专题01二次函数及其图象与性质期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题01二次函数及其图象与性质期中复习讲义 1.理解二次函数的概念：掌握二次函数一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，能识别二次函数，会根据定义求参数取值，区分一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数；能根据实际情境列出二次函数关系式，确定自变量的取值范围。 2.掌握二次函数几种特殊形式：y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k，清楚每种形式的顶点、对称轴。 3.理解系数a的作用：a决定抛物线开口方向与开口大小；a>0开口向上，有最低点、最小值；a<0开口向下，有最高点、最大值；|a|越大，开口越窄。 4.会用配方法把一般式化成顶点式，能直接读出顶点坐标、对称轴；会用公式法求对称轴x=--、顶点纵坐标。 5.掌握二次函数增减性：以对称轴为分界，判断在对称轴左侧、右侧y随x的变化情况；会比较抛物线上多个点的函数值大小（优先看到对称轴的距离）。 6.理解抛物线平移规律：左加右减针对h，上加下减针对k，分清是对自变量x平移，还是对函数值y平移，能判断平移前后解析式变化，也能根据平移前后解析式描述平移路径。 7.会画二次函数草图：确定开口方向、对称轴、顶点，选取对称点列表描点；能看懂图象，从图象上读取信息，判断(a、b、c、)的符号，判断代数式的正负。 8.掌握二次函数的最值：在全体实数范围内，最值在顶点处；会求给定自变量取值范围内的最大、最小值，区分顶点在区间内、顶点在区间外两种情况。 9.理清常见易错点：①忽略二次函数定义中(a≠0)；②平移时混淆左右平移的加减；③比较函数值忘记开口方向，只看横坐标；④求区间最值直接取顶点，不判断顶点是否在取值范围内；⑤b的符号判断错误（对称轴 “左同右异”）。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★★ 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型十八 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c) 为常数a≠0）的函数叫做二次函数。 ax2：二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项。 2.三种特殊形式 最简式：y=ax2 (a≠0)（b=0，c=0） 缺一次项：y=ax2+c(a≠0)（b=0） 缺常数项：y=ax2+bx(a≠0)（c=0） 3.判断二次函数关键条件 整理化简后，自变量最高次数为 2； 二次项系数 (a≠0)； 等号右边是关于 x 的整式，不含分式、根号、x 在分母。 4.易混区分：一次函数 y=kx+b(k≠0)、反比例函数 y=(k≠0)、二次函数三者区分 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02：实际问题列二次函数解析式 常见沪考实际模型：图形面积、销售利润、抛射运动、增长率问题。 解题步骤： 找准自变量 x、因变量 y； 根据等量关系列出等式，整理成标准二次函数形式； 根据实际意义写出自变量取值范围（长度、数量大于 0 等限制） 示例：矩形周长固定，面积与边长的函数关系；商品涨价降价，总利润函数。 自变量取值范围 1.纯代数解析式：全体实数； 2.实际应用题：长度、数量大于 0，限定区间、整数等。 知识点03：二次函数解析式的三种形式 三种解析式互相转化总结 知识点03:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 图象 知识点04：二次函数的图象与性质 知识点05：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点06:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点07:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点08：高频易错点 1.判断二次函数忽略a≠0； 2.图像平移混淆 “左加右减”，直接在x外侧加减常数； 3.配方漏乘二次项系数a，常数计算出错； 4.顶点坐标、对称轴符号丢负号； 5.求区间最值只看顶点，忽略自变量区间端点； 6.增减性描述缺少对称轴分界条件； 7.交点式使用前提：抛物线与x轴有两个不同交点； 8.实际应用题遗漏自变量取值范围。 题型一、列二次函数关系式 1．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 2．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 3．边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 题型二、二次函数的识别 4．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C．D． 5．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列函数中，一定是二次函数的有（     ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 题型三、根据二次函数的定义求参数 7．若关于x的函数是二次函数，则（     ） A． B． C． D． 8．如果函数是关于的二次函数，则________． 9．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 题型四、y=ax2的图象和性质 10．关于二次函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．图象在x轴的上方 B．y随x的增大而减小 C．图象关于x轴对称 D．图象必经过点 11．已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 12．对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五、y=ax2+k的图象和性质 13．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，函数有最大值3 D．当时，y随x的增大而减小 14．若抛物线有最高点，则实数的取值范围是__________． 15．已知抛物线经过点，，，则（     ） A． B． C． D． 题型六、y=a(x-h)2的图象和性质 16．已知二次函数，其中，该二次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 17．如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 18．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 题型七、y=a(x-h)2+k的图象和性质 19．对于二次函数，下面说法正确的是（     ） A．开口向下 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．当时，函数取得最大值 5 20．抛物线，当时，y的取值范围是________． 21．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型八、二次函数图象的平移 22．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 23．抛物线是由抛物线向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度得到的． 24．如图，已知正方形中，，，，，有一抛物线向上平移个单位（）与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型九、把y=ax2+bx+c化成顶点式 25．把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 26．将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的新抛物线的顶点和抛物线的顶点重合，则的值为________． 27．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（     ） A． B． C．0 D．2 题型十、y=ax2+bx+c的图象与性质 28．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 29．抛物线，过点，且对于抛物线上任意一点都有，则的值为______________． 30．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 题型十一、二次函数图象与各项系数符号 31．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 32．二次函数的图象如图所示，则点在第________象限． 33．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断 34．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 35．当时，函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 36．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 题型十三、反比例函数、二次函数图象综合判断 37．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A． B．C．D． 38．二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 39．如图，二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，交点和，若，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十四、两个二次函数图象综合判断 40．已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 41．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 42．如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型十五、根据二次函数的图象判断式子符号 43．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 44．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 45．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 题型十六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 46．二次函数的部分对应值如下表所示，则该二次函数图象的对称轴是______________． x … 0 1 2 … y … 5 0 … 47．二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则________． 48．已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（     ） A．只能是直线 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧 C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧 题型十七、根据二次函数的对称性求函数值 49．二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（ 　） x … 1 3 5 … y … 7 0 7 … A．0 B．3 C． D．5 50．若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是_______（用 < 连接）． 51．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 题型十八、y=ax2+bx+c的最值 52．二次函数的最大值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 53．若，则的最小值是______． 54．已知二次函数，当时，函数的最大值为10，最小值为1，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十九、利用二次函数对称性求最短路径 55．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 56．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 57．如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时，______． 解答题 58．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 59．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 60．已知二次函数的图象经过点、、． (1)求该二次函数的解析式； (2)求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 61．二次函数的部分图象如图所示，该二次函数图象过点，对称轴为直线， (1)___________0，___________0，___________0，（填“”“”或“”） (2)___________0，___________0，（填“”“”或“”） (3)___________0，（填“”“”或“”） (4)___________； (5)若点、点、点在该函数图象上，则和的大小关系为___________．（用“”连结） 62．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 63．为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅垂高”．例如，对于函数，当时，；当时，，则函数的“单位铅垂高”． (1)正比例函数的“单位铅垂高”_______； (2)若点在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅垂高”．求此时m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅垂高”t的最小值． 64．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 65．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数及其图象与性质期中复习讲义 1.理解二次函数的概念：掌握二次函数一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，能识别二次函数，会根据定义求参数取值，区分一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数；能根据实际情境列出二次函数关系式，确定自变量的取值范围。 2.掌握二次函数几种特殊形式：y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k，清楚每种形式的顶点、对称轴。 3.理解系数a的作用：a决定抛物线开口方向与开口大小；a>0开口向上，有最低点、最小值；a<0开口向下，有最高点、最大值；|a|越大，开口越窄。 4.会用配方法把一般式化成顶点式，能直接读出顶点坐标、对称轴；会用公式法求对称轴x=--、顶点纵坐标。 5.掌握二次函数增减性：以对称轴为分界，判断在对称轴左侧、右侧y随x的变化情况；会比较抛物线上多个点的函数值大小（优先看到对称轴的距离）。 6.理解抛物线平移规律：左加右减针对h，上加下减针对k，分清是对自变量x平移，还是对函数值y平移，能判断平移前后解析式变化，也能根据平移前后解析式描述平移路径。 7.会画二次函数草图：确定开口方向、对称轴、顶点，选取对称点列表描点；能看懂图象，从图象上读取信息，判断(a、b、c、)的符号，判断代数式的正负。 8.掌握二次函数的最值：在全体实数范围内，最值在顶点处；会求给定自变量取值范围内的最大、最小值，区分顶点在区间内、顶点在区间外两种情况。 9.理清常见易错点：①忽略二次函数定义中(a≠0)；②平移时混淆左右平移的加减；③比较函数值忘记开口方向，只看横坐标；④求区间最值直接取顶点，不判断顶点是否在取值范围内；⑤b的符号判断错误（对称轴 “左同右异”）。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十四 两个二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十五 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★★ 题型十六 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十七 根据二次函数的对称性求函数值 ★★★ 题型十八 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十九 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：二次函数定义 1.定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c) 为常数a≠0）的函数叫做二次函数。 ax2：二次项，a 为二次项系数； bx：一次项，b 为一次项系数； c：常数项。 2.三种特殊形式 最简式：y=ax2 (a≠0)（b=0，c=0） 缺一次项：y=ax2+c(a≠0)（b=0） 缺常数项：y=ax2+bx(a≠0)（c=0） 3.判断二次函数关键条件 整理化简后，自变量最高次数为 2； 二次项系数 (a≠0)； 等号右边是关于 x 的整式，不含分式、根号、x 在分母。 4.易混区分：一次函数 y=kx+b(k≠0)、反比例函数 y=(k≠0)、二次函数三者区分 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02：实际问题列二次函数解析式 常见沪考实际模型：图形面积、销售利润、抛射运动、增长率问题。 解题步骤： 找准自变量 x、因变量 y； 根据等量关系列出等式，整理成标准二次函数形式； 根据实际意义写出自变量取值范围（长度、数量大于 0 等限制） 示例：矩形周长固定，面积与边长的函数关系；商品涨价降价，总利润函数。 自变量取值范围 1.纯代数解析式：全体实数； 2.实际应用题：长度、数量大于 0，限定区间、整数等。 知识点03：二次函数解析式的三种形式 三种解析式互相转化总结 知识点03:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 图象 知识点04：二次函数的图象与性质 知识点05：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点06:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点07:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点08：高频易错点 1.判断二次函数忽略a≠0； 2.图像平移混淆 “左加右减”，直接在x外侧加减常数； 3.配方漏乘二次项系数a，常数计算出错； 4.顶点坐标、对称轴符号丢负号； 5.求区间最值只看顶点，忽略自变量区间端点； 6.增减性描述缺少对称轴分界条件； 7.交点式使用前提：抛物线与x轴有两个不同交点； 8.实际应用题遗漏自变量取值范围。 题型一、列二次函数关系式 1．在中，边的长为边上的高比长的2倍多1，则的面积与之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的长为，边上的高比长的2倍多1，， ∴边上的高为， ∴． 2．如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 3．边长为5的正方形，点F是上一动点，过对角线交点E作，交于点G，设的长为x，的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 【答案】C 【分析】先利用正方形的性质证明，可得，再利用勾股定理表示，再利用等腰直角三角形的面积公式可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴在中， 在中， ∴， ∴， ∴， 即， ∴y与x满足的函数关系是二次函数，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，列二次函数关系式，证明是解本题的关键． 题型二、二次函数的识别 4．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A. 是一次函数，不符合题意． B. ，是二次函数，符合题意． C. ，是一次函数，不符合题意． D. 未明确，不一定是二次函数，不符合题意． 5．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义，形如的函数为二次函数，先化简各选项函数，再判断是否为二次函数． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合． B选项：，是二次函数，符合． C选项：，是一次函数，不符合． D选项：的右边含分式，不是整式函数，不符合． 6．下列函数中，一定是二次函数的有（     ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先化简各函数表达式，再结合二次函数的定义逐一判定． 【详解】解：①，是整式，二次项系数为，是二次函数； ②，是整式，二次项系数为，是二次函数； ③，不是整式，不是二次函数； ④，化简后为常数函数，无二次项，不是二次函数； ⑤，未说明，当时不是二次函数，故不一定是二次函数， 综上，一定是二次函数的有个． 题型三、根据二次函数的定义求参数 7．若关于x的函数是二次函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数是否为二次函数，必须满足二次项的系数不为这一核心条件，本题结合二次函数的定义即可完成判断． 【详解】解：选项，当时，二次项系数，函数的最高次项为二次项，符合二次函数的定义要求，故符合题意； 选项，仅限制，无法排除的情况，若，二次项系数为，函数就不再是二次函数，故不符合题意； 选项，若，代入后二次项系数为，原函数化为，属于一次函数，故不符合题意； 选项，若，当时，会让二次项系数消失，函数化为一次函数，故不符合题意． 8．如果函数是关于的二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可以得到，根据可得：或，根据可得，从而确定的值． 【详解】解： 函数是关于的二次函数. 满足条件， 解方程， 可得：， 解得：或， ， ， . 9．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（    ） A．； B．； C．当时，； D．不论取何值， 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据“旋转函数”的定义得到，，，则，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”， ∴， 解得，故选项A、B错误， ∴， ∴，， 当时，，故选项C正确； ∵， ∴只有当时，， 故选项D错误， 故选：C 题型四、y=ax2的图象和性质 10．关于二次函数的图象，下列说法中正确的是（     ） A．图象在x轴的上方 B．y随x的增大而减小 C．图象关于x轴对称 D．图象必经过点 【答案】D 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对任意实数，，图象在轴下方（含原点），A错误； ∵该函数图象开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，B错误； ∵该函数图象的对称轴为轴， ∴图象关于轴对称，C错误； 将代入，得， ∴图象经过点，D正确. 11．已知二次函数，当时，y的取值范围是_________． 【答案】 【分析】求出在内，二次函数的增减性，进而求出最大值与最小值，由此即可得． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴当时，的最小值为0，最大值为9， ∴． 12．对于二次函数和，有以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是轴；③当时，都是随着的增大而增大；④它们的开口大小都是一样的．其中，正确的说法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】两个函数均为的形式，可根据的符号、绝对值及该形式二次函数的对称轴、增减性规律判断各说法正误． 【详解】解：对于， ∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而增大； 对于， ∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线（即轴），当时，随的增大而减小； ①图象开口向下，故①错误； ②两个函数的对称轴均为轴，故②正确； ③当时，的随增大而减小，故③错误； ④两个函数的，开口大小一样，故④正确． 综上，正确的说法共2个． 题型五、y=ax2+k的图象和性质 13．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，函数有最大值3 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：∵二次函数中， ∴图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值， 当时，随的增大而减小， ∴选项A、C、D正确，B错误． 14．若抛物线有最高点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】抛物线有最高点说明开口向下，二次项系数小于0，据此列不等式求解． 【详解】∵ 抛物线有最高点， ∴ 抛物线开口向下，二次项系数满足． 解不等式得． 15．已知抛物线经过点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别把的横坐标代入解析式，然后比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理得，， ∵， ∴． 题型六、y=a(x-h)2的图象和性质 16．已知二次函数，其中，该二次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由二次函数，其中，可知函数开口向上，对称轴在轴右侧，且当时，只有A符合要求． 17．如果二次函数的图象在它的对称轴左侧部分是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次函数对称轴左侧为上升，判断抛物线开口方向，进而得到a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴左侧部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴． 18．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数由一次项系数判断增减性，二次函数结合开口方向、对称轴与的位置关系判断增减性． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为， ∴随的增大而增大，故选项A不符合题意． ∵二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向下， 又∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵满足，故选项B符合题意． ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项C不符合题意． ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意． 题型七、y=a(x-h)2+k的图象和性质 19．对于二次函数，下面说法正确的是（     ） A．开口向下 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．当时，函数取得最大值 5 【答案】C 【分析】该函数为二次函数顶点式，可直接提取参数判断开口方向、顶点坐标、对称轴及最值． 【详解】解：二次函数为顶点式，对应，，． ∵， ∴抛物线开口向上，当时函数取得最小值5，故A、D错误． 顶点坐标为，故B错误． 对称轴为直线，故C正确． 20．抛物线，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴位置，对称轴在给定区间内，开口向上时顶点处取最小值，比较区间端点函数值得最大值，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵中，二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∵对于二次函数，对称轴为，此处，， ∴对称轴为， ∵，对称轴在给定范围内，开口向上的抛物线顶点处取得最小值， ∴当时，取最小值，代入得， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最大值为， 因此的取值范围是． 21．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 题型八、二次函数图象的平移 22．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 23．抛物线是由抛物线向___________平移___________个单位长度，再向___________平移___________个单位长度得到的． 【答案】 右（或上） 上（或右） 【分析】根据二次函数图象平移规律，对比两个抛物线的顶点式即可得出平移方式． 【详解】解：二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律，对比原抛物线与目标抛物线， ∴平移过程为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度或者向上平移个单位长度，向右平移个单位长度． 24．如图，已知正方形中，，，，，有一抛物线向上平移个单位（）与正方形的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得出平移后的解析式，分别将正方形的临界顶点坐标代入求出的值，从而确定取值范围． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向下，设平移后的解析式为， 当抛物线经过点时，取得最小值，即， 解得； 当抛物线经过点时，取得最大值，即， 解得； 的取值范围是． 题型九、把y=ax2+bx+c化成顶点式 25．把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将进行配方，然后与对比即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 26．将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的新抛物线的顶点和抛物线的顶点重合，则的值为________． 【答案】 【分析】先对原抛物线配方得到原顶点坐标，根据平移规律得到平移后的顶点坐标，再写出抛物线的顶点式，展开对比系数得到和的值，最后再计算即可． 【详解】解：对抛物线配方化为顶点式， ， ∴原抛物线的顶点坐标为． 将原抛物线的顶点式向右平移个单位长度，即顶点的横坐标加；向下平移个单位长度，即顶点的纵坐标减， ∴得到平移后的新顶点坐标为． ∵新抛物线顶点与顶点重合， ∴的顶点为， 写出的顶点式：， 展开得， 对比得，， ∴． 27．已知抛物线，则当时，函数的最大值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求解最大值即可． 【详解】解：将配方得， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵ ，，， ∴ 时函数取得最大值， 代入得． 题型十、y=ax2+bx+c的图象与性质 28．已知，，三点均在抛物线上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，三点均在抛物线上求出、、，再比较大小，即可得答案. 【详解】解：当时， ， 当时，， 当时，， .∵ ， ∴ . 29．抛物线，过点，且对于抛物线上任意一点都有，则的值为______________． 【答案】 【分析】由题意得 是抛物线的最小值，因此点 是抛物线顶点，利用顶点横坐标公式列方程即可求解． 【详解】解：∵ 抛物线 的二次项系数为 ， ∴ 抛物线开口向上，函数存在最小值． ∵ 抛物线上任意点 都满足 ，且 在抛物线上， ∴ 是抛物线顶点，顶点横坐标为 根据抛物线顶点横坐标公式，得， 解得 ． 30．如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点的横坐标为2．下列结论中错误的是（） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象开口向下得；顶点横坐标为2，即，得，则， B正确； 由图象与轴交于点得，所以，A错误； 抛物线开口向下，对称轴右侧随的增大而减小，C正确； 时图象在轴下方，，D正确． 题型十一、二次函数图象与各项系数符号 31．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数性质，，开口向上，对称轴是轴；，开口向下，对称轴是轴，图象为抛物线即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴二次函数的图象是抛物线，开口向上，对称轴是轴， ∴A选项图象正确. 32．二次函数的图象如图所示，则点在第________象限． 【答案】三 【分析】由开口方向判断的符号；利用对称轴公式推出与的关系，从而确定的符号；由抛物线与轴交点位置判断的符号；再由、同号异号判断的正负，最后根据点的横、纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：由抛物线开口向下，得． 对称轴为直线，由对称轴公式： 又，． 抛物线与轴交于正半轴，当时． 由、，得． 点的横坐标，纵坐标，横、纵坐标均为负． ∴该点在第三象限． 33．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下四个结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题围绕二次函数的图像和性质，结合开口方向、对称轴、特殊点的函数值逐一判断选项正误． 【详解】解：A选项：抛物线开口向下，对称轴，抛物线与轴交于正半轴， ，，， ， ，选项错误； B选项：由移项得且，故，选项错误； C选项：对称轴， 与时的函数值相等， 由抛物线图像得，当时，， 当，，选项正确； D选项：由抛物线图像得，当，， 将代入得，化简得，选项错误． 题型十二、一次函数、二次函数图象综合判断 34．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两条图象都经过点，且开口方向与直线的倾斜方向由同一个决定． 【详解】解：一次函数与二次函数中，相同， 两图象都经过轴上的点； 当时，直线从左到右上升，抛物线开口向上， 此时抛物线的对称轴为，在轴左侧，选项A符合题意； 当时，直线从左到右下降，抛物线开口向下，选项B，C，D均不符合题意． 35．当时，函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】时，即其中一个为负数，另一个即为正数，再结合图像分析即可． 【详解】解：当时，则， 则开口向下，，随的增大而增大，且与轴交于负半轴； 看图，选项符合． 当时，则 则开口向上，，随的增大而减小，且与轴交于正半轴； 发现没有选项符合． 则为正确选项． 36．在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象确定 a，b的符号，再验证一次函数图象是否一致． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故B选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，一致，故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故D选项不符合题意． 题型十三、反比例函数、二次函数图象综合判断 37．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数的图象可能为（    ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断．观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，可得，，再根据一次函数和反比例函数的图象，即可求解． 【详解】解：观察二次函数的图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象进过第一、三、四象限，反比例函数的图象为第二、四象限． 故选：C 38．二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象性质，解题的关键是根据的正负，判断两个函数图象的开口方向、所在象限及与轴交点的位置． 分和两种情况讨论；当时，二次函数开口向上，与轴交于负半轴，反比例函数图象在一、三象限；当时，二次函数开口向下，与轴交于正半轴，反比例函数图象在二、四象限；据此逐一判断选项． 【详解】解：A、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数开口向下，故，两者矛盾，此选项不符合题意． B、反比例函数图象在一、三象限，故；二次函数与轴交于正半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． C、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数与轴交于负半轴，故，即，两者矛盾，此选项不符合题意． D、反比例函数图象在二、四象限，故；二次函数开口向下，故，与轴交于正半轴，故，即，三者一致，此选项符合题意． 故选：D． 39．如图，二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，交点和，若，则自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图像作答即可． 【详解】解：根据二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，并交于点，和， 当时， 由函数图像可知， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型十四、两个二次函数图象综合判断 40．已知抛物线和，下列关于这两个抛物线的说法中不正确的是（     ） A．这两个抛物线的开口方向不同 B．这两个抛物线的对称轴相同 C．这两个抛物线的顶点相同 D．这两个抛物线关于轴对称 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，抛物线的开口向下，故选项A正确； 抛物线和的对称轴均为轴，故选项B正确，两个图像的开口大小不一样，不对称，选项D错误； 抛物线和的顶点均为，故选项C正确； 故选项D符合题意． 41．下列关于二次函数（m为常数）的结论： ①该函数的图象与函数图象形状相同； ②该函数的图象一定经过点； ③当时，y随x的增大而减小； ④该函数的图象的顶点在函数的图象上， 其中所有正确的结论序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】利用二次函数顶点式的核心性质，逐一验证各结论． 【详解】解：∵二次函数与的二次项系数均为， ∴两函数图象形状相同，结论①正确； 将代入，得， ∴该函数图象一定经过点，结论②正确； ∵该抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵的值不确定， ∴当时，不一定随的增大而减小，结论③错误； 该函数的顶点坐标为， 将代入，得， ∴该函数的顶点在的图象上，结论④正确； 综上，正确结论为①②④． 42．如图是三个二次函数的图象，则a，b，c的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：取，代入三个函数表达式得：三个函数值分别为， 由图象可知：直线与三个函数图象的交点纵坐标从上到下依次为， 故 题型十五、根据二次函数的图象判断式子符号 43．从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③：④．你认为其中正确信息的有______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左，当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，是解答本题的关键． 【详解】解：由图可知，二次函数图像开口向上，图像与轴的交点在负半轴， ，，故①正确； 二次函数图像的对称轴，， ， ，故②正确； 由图可知，当时，，故③正确； 由对称轴，可得， ∴ 故④正确， 综上所述，正确的有：①②③④； 故答案为：①②③④． 44．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论有_______．（填编号） 【答案】①③④ 【分析】根据二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴可得，再根据对称轴可得，，则结论①③正确；根据当时，可得结论②错误；根据函数图象可得当时，，结合可得结论④正确． 【详解】解：∵二次函数图象的开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，，则结论②错误； 由函数图象可知，当时，， 将代入得：，即，则结论④正确； 综上，正确的结论有①③④． 45．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则，其中正确结论有______．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置确定 的符号及关系；利用对称轴公式判断的值；利用对称性判断时的函数值符号；利用时函数取得最大值判断不等式关系 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则 ∵对称轴为直线 ∴，即 ∴，且，故结论③正确 ∵抛物线与轴交于正半轴 ∴ ∴，故结论①正确 抛物线的对称轴为直线 ∴与关于直线对称 由图象可知，当时， ∴当时，，故结论②正确 ∵时， ∴ ∴，故结论④错误 ∵当时，函数取得最大值 ∴对于任意实数，都有 ∴ ∴，故结论⑤正确 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 题型十六、已知抛物线上对称的两点求对称轴 46．二次函数的部分对应值如下表所示，则该二次函数图象的对称轴是______________． x … 0 1 2 … y … 5 0 … 【答案】直线 【分析】二次函数图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两个点横坐标的平均值，据此计算即可. 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，； ∵点与点的纵坐标相等； ∴两点关于二次函数的对称轴对称； ∴对称轴为直线 . 47．二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则________． 【答案】 【分析】二次函数上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，先求出对称轴，再利用二次函数对称轴公式计算的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过和两点，两点纵坐标相同 ∴二次函数的对称轴为直线 ∴ ∵，约分化简得 ∴ 48．已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象经过点和，则该函数图象的对称轴（     ） A．只能是直线 B．可能在y轴右侧且在直线的左侧 C．可能是y轴 D．可能在y轴左侧且在直线的右侧 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断出对称轴可能在两点之间，也可能在点的右侧，即可得解． 【详解】解：二次函数中，a、b、c为常数，， 抛物线开口向下， 距离对称轴越近，函数值越大，且在对称轴左侧，随的增大而增大， 图象经过点和， 对称轴可能在两点之间，也可能在直线的右侧． 当对称轴在两点之间时，点的纵坐标更大，更靠近对称轴，则对称轴在y轴右侧且在直线的左侧； 综上，只有B选项满足． 题型十七、根据二次函数的对称性求函数值 49．二次函数的变量x与y部分对应值如下表，那么时，对应的函数值y为（ 　） x … 1 3 5 … y … 7 0 7 … A．0 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据推出二次函数的对称轴，再结合轴对称性质求出其函数值即可． 【详解】解：由表格数据可知，当时，，当时，， 二次函数的对称轴为直线， ，， 与的函数值相同， 那么时，对应的函数值y为0， 故选：A． 50．若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是_______（用 < 连接）． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴和开口方向，根据开口向上时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越大，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中，， ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线，点的横坐标到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点横坐标为，距离为， 点横坐标为，距离为， 点横坐标为，距离为， ∵， ∴． 51．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 题型十八、y=ax2+bx+c的最值 52．二次函数的最大值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】将二次函数化为顶点式，判断出函数图像开口向下，再求出最大值即可 【详解】解：，开口向下， 则当时y有最大值4 53．若，则的最小值是______． 【答案】 【分析】从原方程得到关于的表达式，代入待求式得到的二次函数，利用二次函数的性质求最小值． 【详解】解：整理原方程，得， 将代入，得， ∵， ∴该二次函数开口向上，存在最小值，最小值为， 即的最小值为． 54．已知二次函数，当时，函数的最大值为10，最小值为1，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式得到开口方式和对称轴，顶点坐标和最小值，再求出时，或；结合当时，函数的最大值为10，最小值为1求解即可． 【详解】解：，二次项系数 ∴ 函数图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为，最小值为， 令，则， 解得或； ∵ 时，函数最小值为， ∴ ， ∵ 函数最大值为，且时，随的增大而增大， ∴， 综上，． 题型十九、利用二次函数对称性求最短路径 55．如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 56．如图，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，当最小时，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，由题意得点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点；则，即的最小值为的长度；据此即可求解； 【详解】解：如图，点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点则点为所求点， 则，即的最小值为的长度； 令，则，即； 令，则，解得，即； ∴， 故答案为： 57．如图，过点的抛物线的顶点为A，与x轴交于B、C两点，若点P是y轴上一点，则当取得最小值时，______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，最短路径问题，坐标两点的距离公式等知识，利用二次函数的性质将转化为求的长是解题关键． 连接，由抛物线的对称性可知，当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点的坐标，然后利用坐标两点的距离公式，求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， 抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴当D、P、B在同一直线上时，的值最小，最小值为的长， ∵抛物线过点， ∴，解得：， 把代入，解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， 故答案为：． 解答题 58．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 59．在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. 60．已知二次函数的图象经过点、、． (1)求该二次函数的解析式； (2)求该抛物线的对称轴、顶点坐标，并写出当x取何值时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) (2) 对称轴为直线，顶点坐标为；当时，随的增大而增大 【分析】 （1）用待定系数法，结合已知三点坐标求解二次函数解析式． （2）利用二次函数的性质求对称轴、顶点坐标，判断增减性． 【详解】（1）解： ∵二次函数的图象经过点、， ∴设该二次函数的解析式为（）． 将代入解析式， 得 ， 解得． ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数图象与轴交于、， ∴对称轴为直线． 将代入， 得 ， ∴顶点坐标为． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大． 61．二次函数的部分图象如图所示，该二次函数图象过点，对称轴为直线， (1)___________0，___________0，___________0，（填“”“”或“”） (2)___________0，___________0，（填“”“”或“”） (3)___________0，（填“”“”或“”） (4)___________； (5)若点、点、点在该函数图象上，则和的大小关系为___________．（用“”连结） 【答案】(1)，， (2)， (3) (4)0 (5) 【分析】（1）由开口方向判断a符号，结合对称轴公式与a的符号判断b符号，根据抛物线与y轴交点位置判断c符号． （2）将代入解析式，结合已知交点得的值；利用对称性求出另一交点，判断的正负． （3）根据抛物线与轴交点个数，直接判断判别式的大小． （4）把对称轴代入对称轴公式，变形整理求出的值． （5）开口向下，点距离对称轴越近函数值越大；算出各点到对称轴距离，比较距离得到函数值大小． 【详解】（1）抛物线开口向下， ， 对称轴为直线，，可得， ∵抛物线与轴交于正半轴， ． （2）∵当时，，图象过点， ． ∵由对称轴和交点，可得抛物线与轴另一交点为， ∴当时，， ． （3）∵抛物线与轴有两个交点， ． （4）∵对称轴， 整理得， ． （5）∵抛物线对称轴为直线，开口向下，点离对称轴越近，函数值越大． 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， 点到对称轴距离：， ， ． 62．定义：在平面直角坐标系中，对于两个函数和的图象有两个交点和，且满足（为常数），则称这两个函数为关于的“乘积函数对”，称为乘积常数． 例如：一次函数与反比例函数的交点为， 因为，所以它们是关于的“乘积函数对”，乘积常数为． (1)求一次函数与二次函数的乘积常数； (2)若一次函数与二次函数为关于的“乘积函数对”，且二次函数的顶点在直线上，当二次函数的对称轴为直线时，求二次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，二次函数图象上有一点，其横坐标为，过点作轴于点，点的坐标为，以为顶点构造矩形，若该矩形的边（含端点）与二次函数的图象只有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)－6 (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，乘积常数实质上是函数解析式联立得到的一元二次方程的两根积，解（3）关键是根据点D和点F的位置不同画图讨论． （1）联立直线与抛物线解析式，可得一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系和乘积常数的定义可得； （2）联立直线与抛物线解析式，乘积常数的定义可得 ，由此得出，再根据二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线，可得顶点坐标为，故设二次函数的顶点式为，根据二次函数的图象经过，可得，由此可得，进而解得，即可得二次函数的解析式． （3）根据点D和点F的位置不同画图讨论，即可求出取值范围． 【详解】（1）解：当时，得， 整理，得， 一次函数与二次函数的乘积常数是－6． （2）当时，得， 整理，得， ， 二次函数的顶点在直线上，对称轴为直线， 顶点坐标为（1，3）二次函数的解析式为， 二次函数的图象经过， ，解得，， 二次函数的解析式为． （3）当时，， 解得，，， 抛物线与轴的交点坐标为， ①如答图1，当时，点在第二象限时，点在的左侧，点在的左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，得， ②如答图2，当，点在轴上方，且满足点在点的右侧，在对称轴上或对称轴左侧时， 抛物线与边有一个交点和点共两个交点，符合题意， ，解得， 当时，则， 此时在右侧，在左侧，抛物线与正方形只有一个公共点，如答图3， 时，， 此时在左侧，抛物线与、有公共点，故正方形与抛物线的公共点个数不少于3个，如答图4， 综上所述，的取值范围是或． 63．为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅垂高”．例如，对于函数，当时，；当时，，则函数的“单位铅垂高”． (1)正比例函数的“单位铅垂高”_______； (2)若点在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅垂高”．求此时m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅垂高”t的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值为5 【分析】（1）根据题意，仿照例子代入计算即可求解； （2）根据题意，可以列方程，进而求解即可； （3）根据题意，列出关于的方程，再由，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，当时，；当时，， ∴正比例函数的“单位铅垂高”； （2）解：由题意，得， 或． 经检验，或是方程的解， 或； （3）解：由题意，得， ， 又， ∴， ， ， ∴这个二次函数的“单位铅垂高”t的最小值为5． 64．如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； （3）连接，根据列式计算即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点 ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴； （3）解：连接， ∵，，， ． 65．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使的值最小．求点P的坐标和的最小值； (3)第四象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q．依题意补全图形，当的值最大时，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)；的最小值为 (3)点的横坐标为，补全图形如下： 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：点关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线， 点B为； （2）解：当时，， ， 连接，交对称轴于点P，连接，如图： ， ， 点A关于对称轴的对称点为点B， ， 当P，B，C三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为， 将和代入解析式中， 得， 解得， ， 点P在抛物线的对称轴上， ∴将代入直线解析式得，， ； ∴的最小值为； （3）解：过点M作轴，垂足为N，连接交于点Q，如图： ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， 由（2）知，直线为， ， ， ， ∴， ， 当时，有最大值， ∴点的横坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $