专题30.1 投影（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题30.1 投影（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 投影类型辨析判断】 2 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 4 【题型3 判断物体投影的形状】 6 【题型4 利用影长求物体高度】 8 【题型5 根据投影求解面积值】 12 【题型6 确定中心投影光源点】 16 【题型7 绘制物体投影示意图】 19 【题型8 投影相似综合计算题】 25 考点1 投影 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 【题型1 投影类型辨析判断】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光线形成，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）下列光源所形成的投影是平行投影的是（   ） A．蜡烛 B．太阳 C．台灯 D．电灯 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，平行投影的光线需平行，太阳光因距离远可视为平行，其他选项为点光源，光线发散，形成中心投影，由此即可得解，熟练掌握平行投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：平行投影要求光线平行；太阳光近似平行，形成平行投影；蜡烛、台灯、电灯为点光源，光线发散，形成中心投影， 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）．根据平行投影的定义判断即可． 【详解】解：①灯是点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ②太阳光近似平行光线，形成平行投影，符合题意； ③萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ④灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； 故答案为：②． 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（    ） A．②④①③ B．①④③② C．②④③① D．①③②④ 【答案】B 【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断，太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向； 【详解】太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子开始时应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动，故它们按时间先后顺序进行排列为：①④③②， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影的判定，准确分析判断是解题的关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 【变式2-2】（2026·山东威海·模拟预测）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了在太阳光下的平行投影，解答本题的关键是要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例． 【详解】解：太阳从东边升起最后从西边落下，树的影子应该在西面开始，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动， ∴按时间先后顺序排列序号应为④②①③． 故选：B． 【题型3 判断物体投影的形状】 【例3】（2026·贵州贵阳·一模）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【分析】根据球体的几何特征及光线照射方向判断影子的形状． 【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 【变式3-1】（2025·广西柳州·二模）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】由于矩形边框的对边平行，则在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影的对边也平行或重合，所以她的投影不可能为三角形、圆、椭圆． 【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． 【变式3-2】（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选D 【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是________．(文字回答即可) 【答案】 椭圆 圆 三角形 【分析】在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，根据这个特点判断每个几何体的阴影形状即可. 【详解】在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是椭圆，圆，三角形． 故答案为椭圆，圆，三角形． 【点睛】本题主要考查物体投影的形状，解此题的关键在于仔细观察光源与几何体的位置关系. 【题型4 利用影长求物体高度】 【例4】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，中心投影等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 先证明，推出，求得米，再证明，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 【变式4-3】（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 【题型5 根据投影求解面积值】 【例5】（2026·宁夏银川·三模）如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______． 【答案】 【分析】由中心投影可知与是位似图形，根据位似图形的性质，面积比等于位似比的平方，求出位似比即可求解． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形，点为位似中心． ， ， ， 与的位似比为， ， ， ． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在传统皮影戏表演中，若表演的艺人操控的皮影与幕布平行，背后的油灯（点光源）皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为．则幕布上皮影影子面积与原皮影面积的比值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心投影，位似图形的性质. 由题意得，皮影与其在幕布上的影子关于油灯位似，那么幕布上皮影影子的面积与原皮影面积的比值等于油灯（点光源）到幕布的垂直距离与油灯（点光源）到皮影的垂直距离的比值的平方，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，皮影与其在幕布上的影子关于油灯位似， ∵油灯（点光源）到皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为， ∴油灯（点光源）到幕布的垂直距离为， ∴油灯（点光源）到皮影的垂直距离与油灯（点光源）到幕布的垂直距离的比为， ∴幕布上皮影影子的面积与原皮影面积的比值为， 故答案为：． 【变式5-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【分析】本题考查了正投影，牢记正投影的特征是解题关键． 根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到，得到答案． 【详解】解：由题意可知，． ， ， ． 故答案为：． 【变式5-3】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1) 解：如图所示，点即是灯泡的位置； (2)①；②米 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据熟练掌握中心投影的定义，相似三角形判定与性质解题关键． （1）连接、并延长，相交于点，则点即是灯泡的位置； （2）①先证明四边形是矩形，得出，，证明，得出相似比，再利用相似三角形的性质即可求解； ②过作，则即是灯泡距离地面的高度，利用，得出，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，， ∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 【题型6 确定中心投影光源点】 【例6】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】 如图，点即为所求，线段即为所求． 【分析】本题考查中心投影，连接并延长，交点即为光源的位置，连接，作，交于点，即为所求． 【详解】略 【变式6-1】如图是两棵树在同一时刻被同一点光源照射留下的影子，请在图中画出形成树影的光线，并确定光源所在的位置． 【答案】详见解析 【分析】根据光源的位置即为两棵树树的顶端和影子顶端的连线所在的直线的交点进行求解即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 原因是过一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一棵树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两直线相交，其交点就是光源的位置． 【点睛】本题主要考查了投影，熟知投影的相关知识是解题的关键． 【变式6-2】（1）请在图1中画出小林在灯光下的影子（用线段表示）； （2）小林在灯光下的影子如图2所示，请在图中画出表示小林身高的线段； （3）小林及木杆在某灯光下的影子如图3所示，请在图中确定光源所在的位置． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）已知光源位置及物体，画该物本在灯光下的影子； （2）已知光源位置及物体在该灯光下约影子，确定该物体的位置与高度； （3）已知两个物体及其在同一灯光下的影子，确定该光源的位置． 【详解】（1）如图所示，地上黑线即为所求： （2）如图所示，竖直黑线即为所求： （3）如图所示，两条线交点即为所求： 【点睛】本题士要考查中心投影的有关内容，涉及三个主要因素：投影中心（光源）物体及其投影． 【变式6-3】（25-26九年级下·江西南昌·阶段检测）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）； （2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示）    【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线； （2）分别过标杆的顶点及其影子的顶点作射线，两条射线的交点即为光源的位置． 【详解】解：（1）如图1，CD是木杆在阳光下的影子； （2）如图2，点P是影子的光源，    【点睛】平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子；点光源是由两个影子与物高决定；点光源经过物体的顶端也可得到物体在点光源下的影子． 【题型7 绘制物体投影示意图】 【例7】（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】(1)见解析 (2)路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【分析】（1）与的延长线相交于G，即为所求； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴， ∴，即 ∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为． (1)画出木杆在轴上的投影； (2)求出其投影的长． 【答案】(1)如图所示，投影即为所求； (2) 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）连接，并延长分别交x轴于点C，D即为所求； （2）如图，过作轴于，交于，证明出，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过作轴于，交于， ． ， ， ， ， ， ． 【变式7-2】（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】(1) 如图，线段与线段为所求作图形； (2) 证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 (3)路灯距地面高度为米 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（1）图2；图1 （2）如图所示，即为所作； （3）米 【分析】本题考查投影和相似三角形的应用，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据平行投影和中心投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形即可求解； （3）利用相似三角形的性质构建方程组和方程，求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，反映平行投影的情形图是图2；反映中心投影的情形图是图1； 故答案为：图2；图1； (2)略 （3）如图，记图1的投影中心为O，过点O作交的延长线于点N， ，，， ，， ，， ，， ，，，， ，即， ，即， 则，解得， ，， ， ， ， ，，，， ，即， 解得， 则竹竿的影长为米． 【题型8 投影相似综合计算题】 【例8】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； (2)纪念碑的高度为． (3)解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）略 【变式8-1】某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）； （2）求小明原来的速度． 【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s． 【分析】（1）利用中心投影的定义作图； （2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到，即代入解方程即可． 【详解】解：（1）如图， （2）设小明原来的速度为xm/s， 则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x， ∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB， ∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB， ∴，， ∴，即， 解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解， ∴小明原来的速度为1.5m/s． 答：小明原来的速度为1.5m/s． 【点睛】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是解题关键． 【变式8-2】如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程． 【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米． 【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影； （2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度． 【详解】（1）平行； （2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M， 则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5 所以AN=10-2=8， 由平行投影可知：即 解得CD=7 所以电线杆的高度为7m． 【变式8-3】（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【答案】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 【详解】解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.1 投影（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 投影类型辨析判断】 2 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 3 【题型3 判断物体投影的形状】 4 【题型4 利用影长求物体高度】 5 【题型5 根据投影求解面积值】 6 【题型6 确定中心投影光源点】 7 【题型7 绘制物体投影示意图】 8 【题型8 投影相似综合计算题】 10 考点1 投影 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征 （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短； 离点光源越远，影子越长 （2）等长物体平行于地面放置： 离点光源越近，影子越长； 离点光源越远，影子越短，但不会小于物体本身的长度 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上． 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影．常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影．正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）． 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 【题型1 投影类型辨析判断】 【例1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【变式1-1】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）下列光源所形成的投影是平行投影的是（   ） A．蜡烛 B．太阳 C．台灯 D．电灯 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【题型2 光源变化下影子大小变化判断】 【例2】（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（    ） A．②④①③ B．①④③② C．②④③① D．①③②④ 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【变式2-2】（2026·山东威海·模拟预测）下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【题型3 判断物体投影的形状】 【例3】（2026·贵州贵阳·一模）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【变式3-1】（2025·广西柳州·二模）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形 【变式3-2】（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是________．(文字回答即可) 【题型4 利用影长求物体高度】 【例4】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【变式4-2】（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【变式4-3】（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据投影求解面积值】 【例5】（2026·宁夏银川·三模）如图，在点光源的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是若，则的面积是______． 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在传统皮影戏表演中，若表演的艺人操控的皮影与幕布平行，背后的油灯（点光源）皮影的垂直距离为，皮影到幕布的垂直距离为．则幕布上皮影影子面积与原皮影面积的比值为______． 【变式5-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【变式5-3】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． 【题型6 确定中心投影光源点】 【例6】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【变式6-1】如图是两棵树在同一时刻被同一点光源照射留下的影子，请在图中画出形成树影的光线，并确定光源所在的位置． 【变式6-2】（1）请在图1中画出小林在灯光下的影子（用线段表示）； （2）小林在灯光下的影子如图2所示，请在图中画出表示小林身高的线段； （3）小林及木杆在某灯光下的影子如图3所示，请在图中确定光源所在的位置． 【变式6-3】（25-26九年级下·江西南昌·阶段检测）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）； （2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示）    【题型7 绘制物体投影示意图】 【例7】（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆平行于轴，木杆两端的坐标分别为． (1)画出木杆在轴上的投影； (2)求出其投影的长． 【变式7-2】（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【变式7-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】 （2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】 （3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【题型8 投影相似综合计算题】 【例8】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【变式8-1】某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）； （2）求小明原来的速度． 【变式8-2】如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程． 【变式8-3】（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $