专题03二次函数的应用期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题03二次函数的应用期中复习讲义 1.能够读懂实际问题情境，建立二次函数模型，根据题意列出二次函数关系式，并准确确定自变量的实际取值范围（要符合现实意义，如长度、数量大于 0）。 2.掌握二次函数最值在实际问题中的应用：会利用顶点求最大利润、最大面积、最高高度等；重点区分顶点横坐标是否落在自变量取值区间内；顶点不在区间内时，根据增减性在区间端点处取最值。 3.熟悉两类典型应用模型：几何图形类（矩形面积、围栏靠墙问题、动态图形面积）；销售利润类（单价变化、销量变化，总利润 = 单件利润 × 销售量）。 4.会处理抛射运动模型（小球抛掷、喷水、投篮等），理解抛物线顶点代表最高点，能求最大高度、落地时间、水平距离。 5.能根据二次函数的函数值反求自变量，比如已知高度求对应的时间、已知面积求边长，并结合实际舍去不符合题意的解。 6.会结合图象分析实际问题，读懂横、纵坐标代表的实际含义，能从图象中提取关键信息（顶点、交点）解决问题。 7.掌握解题规范：设未知数、列解析式、求最值或解方程、检验解是否符合实际、作答。 8.梳理易错点：①忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；②利润问题里单件利润算错；③解方程得到两个根时，忘记结合实际取舍；④单位不统一；⑤分不清什么时候求最值、什么时候解方程。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他问题 ★★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:解题通用基础流程（所有应用题统一步骤，答题标准） 1.设变量：根据题意设出自变量x，因变量y，明确两个变量实际含义； 2.建模型：梳理题目等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)； 3.定范围：结合实际场景确定自变量x取值范围（长度、人数、销量均为正数，部分题目有限定区间）； 4.求最值：结合自变量取值范围，计算函数最大值或最小值； 5.验作答：检验最值对应的x是否在取值范围内，最后完整写出答句。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 知识点05:二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点06：核心重难点：区间最值求解方法 1. 无限制（全体实数） a>0，顶点纵坐标为函数最小值； a<0，顶点纵坐标为函数最大值。 2. 有限定自变量区间 m≤x≤n（应用题 90% 考此类） 分三步判断： （1）求出抛物线对称轴x=-； （2）判断对称轴是否落在[m,n]区间内； 情况 最值结论 对称轴在区间内 顶点取一个最值，区间两个端点对比取另一最值 对称轴在区间左侧 函数在区间单调，(x=n)取靠近顶点的最值 对称轴在区间右侧 函数在区间单调，(x=m)取靠近顶点的最值 （3）对比区间内所有临界点（顶点、左右端点）函数值，确定题目要求的最大 / 最小值。 知识点07：高频易错点（课堂重点强调） 1.遗漏自变量取值范围：直接用顶点求最值，忽略实际限制，答案不符合题意； 2.区间最值只算顶点：对称轴不在取值区间时，最值出现在端点； 3.利润公式列式错误：涨价降价后销量增减关系写反，单件利润符号出错； 4.几何边长忽略大于 0：求出的x使边长为负数，未舍去不合理解； 5.运动问题时间取舍：解方程h=0得到正负两个根，误取负时间； 6.答题不规范：只计算数值，不结合题意写答句，缺少检验步骤。 题型一、图形问题 1．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 【答案】(1)， (2)800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中； （2）解：由（1）知，， ∴当时，． 2．园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示． (1)求长方形花圃面积的最大值． (2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积． 【答案】(1)长方形花圃面积的最大值为1800平方米 (2)网红打卡点的面积为平方米 【分析】（1）设米，长方形花圃的面积为平方米，根据三边所用木栏总长米，写出与的函数关系式，即可求解； （2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积-花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设米，长方形花圃的面积为平方米，则米， 根据题意，得：， ∵， ∴， ∴当时，有最大值1800， 答：长方形花圃面积的最大值为1800平方米； （2）解：由（1）可知，长方形花圃面积的最大时，宽为30米，长为（米）， 设网红打卡点的边长为米， 根据题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴网红打卡点的面积为（平方米）， 答：网红打卡点的面积为平方米． 3．如图，某校准备给长、宽的矩形场地用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形且），区域②（2个全等的直角三角形—与），剩余空白部分记为区域③，O为和的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形面积的，且点F到点N之间的距离等于的长，设． (1)求x的取值范围． (2)求区域③的面积S关于x的函数解析式． (3)已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元，求总费用的最小值． 【答案】(1) (2) (3)当时，总费用的值最小，最小值为9900元 【分析】（1）先求出，表示出区域②的面积为，再结合题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果； （2）连接，由题意可得F，N，O三点共线，，，求出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果； （3）由（2）得，设总费用为w元，表示出关于的关系式，再结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 区域②的面积为． 区域②的面积不超过矩形面积的， ， 解得， x的取值范围为． （2）解：如图，连接， 由题意可得F，N，O三点共线，，． ， ． 是等腰直角三角形， ， 的面积为， ． （3）解：由（2）得． 区域①和区域②所种花卉的价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元， 区域③的费用为元． 矩形的面积为， 区域①和区域②的费用之和为元． 设总费用为w元， 则 ． ，， 当时，总费用的值最小，最小值为9900元． 题型二、图形运动问题 4．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 【答案】(1)经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米 (2)不存在，理由见解析 (3)的最大面积是9 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，根据题意得出，再根据三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在的面积等于矩形的面积的四分之一的情况； （3）设经过t秒时，的面积等于S平方厘米，列出二次函数表达式并根据二次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， 解得：； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． （3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ， ， ∴当时，取最大值为9， ∴的最大面积是9． 5．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 【答案】(1)， (2)当运动时间为或运动时间为时，的长度等于 (3)存在，时间为2秒时，四边形的面积等于面积的 (4)小，15 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，，，结合已知解答即可； （2）根据勾股定理，列式计算即可； （3）根据列式计算即可； （4）求出四边形的面积的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴； （2）解：∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）解：∵，，， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． （4）解： ， 可知当时，四边形的面积有最小值，最小值为15． 6．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 【答案】(1)当或时，的长度等于 (2)当时，的面积等于 (3) 解：不能等于，面积的最大值为，理由如下， 根据题意，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴面积的最大值不能等于， ， ∴当时，面积的最值，最大值为， ∴面积的最大值不能等于，面积的最大值为． 【分析】（1）根据题意得到点P移动的时间为，点Q移动的时间为，设运动时间为，则，，由勾股定理列式求解即可； （2）根据三角形面积，结合（1）中，列式求解即可； （3）根据面积公式列式，运用一元二次方程的判别式得到原方程无解，再根据非负性，不等式的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动， ∴点P移动的时间为，点Q移动的时间为， ∵其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动，设运动时间为， ∴， ∴，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴当或时，的长度等于； （2）解：， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴当时，的面积等于； （3）略 题型三、拱桥问题 7．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设函数的表达式为，再将原点坐标代入求出函数的表达式即可； （2）将代入抛物线解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为． ∵点在抛物线上， ∴把，代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，． 答：保温墙的高度是米． 8．如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． （2）解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 9．一种玻璃水杯如图①所示，其截面的左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为多少? 【答案】此时点P到杯口的距离为 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，过P作轴于点E，根据题意求出该抛物线的函数解析式，再根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，，进而列方程求得x、y值，即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，过P作轴于点E， 由题意，，，，． 设抛物线的函数解析式为， 把点C坐标代入函数解析式，得， 解得， ． ， ， ， ， 设，其中， ， ， 即，解得（不合题意，舍去），， ， ． 故此时点P到杯口的距离为． 题型四、销售问题 10．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）； （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 11．春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且是整数） (2)（，且是整数） (3)电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意可得： ， 解得． （，且是整数）． （2）解：根据题意，得（，且是整数）． （3）解：， ，且是整数， 或41时，最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． 12．石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． (1)求该品牌酥梨的进价． (2)若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． (3)根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 【答案】(1)该品牌酥梨的进价为元/千克． (2) (3)要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克． 【分析】（1）设酥梨进价为未知数，因为九折售价减去进价等于进价的，所以根据利润相关等量关系列一元一次方程，即可求解进价． （2）分两种情况讨论：如果购进数量，那么支出为进价乘以，如果，那么支出为200千克的进价加上超过200千克部分的优惠后进价乘以超出量，据此分别写出函数关系式． （3）根据“利润总售价总支出”，分两种情况分别表示出利润，分别求出两种情况下各自的最大值．最后比较即可得销售利润的最大值． 【详解】（1）解：设该品牌酥梨的进价为x元/千克． 由题意，得， 解得． 答：该品牌酥梨的进价为4.5元/千克． （2）解：当时，； 当时，． ∴． （3）解：当时， ． ∵， ∴当时，有最大值为100； 若时，． ∵． ∴当时，有最大值为125． ∵， ∴当一天购进酥梨的数量为300千克时，超市销售酥梨的利润最大． 答：要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克． 题型五、投球问题 13．受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 【答案】足球从踢出到落地的时间为 【详解】解：足球落地时， 由题意得， 解得（舍去），． 答：足球从踢出到落地的时间为． 14．综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 【答案】(1)篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． (2)篮球离出手点的水平距离为3米或1米． (3)篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 【分析】（1）将二次函数配方为顶点式，再结合开口方向求最值即可； （2）令，解一元二次方程即可求得对应的水平距离； （3）将代入解析式求出h，与比较大小判断． 【详解】（1）解∶∵篮球高度h与水平距离x的函数关系为，， ∴当时，h取得最大值，最大值为． 答∶篮球离出手点的水平距离为2米时达到最大高度，最大高度是米． （2）解：令，则， 整理得， 解得． 答∶篮球离出手点的水平距离为3米或1米． （3）解：当时， ． ∵， ∴篮球在该处的高度能超过防守队员伸手的高度． 15．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； (2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 【答案】(1)①；； ②或； ③答：不能投进，理由如下： 当时， ， ∴小石第一次投篮练习不能投进； (2)答：教练不能成功拦截小石这次投篮，理由如下： 由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同， 设第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， 解得：， 即：第二次训练的抛物线解析式为：， 当时， ， ∴教练不能成功拦截小石这次投篮. 【分析】（1）①根据表格即可得出结论； ②根据表格数据用待定系数法求出解析式即可； ③把代入解析式求出值，然后再与比较即可得出结论； （2）由题意得：第二次训练的抛物线形状与第一次相同，对称轴相同，用待定系数法求解析式，把代入求出值，然后再与比较即可得出结论. 【详解】（1）①解：由表格可知：当时，；的最大值是， ∴小石第一次练习投篮的出手高度是，球运行过程中的最高高度是． ②由表格可知：抛物线的顶点， 设与满足的函数解析式为：， ∵在抛物线上， ∴，解得：， 即：； ③见答案（略） （2）见答案（略） 题型六、喷水问题 16．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 【答案】 水管的长应为 【分析】建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，代入落地点坐标求出系数，计算时的函数值即为水管长度． 【详解】解：以池中心为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系 由题意得，抛物线的顶点坐标为，且过点 设抛物线的解析式为（） 将代入解析式，得 解得 ∴抛物线的解析式为（） 当时， 答：水管的长应为． 17．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围； （）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为； （2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点， 设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴调整后水管的最大长度为． 18．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 题型七、增长率问题 19．在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 【答案】 【详解】解：根据两种商品两轮涨价后的最终价格相等，得， 去括号，得， 移项得， 系数化为1，得． 20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】(1)含的代数式为，二次函数一般形式为 (2)该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 （2）解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 21．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型八、其他问题 22．如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． (1)求抛物线解析式； (2)当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设抛物线的解析式为，代入，即可求解． （2）依题意，的横坐标为，将代入解析式，得出的纵坐标，进而根据点与轴的距离为，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，设抛物线的解析式为， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：依题意，的横坐标为 当时， 又∵点与轴的距离为， ∴之间的距离为． ∴当倒满水时，水的深度为． 23．某学校劳动研学实践基地现有苹果树100棵，研学小组计划增种一批苹果树，以此探究果树种植数量与产量之间的关系．经查阅基地监测数据：若增种苹果树，果树之间的间距变小，光照、养分被分摊，单棵苹果树产量会随之下降．已知单棵苹果树的产量（千克）与增种苹果树的数量（棵）满足函数关系： (1)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，研学基地可以收获果实8250千克？ (2)当增种果树多少棵时，基地的总产量（千克）最大？最大产量是多少？ 【答案】(1)增种果树棵时，研学基地可以收获果实8250千克； (2)增种果树棵时总产量最大，最大产量为千克． 【分析】（1）根据增种后的果树棵数和单棵产量列一元二次方程求解即可； （2）先根据题意得出关于的二次函数，再根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 整理得，， 解得：，， 在投入成本最低的情况下， ， 答：增种果树棵时，研学基地可以收获果实8250千克； （2）解：由题意可得，， ，， 当时，有最大值为， 答：增种果树棵时总产量最大，最大产量为千克． 24．兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时发现：兔子某次跳跃的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．以起跳点O为原点，落地点M所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； (2)若兔子从点O正上方的点处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离； (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形，其中，，兔子在距离灌木丛B的的E处起跳．判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛．若能，说明理由；若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过． 【答案】(1)， (2) (3)不能，起跳处放一个高为的台阶就可以通过 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，然后可设二次函数表达式为，进而利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可知新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到，则有表达式为，然后问题可求解； （3）根据题意可分别把和代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为40， 顶点的坐标为， 设二次函数表达式为， 把代入得：， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵运动路线形状不变，过点， ∴新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到， ∴表达式为， 令，解得， ， ， ； （3）解：不能，由题意知，，则有， 令，代入表达式得：， 令，代入表达式得：， ， ∴在起跳处放一个高为的台阶就可以通过． 题型九、线段周长问题 25．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点 【分析】本题主要查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，两点间线段最短： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出点B的坐标，再观察图象，即可求解； （3）设直线与对称轴的交点为点，求出直线的解析式，可得点，再由抛物线的对称性可得，此时的值最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵二次函数的图象与轴交于、两点，，对称轴为直线， ∴， ∴当时，， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：设直线与对称轴的交点为点， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴点， ∵直线垂直平分， ∴，， ∴，， 当点与点重合时，，此时有最小值， ∴，此时的值最小， ∵，是定值， ∴当点时，有最小值． 26．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴于点，轴于点，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)证明：设点、的坐标分别为，， ∵直线，令，则，即点， 令， 整理，得， 则，， ∴，即为定值． 【分析】（1）解析式联立构成方程组，解方程组即可求得、的坐标，然后根据勾股定理即可求得的长； （2）将直线与二次函数的表达式联立得：，则：，，，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，则直线， 解得或， ，， ； （2）略 27．如图，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内该抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴，交线段于点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设点的横坐标为，用含的代数式表示线段的长； (3)当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 【答案】(1)， (2) ，其中 (3)，8 【分析】（1）求出时的函数值和时自变量的值即可得到点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出对应的直线的解析式即可； （2）表示出点P和点Q的坐标，进而可得答案； （3）根据表示出，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：由题意得，点P的坐标为， ∵轴，交线段于点， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8， 此时， ∴． 题型十、面积问题 28．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 29．已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． (1)设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值． (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据点A的横坐标和点B的纵坐标可求出A、B两点的坐标，再把点A的坐标代入一次函数解析式求出a的值即可； （2）设直线交x轴于点C，求出点C的坐标，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，，解得， ∴， 把点A的坐标代入得，解得； （2）解：如图所示，设直线交x轴于点C， 由（1）得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 30．如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． 题型十一、角度问题 31．如图，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)作射线交轴于点，使，则的长为________． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把，代入计算即可； （2）先求出，再根据得到或，据此分类讨论计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，，． ， ， ， ∴当点在点上方时，如图①所示． ， ，， ∴ ， ； 当点在点下方时，如图②所示． ， ， ∴， ∵， ∴， （负值舍去）， ． 综上所述，的长为或． 32．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 33．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，，与轴另一交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点是抛物线上的一点，使得，请求出点的坐标． (3)点在抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 解：点的坐标为， 如下图所示，过点作，并延长使，此时是的垂直平分线， ， ， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 点、， ， ， ， ， 点在直线上， 设点的坐标为， 则有， 整理可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 坐标为的点是点，故不符合题意，舍去． 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据三角形的面积公式可知，过点作交抛物线于点，则，用待定系数法求出的解析式，即可求出的解析式，把直线的解析式和二次函数的解析式联立得到方程组，方程组的解即为点的坐标；把沿折叠，可得，则有，过点作，根据直线的解析式即可求出直线的解析式，联立直线的解析式和二次函数的解析式得到方程组，方程组无解，所以此种情况不存在； （3）过点作，并延长使，此时是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知此时，利用三角形的面积公式求出的长度，又因为点在直线上，设点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出点的坐标，根据平面直角坐标系中线段中点的公式列方程组求出点的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线的解析式和二次函数的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 把点、的坐标代入抛物线中， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作交抛物线于点，则， 则直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 解得：， 方程组的解为，， 点的坐标为或； 如下图所示，把沿折叠，可得，则有， 点、， ， 点的坐标是， 过点作， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， ， 方程组无解， 此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或； （3）略 题型十二、特殊三角形问题 34．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为不存在． (2) 解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）略 35．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【详解】（1）解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 36．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 题型十三、特殊四边形 37．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在这样的点C，使得四边形是正方形，点C的坐标为或 【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可； （2）分两种情况进行讨论，当在x轴下方时，当M在x轴上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，， ． （2）解：存在，理由如下： 由题意四边形是正方形，则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形． 设， ①当在x轴下方时，如图1，过点C作轴于E，此时是等腰直角三角形， ， ， （舍去），， 此时． ②当M在x轴上方时，如图2，过点C作轴于F， 同理可得：， ， ，（舍去）， 此时． 综上所述，存在这样的点C，使得四边形是正方形，此时点C的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 38．如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则， 且，则， 构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则， 且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 39．如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） (1)直接写出点，，的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）分别计算当时，的值，当时，的值，即可求解； （2）由条件可得点在轴下方，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，证明，可得，再可得直线的解析式，再联立二次函数，即可求解； （3）过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，可得是矩形，设，，由四边形为平行四边形，由平移可得，代入，可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧）， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵点为抛物线上一点，， ∴点在轴下方， 如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得，， 当时，点与点重合； 当时，； ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，则是矩形， ∵的对称轴为直线，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点， ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， 由平移可得，， 把代入得，， 整理得， ∴，，，，，， ∴，，，， ，， ∴ ， ∵四边形面积为， ∴，整理得，， 解得，， ∵， ∴， 当时，，， ∴点的坐标为． 题型十四 相似三角形问题 40．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质等知识点． （1）令，解一元二次方程即可求解，两点的坐标； （2）过点M作轴于点N，通过证明进行求解即可． 【详解】（1）解：对于，令，则， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：将配方得， ∴点M的坐标为． 对于，当， ∴， ∴， ∴， 如答图，过点M作轴于点N，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，又， ∴． 41．已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点，由待定系数法求出直线的解析式，根据，进而分两种情况：，；分别根据相似三角形的性质，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 解得 抛物线的解析式为：． （2）解：存在，理由如下 抛物线与x轴交于A，B两点， ． 解得，． ． 设直线的解析式为：，将，，代入解析式得：，解得：． 直线的解析式为：， ， 当和相似有两种情形， 当时，如图 ． ． 设直线的解析式为，将，代入得 ，解得：． ∴直线的解析式为． ∴直线的解析式为． 联立解得：． ． ②当时，如图 ． ，，，， ，． ，解得． 设， 解得∶或 (舍去)． 则 ． 综上所述，或． 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，利用相似关系可得，从而求的最大值即可；得到点后，根据题意作点关于直线的对称点， 作点关于轴的对称点，则周长的最小值转化为求线段的长； （3）“沿射线方向平移个单位长度”即先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，由此算出，，点即为直线与抛物线的交点，再利用两直线垂直的关系求出直线的斜率，从而算出直线的解析式，联立直线与直线得到点的坐标，过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于，构造一线三垂直进而求得点的坐标，即可求出解析式，与的解析式联立，求出答案；令还有一种情况对应的与到点的距离相等，利用中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得 ∴抛物线的表达式为：． （2）过作轴交于， ，， ， ， ∴当最大时，有最大值， ， ∴设，则， ， ，开口向下， ∴当时，有最大值，此时， 作点关于直线的对称点，则， 作点关于轴的对称点，则， ． （3） 点的坐标为或，过程如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴， 即抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴ ， ∴， 过作轴交于， 由题得， 设直线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得，故， ∵ ∴， ∴，又， ∴直线得函数表达式为， 联立直线与直线得 解得， ∴， 过作直线轴，过作轴交于，过作轴交于， 则，， ∴，又 ∴，故， ∴， ∴， 如图点，即， 设直线的函数表达式为，代入点， 则，解得， ， 令， 解得：（舍），， ； 如图当点在点上方时，点是的中点， 则，即 同上可求得直线的， ∴， 令， 解得：（舍），， ． 综上，点的坐标为或 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的应用期中复习讲义 1.能够读懂实际问题情境，建立二次函数模型，根据题意列出二次函数关系式，并准确确定自变量的实际取值范围（要符合现实意义，如长度、数量大于 0）。 2.掌握二次函数最值在实际问题中的应用：会利用顶点求最大利润、最大面积、最高高度等；重点区分顶点横坐标是否落在自变量取值区间内；顶点不在区间内时，根据增减性在区间端点处取最值。 3.熟悉两类典型应用模型：几何图形类（矩形面积、围栏靠墙问题、动态图形面积）；销售利润类（单价变化、销量变化，总利润 = 单件利润 × 销售量）。 4.会处理抛射运动模型（小球抛掷、喷水、投篮等），理解抛物线顶点代表最高点，能求最大高度、落地时间、水平距离。 5.能根据二次函数的函数值反求自变量，比如已知高度求对应的时间、已知面积求边长，并结合实际舍去不符合题意的解。 6.会结合图象分析实际问题，读懂横、纵坐标代表的实际含义，能从图象中提取关键信息（顶点、交点）解决问题。 7.掌握解题规范：设未知数、列解析式、求最值或解方程、检验解是否符合实际、作答。 8.梳理易错点：①忽略自变量取值范围，直接套用顶点最值；②利润问题里单件利润算错；③解方程得到两个根时，忘记结合实际取舍；④单位不统一；⑤分不清什么时候求最值、什么时候解方程。 题型 考察方向 难度 题型一 图形问题 ★★★ 题型二 图形运动问题 ★★★ 题型三 拱桥问题 ★★★★ 题型四 销售问题 ★★★ 题型五 投球问题 ★★★ 题型六 喷水问题 ★★★ 题型七 增长率问题 ★★ 题型八 其他问题 ★★★ 题型九 线段周长问题 ★★★★ 题型十 面积问题 ★★★★ 题型十一 角度问题 ★★★★★ 题型十二 特殊三角形问题 ★★★★★ 题型十三 特殊四边形 ★★★★★ 题型十四 相似三角形问题 ★★★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:解题通用基础流程（所有应用题统一步骤，答题标准） 1.设变量：根据题意设出自变量x，因变量y，明确两个变量实际含义； 2.建模型：梳理题目等量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)； 3.定范围：结合实际场景确定自变量x取值范围（长度、人数、销量均为正数，部分题目有限定区间）； 4.求最值：结合自变量取值范围，计算函数最大值或最小值； 5.验作答：检验最值对应的x是否在取值范围内，最后完整写出答句。 知识点02:二次函数求最值两种方法 设函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 方法 1：配方法（化为顶点式） y=a(x-h)2+k，顶点 (h,k) a>0，开口向上，当 x=h时，y最小=k； a<0，开口向下，当 x=h 时，y最大=k。 方法 2：顶点公式法 对称轴 x=-，最值 y= 关键注意点 实际问题中自变量存在取值区间，顶点不一定能取到，需对比区间端点函数值，确定真实最大 / 最小值。 知识点03:实际问题与二次函数的练习转化 知识点04:二次函数实际应用 问题类型 核心知识点 图形问题 用二次函数表示图形的面积 / 边长关系，求最值（如矩形、三角形面积最值） 图形运动问题 分析图形平移 / 旋转过程中，边长、面积的变化规律，建立二次函数模型 拱桥问题 以拱桥顶点为原点（或其他坐标系），用二次函数表示桥的轮廓，求高度、跨度 销售问题 结合 “单价 - 销量” 的变化关系，列总利润的二次函数，求最大利润 / 指定利润的单价 投球 / 喷水问题 用二次函数（h=at2+bt+c）表示物体的高度与时间 / 水平距离的关系，求最大高度、落地 / 落水位置 增长率问题 连续两次增长率为x时，总量y=a(1+x)2（a为初始量），分析增长最值 / 目标量对应的x 知识点05:二次函数综合 问题类型 核心知识点 线段周长问题 求抛物线上动点到定点 / 定直线的线段长度最值，或动点构成图形的周长最值（结合对称点转化） 面积问题 用 “铅垂高 × 水平宽”“割补法” 求动点与定点围成图形的面积，分析面积最值 角度问题 利用三角函数、斜率求角度，判断直角 / 特殊角（如 45°）的存在性 特殊三角形问题 分类讨论等腰 / 直角 / 等边三角形的存在性，结合距离公式、勾股定理列方程求解 特殊四边形问题 分析平行 / 矩形 / 菱形 / 正方形的存在性，利用对边平行 / 相等、对角线性质列条件 相似三角形问题 找对应角 / 对应边，利用相似比列比例式，结合函数表达式求解动点坐标 知识点06：核心重难点：区间最值求解方法 1. 无限制（全体实数） a>0，顶点纵坐标为函数最小值； a<0，顶点纵坐标为函数最大值。 2. 有限定自变量区间 m≤x≤n（应用题 90% 考此类） 分三步判断： （1）求出抛物线对称轴x=-； （2）判断对称轴是否落在[m,n]区间内； 情况 最值结论 对称轴在区间内 顶点取一个最值，区间两个端点对比取另一最值 对称轴在区间左侧 函数在区间单调，(x=n)取靠近顶点的最值 对称轴在区间右侧 函数在区间单调，(x=m)取靠近顶点的最值 （3）对比区间内所有临界点（顶点、左右端点）函数值，确定题目要求的最大 / 最小值。 知识点07：高频易错点（课堂重点强调） 1.遗漏自变量取值范围：直接用顶点求最值，忽略实际限制，答案不符合题意； 2.区间最值只算顶点：对称轴不在取值区间时，最值出现在端点； 3.利润公式列式错误：涨价降价后销量增减关系写反，单件利润符号出错； 4.几何边长忽略大于 0：求出的x使边长为负数，未舍去不合理解； 5.运动问题时间取舍：解方程h=0得到正负两个根，误取负时间； 6.答题不规范：只计算数值，不结合题意写答句，缺少检验步骤。 题型一、图形问题 1．一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 2．园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面带地（地长70米），另外三边用木栏围成，所用木栏总长120米，如图2所示． (1)求长方形花圃面积的最大值． (2)在长方形花圃面积最大的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图3，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为1728平方米，求出网红打卡点的面积． 3．如图，某校准备给长、宽的矩形场地用花卉进行装饰，现将其划分为区域①（等腰直角三角形且），区域②（2个全等的直角三角形—与），剩余空白部分记为区域③，O为和的中点，为了美观，要求区域②的面积不超过矩形面积的，且点F到点N之间的距离等于的长，设． (1)求x的取值范围． (2)求区域③的面积S关于x的函数解析式． (3)已知区域①与区域②所种花卉相同，价格为200元，区域③所种花卉的价格为100元，求总费用的最小值． 题型二、图形运动问题 4．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 5．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒． (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由 (4)在运动过程中，四边形的面积有最_____值，最值为_________ 6．已知：如图所示，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动 (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)面积的最大值能否等于？如果能，求出对应的时间；如果不能，请通过计算求出面积的最大值，并求出此时的时间． 题型三、拱桥问题 7．某农户种植有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米．现以所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的解析式； (2)若保温墙到点O的距离米，求出保温墙的高度． 8．如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 9．一种玻璃水杯如图①所示，其截面的左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为多少? 题型四、销售问题 10．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 11．春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 12．石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． (1)求该品牌酥梨的进价． (2)若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． (3)根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 题型五、投球问题 13．受2026美加墨世界杯热潮的影响，足球爱好者小宣加大了足球训练强度．在某次训练中，他将足球垂直于地面向上踢出，足球飞行的高度（单位：m）与足球飞行的时间（单位：s）满足，求足球从踢出到落地的时间． 14．综合与实践：某体育课上，一名同学进行定点投篮训练．经测定，篮球出手后离地面的高度h（米）与篮球离出手点的水平距离x（米）之间满足． (1)求篮球离出手点的水平距离为多少米时，篮球达到最大高度，最大高度是多少米； (2)当篮球离地面的高度为3米时，求篮球离出手点的水平距离； (3)防守队员站在离出手点水平距离米处，跳起伸手可达到米的高度．请通过计算判断：篮球在该处的高度能否超过防守队员伸手的高度． 15．篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小石站在距篮圈中心水平距离处的点练习定点投篮，篮球从小石正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是（单位：）时，球心距离地面的竖直高度是（单位：）．在小石多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①由表中数据可知，小张第一次练习投篮的出手高度是______，球运行过程中的最高高度是______． ②结合表中数据，求与满足的函数解析式； ③小石第一次投篮练习能否投进，请说明理由； (2)第二次训练时，小石通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次最高点的正上方．如果小石在进行第二次训练时，在他正前方米处的教练准备起跳拦截，教练起跳后伸直手臂手尖离地的最大高度是米，那么教练能否成功拦截小石这次投篮？请说明理由．（篮球半径忽略不计） 题型六、喷水问题 16．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长应为多少？ 17．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 18．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 题型七、增长率问题 19．在数学课上学习一元二次方程应用——变化率问题时，小雨同学发现若两种商品原价相同，分别经过两轮涨价之后的价格也相同，其中一种商品第一轮涨价，在第一次涨价后的价格基础上，第二轮涨价的百分率为，另一种商品两轮涨价的百分率均为（），则与存在函数关系，试写出与的函数解析式． 20．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； (2)根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 21．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型八、其他问题 22．如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． (1)求抛物线解析式； (2)当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 23．某学校劳动研学实践基地现有苹果树100棵，研学小组计划增种一批苹果树，以此探究果树种植数量与产量之间的关系．经查阅基地监测数据：若增种苹果树，果树之间的间距变小，光照、养分被分摊，单棵苹果树产量会随之下降．已知单棵苹果树的产量（千克）与增种苹果树的数量（棵）满足函数关系： (1)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，研学基地可以收获果实8250千克？ (2)当增种果树多少棵时，基地的总产量（千克）最大？最大产量是多少？ 24．兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时发现：兔子某次跳跃的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．以起跳点O为原点，落地点M所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； (2)若兔子从点O正上方的点处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离； (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形，其中，，兔子在距离灌木丛B的的E处起跳．判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛．若能，说明理由；若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过． 题型九、线段周长问题 25．如图，已知抛物线经过点，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)时，求的取值范围； (3)已知点是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标． 26．如图，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． (1)当时，求的长； (2)过点作轴于点，轴于点，求证：为定值． 27．如图，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内该抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴，交线段于点． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设点的横坐标为，用含的代数式表示线段的长； (3)当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． 题型十、面积问题 28．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 29．已知二次函数的图象与直线（为常数）的图象如图所示． (1)设直线与抛物线的交点分别为，试确定两点的坐标及的值． (2)连接，求的面积． 30．如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 题型十一、角度问题 31．如图，抛物线经过，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)作射线交轴于点，使，则的长为________． 32．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，，与轴另一交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点是抛物线上的一点，使得，请求出点的坐标． (3)点在抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 题型十二、特殊三角形问题 34．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 35．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 36．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 题型十三、特殊四边形 37．如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A、B的坐标； (2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 38．如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 39．如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） (1)直接写出点，，的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 题型十四 相似三角形问题 40．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求，两点的坐标； (2)若，求的值． 41．已知如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式； (2)在线段上是否存在一点M，使和相似？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，是直线上一动点，是轴上一动点，连接，，．当的长度取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为，是平移后抛物线上一点，直线交射线于点，且．请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $