专题04成比例线段与相似三角形期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题04成比例线段与相似三角形期中复习讲义 1.理解线段的比、成比例线段的概念，掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，能进行等积式和比例式的互相转化；了解黄金分割、黄金比，会进行黄金分割相关线段简单计算。 2.掌握平行线分线段成比例定理及三角形一边平行线推论，能由平行推出线段成比例，也能根据线段成比例判断两直线平行，利用定理求线段长度、线段比值。 3.认识相似图形，理解相似三角形定义，找准对应顶点、对应边、对应角，掌握相似比；牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例，规范书写相似三角形，注意顶点对应顺序。 4.熟练掌握相似三角形四个判定方法：平行判定、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例；能根据条件选择合适判定定理，会补充条件使三角形相似，规避 SSA 错误判定。 5.掌握相似三角形的性质：对应高、中线、角平分线、周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方，能利用性质求线段长、周长、面积、比值。 6.会结合平行线、特殊三角形等知识，证明三角形相似、证明对应线段成比例；能在网格中识别、画出相似三角形；能在平面直角坐标系中借助相似求点的坐标。 7.会利用相似三角形模型解决测高、测距等实际测量问题；掌握相似动点问题，能够分类讨论动点变化下三角形相似的情况并计算求解。 8.理清易错点：找准对应边、对应角，分清相似比的顺序；区分周长比、面积比与相似比的关系；遇到多解情形，做到不漏解、不重复。 题型 考察方向 难度 题型一 比例的性质 ★★ 题型二 比例线段 ★★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★★ 题型七 相似图形 ★★ 题型八 利用平行判定相似 ★★★ 题型九 利用两角对应相等判定相似 ★★★ 题型十 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★★ 题型十一 利用三边对应成比例判定相似 ★★★ 题型十二 相似三角形的判定综合 ★★★★ 题型十三 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★★ 题型十四 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型十五 证明三角形的对应线段成比例 ★★★★ 题型十六 利用相似求坐标 ★★★★ 题型十七 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★★ 题型十八 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★★ 题型十九 相似三角形实际应用 ★★★★ 题型二十 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★★ 拔高题 11题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：成比例的线段 一、线段的比 1.定义：选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别为m、n，两条线段的比 a:b=m:n或= 2.关键要求：求线段比单位必须统一，比值是无单位正数；线段有顺序，{。 3.拓展：四条线段a、b、c、d，若=，称四条线段成比例；a、d为比例外项，b、c为比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项。 二、比例五大基本性质（核心计算工具） 已知=(b0,d0) 基本性质：ad=bc（比例式、等积式互化，最常用）； 推论：若ad=bc，则=.、=等多种比例形式。 2.更比性质：=（交换内项） 3.反比性质：=（前后项同时颠倒） 知识点02：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点03:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点04:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点05:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点06:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点07. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点08：高频易错汇总 1.线段比计算忘记统一单位，比值算错； 2.比例等积互化漏乘、符号混乱；等比性质忽略分母和不为 0 的条件； 3.黄金分割混淆长短线段，正负根不取舍； 4.相似三角形书写顶点不对应，找错对应边、相似比颠倒； 5.区分判定：平行线只能证 A、8 字型相似，不能随意套用； 6.面积计算直接用相似比，忘记平方。 题型一、比例的性质 1．已知，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵（）， ∴等式两边同时除以6，得 . 2．在与中，已知，且的周长为，则的周长为______． 【答案】24 【分析】由三边对应成比例，可得两个三角形的周长比等于相似比，代入的周长即可计算出结果． 【详解】解：∵， ∴， 即的周长的周长， ∵的周长为 ∴ 的周长为． 3．已知，则_________． 【答案】或 【分析】设，再整理，分和两种情况进行作答． 【详解】解：设， 则①， ②， ③， 得，， 当时，原式， 当时，，则， 原式． 故答案为：或． 题型二、比例线段 4．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． 5．如图，若是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则______． 【答案】 【分析】设，从而可得，先利用勾股定理可得，再利用线段的和差可得AC的长，然后求出线段的比即可得． 【详解】设，则， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、线段的比等知识点，熟练掌握勾股定理是解题关键． 6．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB为339米，观光区P为塔AB的黄金分割点(AP＞PB)，那么AP的高度大约为（    ）米．    A．200 B．210 C．300 D．130 【答案】B 【分析】根据黄金分割比代入求值即可． 【详解】由题意知： ， ∵AB=339， ∴BP=AB-PA=339-PA， 代入得：， 解得： ， 故选：B． 【点睛】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般． 题型三、成比例线段 7．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 【详解】解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． 8．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是_____________. 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 9．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 题型四、黄金分割 10．如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金比列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴． 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 【答案】 【分析】根据对称性可得厘米，再根据黄金比值可得答案． 【详解】解：由题意得，厘米， ∵， ∴， ∴厘米． 12．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的意义，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ． 题型五、由平行判断成比例的线段 13．如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一进行判定即可． 【详解】解：已知，根据平行线分线段成比例定理： A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：，错误． 【点睛】分清对应线段，平行截得的上、下两段的比相等，不要把对应边弄颠倒． 14．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 【答案】3 【分析】三条平行线截两条直线，对应的线段比值相等，得到和的比等于和的比，算出长度是的 2 倍；由与两段组成，总长为 9，也就是 3 份等于 9，求出长是 3． 【详解】解：已知直线，，，． 根据平行线分线段成比例定理： 得到，， 又因为，，把代入得： 故答案为：3． 【点睛】 15．如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 【答案】25 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出线段比相等，结合三角形面积公式，将线段比转化为面积比，建立方程求解中间三角形面积，进而求得的面积． 【详解】解：设的面积为， 与等高， ，即， 与等高， ，即， ， ， ， 整理 得， 解得，（舍去）， ， ． 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 16．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ，，， ， ． 17．如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么，_______，_______． 【答案】 / 【分析】可求出，则；过点D作，交于点G，根据平行线分线段成比例定理得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 如图所示，过点D作，交于点G， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 题型七、相似图形 19．下列两个图形，一定相似的是（     ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个等边三角形 D．两个直角三角形 【答案】C 【分析】利用相似图形对应角相等、对应边成比例的判定条件，结合各选项图形的性质判断． 【详解】解：∵两个等腰三角形的顶角、两个直角三角形除直角外的锐角均不一定对应相等， ∴A、D中两个图形对应角不一定全部相等，不一定相似， ∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴B中两个图形不一定相似， ∵等边三角形的各内角均为，且各边相等， ∴C中两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，一定相似． 20．如图，相似的正方形共有___________个，相似的三角形共有___________个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 21．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的性质．根据相似图形的性质即可求解． 【详解】解：依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大，的度数保持不变． 故选：D 题型八、利用平行判定相似 22．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 23．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 【答案】3 【分析】由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得、，进而得，最后综合即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有3对． 24．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 题型九、利用两角对应相等判定相似 25．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（    ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质．根据相似三角形的判定定理，等腰三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； B、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； C、若角为顶角，则两底角均为；若角为底角，则顶角均为， ∴都含有一个的内角的两个三角形不一定相似，故本选项不符合题意； D、角为钝角，则顶角只能为，此时等腰三角形的形状可以确定， ∴都含有一个的内角的两个三角形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 26．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 27．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 【答案】4/四 【分析】本题考查相似的判定，熟练掌握相似的判定条件是解题的关键． 是、、的公共角，然后根据所给的相等的角，可找出图中的相似三角形； 再根据，可知，可得出，即可判定出，看共有几组即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴图中相似三角形有4对． 故答案为：4． 题型十、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 28．如图，下列四个三角形中，相似的三角形是（   ） A．①和② B．①和④ C．③和④ D．①和④、②和③ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定方法来分析图形，通过观察和计算发现三角形①和④的两边比例相同， 且夹角相等，进而得到它们相似．排除A，C．再去判断②和③，发现不符，从而得到答案． 【详解】解：通过观察和计算发现三角形①和④的两边比例相同，即． 并且它们的夹角都为． 所以两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.排除A和C． 而②有一条边不知道，无法确定与③的三条边是否比例相同，不一定相似． 故选：B． 29．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】两三角形相似需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】解：题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合三角形相似的判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 30．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由对顶角相等及已知线段比例，利用相似三角形判定定理即可得出结论． 【详解】解：由图可知 即①和③相似． 题型十一、利用三边对应成比例判定相似 31．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是___________．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，勾股定理，设方格纸的每个小正方形的边长，结合勾股定理计算得出每个三角形的三边长，再结合相似三角形的判定定理即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设方格纸的每个小正方形的边长为， 则①的三边长为，，， 的三边长为，，， 的三边长为2，，， 的三边长为，，4， 的三边长2，，， 的三边长为，，， 故和①三边对应成比例的只有③，故三角形①相似的三角形是③， 故答案为：③． 32．图中的三角形相似的是______． 【答案】（1）和（2） 【分析】通过判断三边是否对应成比例来确定相似三角形． 【详解】解：图（1）中； 图（2）； 图（3）； 图（4）， ∵（1）和（2）中， ∴这两个三角形相似， 所以答案为（1）和（2）． 33．下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定规则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵选项A中，符合两角分别相等的判定规则，∴A可以判定 ； ∵选项B中，符合三边成比例的判定规则，∴B可以判定； ∵选项C中，且相等角是两组比例边的夹角，符合两边成比例且夹角相等的判定规则，∴C可以判定； ∵选项D中，相等的角不是这两组成比例的边的夹角，不满足相似三角形的判定规则，∴D不能判定． 题型十二、相似三角形的判定综合 34．如图，已知，则下列四个三角形中，与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先分析的角和边的特征，再逐一分析选项中三角形的角和边，根据相似三角形的判定定理两角分别相等或三边成比例或两边成比例且夹角相等来判断是否相似． 【详解】解：如图所示： ， 是等腰三角形， ， ， ， ． 、三角形有一个角是，仅知道一条边是，无法确定其角的关系和边的比例，不能判定与相似，不符合题意； 、三角形三边均为，是等边三角形，每个角都是，与的角不相等，不能判定与相似，不符合题意； 、三角形有一个角是，与的角和均不相等，不能判定与相似，不符合题意； 、三角形中有一个角是，且两边均为，是等腰三角形，所以其底角为，与中，分别相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得该三角形与相似，符合题意； 故选：D． 35．如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（     ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设交于点，先得出，，再根据相似三角形的判定即可得． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 综上，图中的相似三角形有6对． 36．如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 题型十三、选择或补充条件使两个三角形相似 37．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，平行线的性质与判定，对于A，可证明得到，再由得到，据此可证明；对于B，所加条件和现有条件无法证明；对于C、可证明，则同A可证明；对于D，根据平行线的性质得到，则可证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 再结合条件不能证明，故此选项符合题意； C、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 38．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 【答案】或或 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 39．在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【详解】解：从个条件中任取个组合，逐一判断： ①，②， ，可判定； ①③、①④、②③组合均满足两边成比例，但相等的角不是成比例两边的夹角， 不能判定相似； ②，④，且是与的夹角， 可判定； ③，④， 可判定； 综上，能判定相似的共有组． 题型十四、利用相似三角形的性质求解 40．如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的关系求解． 【详解】解：两个三角形的相似比为， 面积比为. 41．如图，在中，点、分别在边、上，，．若的面积为4，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由平行可判定，再利用相似的性质求出的面积，最后作差求出四边形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 42．如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 题型十五、证明三角形的对应线段成比例 43．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 【答案】A 【分析】根据题意，三角形ΔADE ∽ ΔABC，由AD：DB=2：1，可得到AD：AB=2：3，再根据相似三角形的对应边的比就是相似比，可得答案. 【详解】解：∵AD：DB=2：1 ∴AD：AB=2：3 ∵△ADE∽△ABC, ∴AD：AB=2：3 ∴△ADE与△ABC的相似比为2:3. 故答案为：A. 【点睛】此题考查相似三角形的相似比，熟练掌握相似三角形性质是解题关键. 44．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 45．如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 题型十六、利用相似求坐标 46．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，且与的相似比为，若点A、B的对应点、在第一象限，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似比以及相应的象限求出对应点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，与的相似比为，点A的对应点在第一象限，， ∴，即． 47．如图，在平面直角坐标系中，与是以点A为位似中心的位似图形，相似比为．已知，则点的坐标为__________________（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于点M，过点作点N，先证明，得到，求出的长，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点作点N， 则． 与的相似比为， ． 又 ， ． ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为： ． 48．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是____________，点的坐标是____________________． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键． 根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵将放大后得到．点， ∴与的相似比为， ∵， ∴， ∴点的坐标是， ∵与的相似比为， 则与的面积比是， 故答案为：；． 题型十七、在网格中画与已知三角形相似的三角形 49．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案． 【详解】解：在中， ，，， A、三边分别为，，，则，故与相似，符合题意； B、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； C、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； D、三边分别为，，，则，故与不相似，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 50．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝_____． 【答案】45° 【分析】根据勾股定理得到AC＝＝，求得＝，根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠CAE，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】∵AC＝＝，CD＝1，CE＝2， ∴＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ACD＝∠ECA， ∴△ACD∽△ECA， ∴∠ADB＝∠CAE， ∴∠ADB+∠AEB＝∠AEB+∠CAE＝∠ACB＝45°， 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，求得△ACD∽△ECA是解题的关键． 51．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． 题型十八、相似三角形 —— 动点问题 52．如图，在中，，，，若点从点出发，沿以的速度向点匀速运动．则经过____时，． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，解题的关键是根据相似式得出对应比例式，继而求出． 【详解】解：∵， ∴，即，即， 解得：， ∴经过时，， 故答案为：． 53．如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【答案】或或 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 54．如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 题型十九、相似三角形实际应用 55．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 【答案】20 【分析】由得到，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 对应60等份，对应等份，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小玻璃管口径是． 56．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 【答案】 【分析】根据两角分别相等得到，然后列出对应边成比例的关系式，再把已知线段长度代入比例式，最后求解得到的长． 【详解】解：，， ， 把，，代入： ． 57．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，第一层可以放______个，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有______个． 【答案】 2 6 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可． 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与、交于点E、F时，， ∴， ∴，且，，， ∴， ∴， ∵小长方形的宽为， ∴能分割四层小长方形， 设最底层的上一层的靠近点A的边为x， 根据三角形相似可得：， 解得， 正好能分割两个小长方形，即第一层可以放2个， 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形， ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个． 题型二十、相似三角形的判定与性质综合 58．如图，在中，、分别为、边上的点，，若，，，则___________． 【答案】 【分析】首先由，可证得，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵，，， ， ． 59．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 【答案】4 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得， ，再证明 ，得，从而求得，然后根据 ，代入即可求解. 【详解】解：取的中点，连接 ， ∵是的中点，是的中点 ， ∴是的中位线 ， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴. 60．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，延长至点F，满足，则以下说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，得出，即可判断B选项错误；证明，得出，即可判断C选项正确；只有等腰梯形才能得出，即可判断A选项错误；根据已知条件不能得出，即可判断D选项错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故B选项错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C选项正确； 只有等腰梯形才能得出，故A选项错误； 根据已知条件不能得出，故D选项错误． 解答题 61．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 62．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． (2)顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过交叉相乘得到关于的一元二次方程，利用求根公式计算即可得出结果； （2）根据黄金三角形的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：线段，的长为，则可表示为，， ∴，即， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：∵为黄金三角形，， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴， ∴， ∵为黄金三角形， ∴． 63．如图，已知，分别求出和的值． 【答案】 【分析】根据即可求，根据结合可得，，进而求解． 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 64．如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，即， 又∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； (2) 证明：如图，连接、， ∵，，分别是边，，的中点， ∴，，，， ∴， ∴ 由（1）可知， ，，，且 ∴，，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余易得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边对等角和三角形外角的定义可求得，即可证得结论； （2）连接、，根据三角形中位线的性质可证得，，，即可根据证得，最后由全等三角形的对应边相等的性质可得结论； （3）根据全等三角形的性质和平行线的性质可得，，结合三角形外角的定义、三角形内角和定理以及平角的定义，通过角度的和差运算即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）可知， ∴ ． 65．已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 66．已知：如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． 【分析】由平行线得出，，得出，，由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】略 67．如图，在中，．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点A在直线的同侧，且． (1)当点P在边上运动时，连接，当时，的长为 ； (2)当点P在边上运动时，若，则的值为 ； (3)当点P在边上运动时，连接．求证：； (4)当时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) ∵， ∴，， ∵以为边作等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (4)，或 【分析】（1）三线合一，得到，即可得出结果； （2）根据，求出的长，平行线分线段成比例，求出的值，进而求出的值即可； （3）等腰直角三角形的性质，推出，，进而得到，得到，即可得证； （4）分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当点在边上运动，且时，； 故答案为：． （2）由（1）可知：， 当点在边上运动时，且时，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 （4）①当点在上时，此时点在线段上， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴； ②当点在上时，由（3）可知：， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 68．如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 【答案】(1)证明：如图所示：过作，交于， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ． (2) 证明：由（1）可知，是平行四边形， ， ， ， 即， ， ． 【分析】（1）过作，交于，则四边形是平行四边形，再通过，利用对应边成比例求成即可； （2）根据平行得出，，．再通过桥梁和，把要求证的两个比连接了起来． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】证明线段比例，借助平行线构造相似；多组比例证明相等，常用等量代换搭桥． 69．在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)， (2)当时，平分面积 (3) 【分析】（1）根据点P和点Q的运动速度表示即可； （2）用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性； （3）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ， 解得，（舍）， ∴当时，平分面积； （3）解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ∴； 情况二：当时，则， ， ∴， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 70．某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为 【分析】由题意可得，，，，，，，则，，证明，，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴铁塔的高度为． 71．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】(1)，． (2)①； ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】（1）证明即可解答； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04成比例线段与相似三角形期中复习讲义 1.理解线段的比、成比例线段的概念，掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，能进行等积式和比例式的互相转化；了解黄金分割、黄金比，会进行黄金分割相关线段简单计算。 2.掌握平行线分线段成比例定理及三角形一边平行线推论，能由平行推出线段成比例，也能根据线段成比例判断两直线平行，利用定理求线段长度、线段比值。 3.认识相似图形，理解相似三角形定义，找准对应顶点、对应边、对应角，掌握相似比；牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例，规范书写相似三角形，注意顶点对应顺序。 4.熟练掌握相似三角形四个判定方法：平行判定、两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例；能根据条件选择合适判定定理，会补充条件使三角形相似，规避 SSA 错误判定。 5.掌握相似三角形的性质：对应高、中线、角平分线、周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方，能利用性质求线段长、周长、面积、比值。 6.会结合平行线、特殊三角形等知识，证明三角形相似、证明对应线段成比例；能在网格中识别、画出相似三角形；能在平面直角坐标系中借助相似求点的坐标。 7.会利用相似三角形模型解决测高、测距等实际测量问题；掌握相似动点问题，能够分类讨论动点变化下三角形相似的情况并计算求解。 8.理清易错点：找准对应边、对应角，分清相似比的顺序；区分周长比、面积比与相似比的关系；遇到多解情形，做到不漏解、不重复。 题型 考察方向 难度 题型一 比例的性质 ★★ 题型二 比例线段 ★★ 题型三 成比例线段 ★★ 题型四 黄金分割 ★★ 题型五 由平行判断成比例的线段 ★★★ 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 ★★★ 题型七 相似图形 ★★ 题型八 利用平行判定相似 ★★★ 题型九 利用两角对应相等判定相似 ★★★ 题型十 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 ★★★ 题型十一 利用三边对应成比例判定相似 ★★★ 题型十二 相似三角形的判定综合 ★★★★ 题型十三 选择或补充条件使两个三角形相似 ★★★ 题型十四 利用相似三角形的性质求解 ★★★ 题型十五 证明三角形的对应线段成比例 ★★★★ 题型十六 利用相似求坐标 ★★★★ 题型十七 在网格中画与已知三角形相似的三角形 ★★★ 题型十八 相似三角形 —— 动点问题 ★★★★★ 题型十九 相似三角形实际应用 ★★★★ 题型二十 相似三角形的判定与性质综合 ★★★★★ 拔高题 11题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：成比例的线段 一、线段的比 1.定义：选用同一长度单位量得两条线段a、b的长度分别为m、n，两条线段的比 a:b=m:n或= 2.关键要求：求线段比单位必须统一，比值是无单位正数；线段有顺序，{。 3.拓展：四条线段a、b、c、d，若=，称四条线段成比例；a、d为比例外项，b、c为比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项。 二、比例五大基本性质（核心计算工具） 已知=(b0,d0) 基本性质：ad=bc（比例式、等积式互化，最常用）； 推论：若ad=bc，则=.、=等多种比例形式。 2.更比性质：=（交换内项） 3.反比性质：=（前后项同时颠倒） 知识点02：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 知识点03:平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.推论（三角形中的平行线） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成 比例。 · 图 1（正 A 字型）：直线在三角形内部平行于底边，截两条腰，得到的对应线段成比例。 · 图 2（8 字型）：直线在三角形外部平行于底边，截两条腰的延长线，得到的对应线段也成比例。 3.逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。【需配图】 右边图（正 A 字型）：直线在三角形内部切两条腰，比例相等 ⇒ 这条线和底边平行。 左边图（8 字型）：直线在三角形外面切两条腰的延长线，比例相等 ⇒ 这条线也和底边平行。 知识点04:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点05:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点06:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点07. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点08：高频易错汇总 1.线段比计算忘记统一单位，比值算错； 2.比例等积互化漏乘、符号混乱；等比性质忽略分母和不为 0 的条件； 3.黄金分割混淆长短线段，正负根不取舍； 4.相似三角形书写顶点不对应，找错对应边、相似比颠倒； 5.区分判定：平行线只能证 A、8 字型相似，不能随意套用； 6.面积计算直接用相似比，忘记平方。 题型一、比例的性质 1．已知，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．在与中，已知，且的周长为，则的周长为______． 3．已知，则_________． 题型二、比例线段 4．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 5．如图，若是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则______． 6．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB为339米，观光区P为塔AB的黄金分割点(AP＞PB)，那么AP的高度大约为（    ）米．    A．200 B．210 C．300 D．130 题型三、成比例线段 7．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 8．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是_____________. 9．如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 题型四、黄金分割 10．如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 11．如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 12．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 题型五、由平行判断成比例的线段 13．如图，在中，，则下列比例式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 15．如图，，的面积是4，的面积是15，则的面积是________________． 题型六、由平行截线求相关线段的长或比值 16．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 17．如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么，_______，_______． 18．如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 题型七、相似图形 19．下列两个图形，一定相似的是（     ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个等边三角形 D．两个直角三角形 20．如图，相似的正方形共有___________个，相似的三角形共有___________个． 21．某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 题型八、利用平行判定相似 22．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 23．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 24．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 题型九、利用两角对应相等判定相似 25．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（    ） A．都含有一个的内角 B．都含有一个的内角 C．都含有一个的内角 D．都含有一个的内角 26．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 27．如图，点、分别在的边、上，且，则图中相似三角形有______对． 题型十、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 28．如图，下列四个三角形中，相似的三角形是（   ） A．①和② B．①和④ C．③和④ D．①和④、②和③ 29．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C．D． 30．如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 题型十一、利用三边对应成比例判定相似 31．如图，将方格纸分成6个三角形，在②③④⑤⑥5个三角形中，与三角形①相似的三角形是___________．（填序号） 32．图中的三角形相似的是______． 33．下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C．，且 D．，且 题型十二、相似三角形的判定综合 34．如图，已知，则下列四个三角形中，与相似的是（    ） A． B．C．D． 35．如图，在中，，垂足分别是E，F．则图中的相似三角形有（     ）对． A．5 B．6 C．7 D．8 36．如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 题型十三、选择或补充条件使两个三角形相似 37．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 38．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 39．在与中，有下列条件：；；；．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有（     ） A．组 B．组 C．组 D．组 题型十四、利用相似三角形的性质求解 40．如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 41．如图，在中，点、分别在边、上，，．若的面积为4，则四边形的面积为_____． 42．如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型十五、证明三角形的对应线段成比例 43．如图， ∽ ，且 ，则 与 的相似比为（    ） A．2:3 B．3:2 C．2:1 D．1:2 44．《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 45．如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 题型十六、利用相似求坐标 46．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，且与的相似比为，若点A、B的对应点、在第一象限，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 47．如图，在平面直角坐标系中，与是以点A为位似中心的位似图形，相似比为．已知，则点的坐标为__________________（结果用含a，b的式子表示）． 48．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是____________，点的坐标是____________________． 题型十七、在网格中画与已知三角形相似的三角形 49．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，下列阴影部分的三角形与相似的是（　　） A． B． C． D． 50．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝_____． 51．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 题型十八、相似三角形 —— 动点问题 52．如图，在中，，，，若点从点出发，沿以的速度向点匀速运动．则经过____时，． 53．如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 54．如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s 题型十九、相似三角形实际应用 55．如图，测量小玻璃管口径的量具，的长为，被分为60等份．如果小玻璃管正好对着量具上20等份处（），那么小玻璃管口径是_____． 56．如图是用杠杆撬石头的示意图，动力臂，阻力臂，，则______． 57．有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小长方形的长为的边在上，第一层可以放______个，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有______个． 题型二十、相似三角形的判定与性质综合 58．如图，在中，、分别为、边上的点，，若，，，则___________． 59．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 60．如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，延长至点F，满足，则以下说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 解答题 61．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 62．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，点是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，这种分割叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．若设线段，的长为，则可表示为，因为，所以，据此计算出黄金分割数（结果保留根号）． (2)顶角为的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形的底与腰的比为上题中的黄金分割数（含根号）．如图2，若，，都是黄金三角形，已知，求的长． 63．如图，已知，分别求出和的值． 64．如图，中，分别以，向外作和，其中，，，，分别是边，，的中点，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)的度数为_____（用含的代数式表示）． 65．已知：如图，在和中，．求证：． 66．已知：如图，在四边形中，，．求证：． 67．如图，在中，．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点A在直线的同侧，且． (1)当点P在边上运动时，连接，当时，的长为 ； (2)当点P在边上运动时，若，则的值为 ； (3)当点P在边上运动时，连接．求证：； (4)当时，直接写出的长． 68．如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 69．在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 70．某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． 71．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． (1)兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； (2)如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $