从其他方向看到的正方形个数与从正面看到的正方形个数相同，得出所有的正方形个数，最后乘以一个正方形面积即可． 【详解】解：若如此摆放12层，其表面积是： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的表面积，图形的变化类的应用，主要考查学生的观察图形的能力，关键是能根据结果得出规律． 41．如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 【答案】 【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而求出答案． 本题主要考查几何体的表面积． 【详解】解：转动了之后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形， 设直角边为x，则斜边为， 则有 ， 得到 由几何关系得：阴影部分的面积为 所以增加的面积为 故答案为：． 42．如图所示，是由8个完全相同的小正方体搭成的几何体．若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积是（     ） A．16 B．30 C．32 D．34 【答案】D 【详解】解：． 题型十五、已知三视图求体积 43．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ． 【答案】 【分析】本题考查由三视图判断几何体； 先判断出几何体的形状，再利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 【详解】解：根据三视图可知侧面是一个高为，底边为的三角形的三棱柱， 该几何体的体积是， 故答案为：． 44．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】此题考查了由三视图判断几何体，以及求圆柱体的体积， 由三视图易得此几何体为圆柱的一半，圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求解，解决本题的关键是得到此几何体的形状，易错点是得到计算此几何体所需要的相关数据． 【详解】解：由三视图可知，此几何体为圆柱体的一半， ∴体积为：， 故答案为：． 45．如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 【详解】解：依题意可求出该几何体的体积为． 题型十六、求几何体视图的面积 46．如图，若几何体是由六个棱长为1的正方体组合而成的，则该几何体主视图的面积是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：该几何体的主视图为： ∵小正方体的棱长为1， ∴该几何体主视图的面积为． 47．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 48．3个完全相同的小正方体按下列不同方式摆放，则这3个小正方体组成的图形左视图面积最小的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何体的形状画出对应几何体的左视图，进而求出对应几何体的左视图面积，比较即可得到答案． 【详解】解：设小正方体的棱长为1， A选项中左视图为，则左视图面积为， B选项中左视图为，则左视图面积为， C选项中左视图为，则左视图面积为， D选项中左视图为，则左视图面积为， ∵， ∴A选项中的左视图面积最小． 题型十七、由三视图，判断小立方体的个数 49．一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，其主视图和左视图如图所示，则这张桌子上最少有碟子（     ） A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 【答案】B 【分析】分析三个视图，易得一共有3堆碟子，且3堆碟子数量分别是3，4，5，据此即可获得答案． 【详解】解：从三个视图可以看出，一共有3堆碟子，且3堆碟子数量分别是3，4，5，如下图所示， 所以总数是（个）． 50．如图是由相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么这个立体图形最多由_______________个小立方体组成，最少由_______________个小立方体组成． 【答案】 【分析】最多时让每个底面位置都放立方体，每个位置的高度取主视图对应列高度与左视图对应行高度中的较小值，使两个视图的各列高度要求都独立满足；最少时让同一立柱尽可能同时满足主视图和左视图对应列的高度要求，只在必须的位置放置立方体，其余位置空置。 【详解】①如图放置为最多的小立方体个数为13个， ， ②如图放置为最少的小立方体个数为5个， ． 51．一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，下图是从三个不同方向看到的三视图，则搭成这个几何体所用的小正方体的个数是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：组合体的俯视图正方形个数分布情况如下：     则正方体的个数为               题型十八、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 52．如图是由7块相同的正方体拼成的立体图形，在保持左视图不变的情况下，最多可以移走正方体的数量为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，先根据左视图是从左边看到的图形画出原几何体的左视图，再根据左视图不变求解即可． 【详解】解；由题意得，该几何体的左视图为 ： ∴要使左视图不变，可以拿掉的正方体如下（箭头所指） ∴最多可以拿掉4个正方体， 故选：C． 53．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，它从正面看（主视图）和从上面看（俯视图）如图所示，若搭成这个几何体的小立方块最多为m个，最少为n个，则______． 【答案】 【分析】由俯视图确定底层小立方块的分布与数量，结合主视图确定几何体的层数及每列的最高层数，进而分析出最多和最少的小立方块数量． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底层有个小立方块，分为左、右两列，左列有个位置，右列有个位置， 由主视图可知，该几何体共有层，且左列、右列的最高层数均为层， 当上层每个位置都放置小立方块时，总数最多，此时上层有个， ； 当上层只需满足主视图的“两层结构”，即左列、右列各至少放个时，总数最少，此时上层最少有个， ； ． 54．由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据题意可得最下面一层有4个小立方体，中间一层最多有2个，上面一层最多有2个，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下： ∴这种几何体所需小正方体个数最多是， 故选：C． 解答题 55．如图1是由7个棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)在图2网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，使该几何体的左视图不变，请你写出两种添加的方式（小正方体可以标序号）． 【答案】(1)该几何体的主视图、左视图和俯视图如答图所示． (2)俯视图上的数字表示在这个位置上小立方块的个数，如图②，第二排最后小立方块上添加一个；如答图③，第一排小立方块右边添加一个．（答案不唯一） 【详解】（1）略 （2）略 56．补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：如图所示， 【分析】根据画物体的三视图的口诀进行求解即可，主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其它部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线． 【详解】（1）略 （2）略 57．如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【答案】这个几何体的三视图如下： 【详解】略 58．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：还原立体图形为： 这个立体图形的体积为． （2）解：下面的长方体表面积为， 上面的长方体表面积为， 两个长方体重合部分面积为, 这个立体图形的表面积为． 59．如图，用若干个棱长完全相同的小正方体搭成一个几何体． (1)从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图； (2)若每个小正方体的棱长为，则该几何体的表面积（包括与地面接触的面）为________． 【答案】(1) (2)136 【分析】（1）从正面看有3列，每一列的小正方形的数目分别是2，1，3；从左面看有3列，每一列的小正方形的数目分别是3，1，1；从上面看有3列，每一列的小正方形的数目分别是3，2，1． （2）根据三面看到的正方体面数判断几何体的总面数，然后利用一个正方形的面积即可求出几何体的表面积． 【详解】（1）略 （2）解：从正面看：， 从左面看：， 从上面看： 几何体总共的面数是：， 1个正方形的面积是 几何体的表面积是． 60．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【答案】(1)这个几何体是由8个小正方体组成； 从三个方向看的图形如下： (2) 【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图、左视图、俯视图即可； （2）根据三视图的面数与被遮挡的面数进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加的小正方体的位置和数量在俯视图上标注如图所示， 所以最多可以添加个． 61．下图所示的是一块含角的直角三角形木板，将它的直角顶点放置于直线上，点在直线上的正投影分别是点．若，求在直线上的正投影的长． 【答案】 【分析】先利用直角三角形的性质求出和的长度，再在中求出，接着证明求出，最后将和相加得到的长． 【详解】解：在中，， ， 在中，． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查直角三角形的性质与相似三角形的应用，掌握利用三角函数求边长，通过角的关系证明三角形相似是解题的关键． 62．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】(1)C (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论； （3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． 63．如图，在校园一面围墙前有路灯杆．小明在太阳光下借助竹竿测量该路灯杆的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． (1)请画出此刻路灯杆在太阳光下的影子； (2)测得，围墙与路灯杆之间的距离m，路灯杆的影子落在围墙上的那部分的高度为m，求路灯杆的高度． 【答案】(1) 如图所示，折线为路灯杆在太阳光下的影子 (2)路灯杆的高度为m 【分析】（1）同一时刻，太阳光线是平行的，据此即可求解； （2）作，交于点，易证，根据相似的性质可得出的长度，根据矩形的判定定理得出四边形是矩形，依据矩形的性质得出的长度，即可得到的高度． 【详解】（1）解：同一时刻，太阳光线是平行的， 连接，过点C作一条直线与平行，交于点F， 光线被围墙挡住，落在围墙上的部分为，地面部分， 所以，路灯杆在太阳光下的影子为折现； （2）解：过点F作，交于点H，如答案图中所示， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：路灯杆的高度为m． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $