专题05相似与位似多边形期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

专题05相似与位似多边形期中复习讲义 1.理解相似多边形的定义，掌握相似多边形的判定条件：所有对应角相等、所有对应边成比例；能判断两个多边形是否相似。 2.掌握相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，会利用性质求边长、周长、面积以及比值。 3.理解位似图形、位似多边形的概念，分清位似和相似的关系：位似一定相似，相似不一定位似；能识别位似图形，找到位似中心。 4.掌握位似图形的性质：位似图形对应顶点连线交于位似中心，对应边互相平行或者在同一条直线上，位似比等于相似比。 5.会在平面直角坐标系中做位似变换：掌握以原点为位似中心时，坐标变化规律，能根据要求放大或者缩小图形，写出变换后点的坐标，注意位似图形有两种位置（在位似中心同侧、异侧），容易出现两解。 6.能够按给定的位似中心、位似比，用尺规画出一个多边形的位似图形。 会利用位似解决简单的实际放大、缩小问题，能区分位似变换与平移、轴对称、旋转的不同。 7.梳理易错点：判定相似多边形必须同时满足角相等、边成比例两个条件；坐标系中位似容易漏掉反向位似的另一组解；区分位似中心、位似比，不要混淆位似比顺序。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★★ 题型二 相似多边形的性质 ★★★ 题型三 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型四 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★★★ 题型六 求两个位似图形的相似比 ★★★ 题型七 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★★ 题型八 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型九 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型十 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型十一 在坐标系中画位似中心 ★★★★ 题型十二 坐标与图形综合 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 对应角全部相等； 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05：位似图形相关基础概念 1.位似图形定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），这样的两个图形叫做位似图形，这个公共交点叫做位似中心。 2.核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，位似是特殊的相似。 3.位似比：位似图形的相似比也叫位似比。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点06:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点07:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点08:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O.，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点09：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点10：高频易错汇总 1.判定多边形相似需同时满足：对应角相等、对应边成比例，缺一不可，长方形、菱形不能直接判定相似。 2.相似 / 位似比有顺序，前后图形颠倒，比值互为倒数，审题看清原图与缩放图。 3.周长比 = 相似（位似）比，面积比 = 相似（位似）的平方，计算面积易漏平方。 4.书写相似图形，顶点必须对应，否则找错边角。 5.位似一定相似，相似不一定位似；位似要求对应顶点连线交于一点、对应边平行。 6.原点位似坐标分正负，异侧缩放坐标符号改变，容易遗漏负号。 7.位似作图要延长顶点连线，按比例截取，比例取值错误会导致图形变形。 8.分不清位似比缩放规则：|k|>1放大，0<|k|<1缩小。 题型一、相似多边形 1．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 2．如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____． 3．下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 题型二、相似多边形的性质 4．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 5．已知纸的宽度为，如图，将其沿较长边对折后，所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则纸的长度为__________． 6．如图，已知两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三、位似图形相关概念辨析 7．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 8．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个及个以上 题型四、位似图形的识别 10．下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 11．已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 12．如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（    ） A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形 C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9 题型五、判断位似中心 13．如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 14．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 15．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 题型六、求两个位似图形的相似比 16．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 17．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______． 18．如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．9 D．16 题型七、画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 19．在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 20．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为______． 21．如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 题型八、求位似图形的对应坐标 22．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 24．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型九、在坐标系中求两个位似图形的比值 25．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 26．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 27．如图，在点光源O的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 题型十、在坐标系中画位似图形 28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 29．如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 30．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 题型十一、在坐标系中画位似中心 31．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若、的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是______． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 题型十二、坐标与图形综合 34．如图，，两点的坐标分别为，，是轴上一点，且三角形的面积为6，则点的坐标为________． 35．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 36．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 解答题 37．如图，六边形与六边形相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 38．已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，其中三个顶点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)请仅用无刻度的直尺，画出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标________； (2)以原点O为位似中心，请仅用无刻度的直尺，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为． 39．如图，三个顶点坐标分别为、、. (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心___________；和位似比为___________； (2)作图：请在线段上找一点使得. 40．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 41．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则 ． 42．在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点 ，我们将称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作． 例如：点与的“横2倍直角距离”为． (1)已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是 ； (2)已知点，若点P与原点O的“横2倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形． (3)已知点，，点是x轴上的一个动点，正方形的顶点坐标分别为，，，．若线段上存在点T，正方形上存在点Q，使得，直接写出m的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05相似与位似多边形期中复习讲义 1.理解相似多边形的定义，掌握相似多边形的判定条件：所有对应角相等、所有对应边成比例；能判断两个多边形是否相似。 2.掌握相似多边形的性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，会利用性质求边长、周长、面积以及比值。 3.理解位似图形、位似多边形的概念，分清位似和相似的关系：位似一定相似，相似不一定位似；能识别位似图形，找到位似中心。 4.掌握位似图形的性质：位似图形对应顶点连线交于位似中心，对应边互相平行或者在同一条直线上，位似比等于相似比。 5.会在平面直角坐标系中做位似变换：掌握以原点为位似中心时，坐标变化规律，能根据要求放大或者缩小图形，写出变换后点的坐标，注意位似图形有两种位置（在位似中心同侧、异侧），容易出现两解。 6.能够按给定的位似中心、位似比，用尺规画出一个多边形的位似图形。 会利用位似解决简单的实际放大、缩小问题，能区分位似变换与平移、轴对称、旋转的不同。 7.梳理易错点：判定相似多边形必须同时满足角相等、边成比例两个条件；坐标系中位似容易漏掉反向位似的另一组解；区分位似中心、位似比，不要混淆位似比顺序。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★★ 题型二 相似多边形的性质 ★★★ 题型三 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型四 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★★★ 题型六 求两个位似图形的相似比 ★★★ 题型七 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★★ 题型八 求位似图形的对应坐标 ★★★ 题型九 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★★ 题型十 在坐标系中画位似图形 ★★★ 题型十一 在坐标系中画位似中心 ★★★★ 题型十二 坐标与图形综合 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 对应角全部相等； 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05：位似图形相关基础概念 1.位似图形定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），这样的两个图形叫做位似图形，这个公共交点叫做位似中心。 2.核心关系：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，位似是特殊的相似。 3.位似比：位似图形的相似比也叫位似比。 4. 位似中心的 4 种位置分类 位似中心在两个图形外部 位似中心在两个图形内部； 位似中心在图形的一条边上； 位似中心在图形的某个顶点上。 知识点06:位似图形的性质 1.位似是特殊的相似：位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。 2.位似中心的位置：可以在图形内部、外部、边上或顶点上。 3.线段比例：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。 4.图形变换：位似变换是一种特殊的相似变换，不改变图形的形状，只改变图形的大小和位置。 5.周长与面积： 周长比 = 位似比； 面积比 = 位似比的平方。 知识点07:位似图形的判定方法 1.定义法： 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于一点； 对应边互相平行（或共线）。同时满足以上三个条件，即可判定为位似图形。 2.直观识别： 找到对应顶点，连线后看是否交于同一点； 观察对应边是否平行。 知识点08:位似图形的作图步骤 1. 一般作图（无坐标系） 以将图形放大 / 缩小 k 倍为例： (1)确定位似中心 O； (2)连接原图形的每个顶点与 O，并延长（或反向延长）； (3)在这些线上按位似比 k 截取对应点，使对应点到位似中心的距离之比等于 k； (4)顺次连接各对应点，得到放大 / 缩小后的位似图形。 以将△ABC放大（位似中心在两图形之间）为例，步骤如下： 1.确定位似中心：在平面内任选一点 O 作为位似中心。 2.连接并反向延长：分别连接原三角形的顶点 A、B、C 与位似中心 O.，并反向延长 OA、OB、OC。 3.按位似比截取对应点：在反向延长线上，按位似比 k（k>1）截取对应点 A′′、B′′、C′′，使 4.顺次连接成图：顺次连接 A′′、B′′、C′′，得到放大后的△A′′B′′C′′，即为△ABC 的位似图形。 2. 坐标系中的作图 以原点为位似中心，位似比为 k 为例： 若原图形顶点坐标为 (x,y)，则： (1)同向位似（即位似中心在对应点连线的延长线上）：对应点坐标为 (kx,ky)； (2)反向位似（即位似中心在对应点之间）：对应点坐标为 (−kx,−ky)。 若位似中心不是原点，可先平移图形，使位似中心移至原点，完成位似变换后再平移回去。 知识点09：平面直角坐标系中的位似（高频考点） 位似中心为坐标原点的坐标变化规律 设原图形任意一点坐标为(x,y)，以原点为位似中心，位似比为k： 位似中心 位似比 k 同向位似对应点坐标 反向位似对应点坐标 原点 O(0,0) k>0 (kx,ky) (−kx,−ky) 任意点 P(a,b) k>0 (a+k(x−a),b+k(y−b)) (a−k(x−a),b−k(y−b)) 注：同向位似指新图形与原图形在位似中心同侧，反向位似指新图形与原图形在位似中心两侧。 知识点10：高频易错汇总 1.判定多边形相似需同时满足：对应角相等、对应边成比例，缺一不可，长方形、菱形不能直接判定相似。 2.相似 / 位似比有顺序，前后图形颠倒，比值互为倒数，审题看清原图与缩放图。 3.周长比 = 相似（位似）比，面积比 = 相似（位似）的平方，计算面积易漏平方。 4.书写相似图形，顶点必须对应，否则找错边角。 5.位似一定相似，相似不一定位似；位似要求对应顶点连线交于一点、对应边平行。 6.原点位似坐标分正负，异侧缩放坐标符号改变，容易遗漏负号。 7.位似作图要延长顶点连线，按比例截取，比例取值错误会导致图形变形。 8.分不清位似比缩放规则：|k|>1放大，0<|k|<1缩小。 题型一、相似多边形 1．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．三角形和矩形 B．三角形和正六边形 C．矩形和正六边形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键；因此此题可根据相似图形的定义进行排除选项即可． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件． 故选：B． 2．如图，一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形，如果小矩形与原来的矩形相似，那么小矩形的长边与短边的比是_____． 【答案】：1． 【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案. 【详解】设原来矩形的长为x，宽为y， 则对折后的矩形的长为y，宽为， ∵得到的两个矩形都和原矩形相似， ∴x：y＝y：， 解得x：y＝：1． 故答案为：：1 【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，正确找出对应边是解题关键. 3．下列两个图形：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正方形；④两个菱形；⑤两个正六边形，一定相似的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．5组 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，解题的关键是掌握相似图形的判定方法． 相似图形需对应角相等且对应边成比例． 【详解】解：①∵两个等边三角形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ②∵两个等腰直角三角形角均为、、，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ③∵两个正方形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ④∵两个菱形对应角不一定相等， ∴不一定相似，不符合题意； ⑤∵两个正六边形所有角均为，对应边成比例， ∴相似，符合题意； ∴一定相似的有①、②、③、⑤，共4组， 故选：A． 题型二、相似多边形的性质 4．纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，通过设大长方形的长和宽，利用相似多边形对应边成比例的性质列方程求解相似比即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，则折叠后小长方形的长为，宽为， ∵大长方形与小长方形相似 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴大长方形与小长方形的相似比为． 故选C． 5．已知纸的宽度为，如图，将其沿较长边对折后，所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则纸的长度为__________． 【答案】 【分析】设，则，根据相似多边形的性质可得，即，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，在矩形中，，点分别是的中点， 设，则， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得， ∴， ∴纸的长度为． 6．如图，已知两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形对应边成比例、对应角相等．理解多边形相似的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质回答即可． 【详解】解：两个四边形相似， ， ， 选项正确，选项不正确． 故选：C． 题型三、位似图形相关概念辨析 7．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于位似比．其中正确表述的序号是（　　） A．② B．①② C．③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质和概念．根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得． 【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误； ②位似图形一定有位似中心，则原命题正确； ③位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，而非任意两点，则原命题错误； 综上，正确命题的序号是②， 故选：A． 8．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了位似图形的性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 9．如图，与都是等边三角形，固定，将从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，与位似的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个及个以上 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的定义，根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，即可判断，解题的关键在于位似图形对应顶点的连线交于一点，因此需熟练掌握位似图形的定义才能更好的解决本题． 【详解】解：旋转的过程中，只有当点落在线段和线段的延长线上时，与位似， ∴有两个位置， 故选：． 题型四、位似图形的识别 10．下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】A、与是位似图形，不符合题意； B、与是位似图形，不符合题意； C、与是位似图形，不符合题意； D、与不是位似图形，符合题意． 11．已知线段和，依据下列点的坐标，能判断和是以原点为位似中心的位似图形的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【详解】解：以原点为位似中心的位似图形，对应点的横、纵坐标均乘以同一个常数． A、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； B、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； C、与的横、纵坐标比值分别为和，不相等，不符合； D、与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘；与的横坐标比值为，纵坐标均为，满足同乘，符合题意． 12．如图，已知ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列说法中，错误的是（    ） A．DEF与ABC是位似三角形 B．OAC与ODF是位似三角形 C．DEF与ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9 【答案】D 【分析】根据位似三角形的定义及性质即可判断． 【详解】A、由题意知，△DEF与△ABC是位似三角形，故正确； B、由题意知，△OAC与△ODF是位似三角形，故正确； C、由于△DEF与△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比为1:3，从而周长的比也为1:3，故正确； D、此选项没有指明是哪两个位似三角形，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似三角形的定义及性质．熟练运用定义及性质是解题的关键． 题型五、判断位似中心 13．如图，在的方格纸中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似中心，注意根据位似图形的性质求解是关键．连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． 【详解】∵如图，连接、，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：C． 14．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 15．如图，正方形与正方形是位似图形，且位似中心位于两正方形的同侧．已知，则位似中心的坐标是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键．根据位似中心位于两正方形的同侧，得出C与E是对应点，D与F是对应点，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：∵位似中心位于两正方形的同侧， ∴点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 故直线的解析式为：， 则 ， 解得： ， 即位似中心是：． 题型六、求两个位似图形的相似比 16．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 17．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的周长：四边形的周长，即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 18．如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方求出的面积即可． 【详解】解：， 与的位似比是， ， ， ， ， ． 题型七、画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 19．在如图所示的网格中，以为位似中心，把缩小到原来的，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的特征是解题关键． 两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．作射线，根据位似中心的概念、三角形的位似比解答即可． 【详解】解：作射线，如下图， 射线经过点，且，故， ∴点的对应点为点． 故选：B． 20．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为______． 【答案】（4，6） 【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标． 【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得， ∴对应点的坐标应乘以2， ∵点的坐标为（2，3）， ∴点的坐标为，即（4，6） 故答案为（4，6）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键． 21．如图，点，，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，则点的对应点的坐标是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，掌握关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变换得到的对应点的坐标是或是解题的关键． 以O为位似中心，将放大2倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以即可解答． 【详解】解：∵放大为原来的2倍，点的对应点， ∴点的坐标是或，即或． 故答案为：D． 题型八、求位似图形的对应坐标 22．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与的坐标确定位似比，利用位似变换性质求解点的坐标. 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点，且的对应点为， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即. 23．如图，在中，点A，B在x轴上方，以点O为位似中心，在x轴下方作的位似图形．已知点的对应点为，则点的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出相似比，再根据位似变换的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点O为位似中心，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点D的坐标为． 24．如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 以原点为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为， 点的坐标为，即． 题型九、在坐标系中求两个位似图形的比值 25．如图，与位似，点为位似中心，已知，则与的面积比为_______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，得出与的相似比，即可得出面积比． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为． 26．如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据A，的坐标求出与的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点A，的坐标分别为，， ，， 五边形，的相似比为：， ， ． 27．如图，在点光源O的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形， ∵， ∴ ∴与的位似比为， ∴， ∴． 题型十、在坐标系中画位似图形 28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（    ）    A．（3，3） B．（3，2）或（，） C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，） 【答案】C 【分析】根据矩形的性质求出点P的坐标为（2，2），根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】∵矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），点P是BC的中点， ∴点P的坐标为（2，2）， 以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍， 则P1的坐标为（2×1.5，2×1.5）或（−2×1.5，−2×1.5），即（3，3）或（−3，−3）， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、矩形的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 29．如图，在边长为的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，以原点为位似中心，画使它与的相似比为：，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质等知识，利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可（注意有两种情形）．解题的关键是掌握位似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图所示： 或即为所求， 的坐标为或， 故答案为：或． 30．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 题型十一、在坐标系中画位似中心 31．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若、的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念．由位似图形的概念可知、位似中心是直线与直线的交点，据此解答即可． 【详解】解：如图， 由图形可知，位似中心的坐标为． 故答案为：． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 33．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 题型十二、坐标与图形综合 34．如图，，两点的坐标分别为，，是轴上一点，且三角形的面积为6，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式． 根据三角形面积公式得到，求出的值，再写出点坐标． 【详解】解：由题意，得，解得， ①当点在点的上边时，， ②当点在点的下边时，， 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在轴上，若，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点，，的坐标求出的长及点到轴的距离，利用三角形面积公式求出，设点的坐标为，表示出的长，根据题意列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】，，， ，， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点到轴的距离为， ， ， ， 解得：或， 或， 点的坐标为或． 36．用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长方形的长为,宽为，根据点的坐标及长方形排列规律可得出二元一次方程组计算长宽，再根据排列规律计算点的坐标． 【详解】设大小完全相同的长方形纸片长为,宽为，由点坐标可得 解得：， 点横坐标，纵坐标， 所以点． 解答题 37．如图，六边形与六边形相似．求： (1)相似比； (2)和的度数； (3)边，，，的长． 【答案】(1)； (2)，； (3)，，， 【分析】（1）对应边的比就是相似比； （2）利用相似多边形对应角相等，可求出结果； （3）利用相似多边形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵六边形与六边形相似，与是对应边， ∴ ，即相似比为． （2）解：∵六边形与六边形相似， ∴，， 又∵，， ∴，． （3）解：∵六边形与六边形相似， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 由，，得， ∴． 即，，，． 【点睛】本题主要考查相似多边形性质，熟记相似多边形的性质是解题的关键． 38．已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，其中三个顶点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)请仅用无刻度的直尺，画出点P的位置（保留作图痕迹），并写出点P的坐标________； (2)以原点O为位似中心，请仅用无刻度的直尺，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为． 【答案】(1) 点的位置如图所示： (2) 如图所示：即为所求． 【分析】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点，再连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 39．如图，三个顶点坐标分别为、、. (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心___________；和位似比为___________； (2)作图：请在线段上找一点使得. 【答案】(1)点， (2) 作图如下： 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似定义，连接、、交于点，可确定位似中心，由对应边长之比求出和位似比即可； （2）根据在轴上的变化量为，轴上的变化量为，，计算求出点的坐标为． 【详解】（1）解：连接、、交于点， 则位似中心为点； 和位似 位似比为对应边长之比，即 因此位似比为， 故答案为：点，； （2）略 40．在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． (3)在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】(1)如图：点P的位置即为所求； ． (2)如图：即为所求． (3) 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 （2）解：如图：即为所求． 图略 （3）解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 41．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，且相似比为， ∴周长比为． 42．在平面直角坐标系xOy中，有如下定义：任意两点 ，我们将称为点A与点B的“横2倍直角距离”，记作． 例如：点与的“横2倍直角距离”为． (1)已知点，，，则在这三个点中，与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是 ； (2)已知点，若点P与原点O的“横2倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形． (3)已知点，，点是x轴上的一个动点，正方形的顶点坐标分别为，，，．若线段上存在点T，正方形上存在点Q，使得，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）分别求出三个点与原点的“横2倍直角距离”，即可得到等于6的点； （2）求出点P与原点O的“横2倍直角距离”表达式，，根据的取值，去掉绝对值号，化简得到直线方程，根据取值范围，坐标轴交点，即可得到图形； （3）设，，，因为，根据的取值分情况讨论，求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， 与原点O的“横2倍直角距离”等于6的点是：． （2）解：， 分情况，去绝对值， ①，，即，在第一象限，坐标轴交点； ②，，即，在第二象限，坐标轴交点； ③，，即，在第三象限，坐标轴交点； ④，，即，在第四象限，坐标轴交点． 在直角坐标系中，画出这几条线段，效果如下 （3）解：设，，则， 根据题意得 ， 分两种情况讨论， ①当时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得 ． ②时， ， 当取最大值2，在点取得最大值，即时，取得最大值，如下图 ，解得， 当取最小值1，在点取得最小值，即时，取得最小值，如下图 ，解得， ， 综上所述，m的取值范围为：或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $