第28章·相似三角形·期中复习·基础巩固讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

第28章·相似三角形·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解相似图形、相似多边形的概念，掌握对应角相等、对应边成比例的性质 · 掌握比例线段与比例的基本性质，能判断四条线段是否成比例并求比例中项 · 掌握平行线分线段成比例定理，能由比例式求线段的长 · 掌握相似三角形的三种判定方法，能判断两个三角形是否相似 · 掌握相似三角形的性质（周长比、面积比与相似比的关系），能解决简单应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似图形与相似多边形 形状相同的图形叫做相似形，相似形与大小、位置无关 相似多边形：对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 全等是相似的特殊情况（相似比为1），放大缩小是相似变换 判断两个多边形相似需同时满足对应角相等和对应边成比例 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．两个矩形一定相似　B．两个正方形一定相似　C．两个菱形一定相似　D．两个等腰三角形一定相似 答案：B 解析：正方形四边相等且四个角都是直角，任意两个正方形对应角相等、对应边成比例，一定相似。矩形长宽比不一定相同，菱形、等腰三角形的角不一定对应相等，故不一定相似。选 B。 ☆ 2.比例线段 四条线段 a、b、c、d 成比例，记作 a:b=c:d，即 = 比例的基本性质：= 等价于 ad=bc 若 a:b=b:c，则 b 是 a、c 的比例中项，b2=ac 比例尺 = 图上距离:实际距离，注意单位统一 概念辨析例题：已知线段 a=2，b=4，c=6，若 a、b、c、d 成比例，则 d 等于（　　）A．8　B．10　C．12　D．16 答案：C 解析：成比例即 a:b=c:d，=，由比例基本性质 2d=24，d=12。选 C。 ☆ 3.平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 由平行关系找比例式：对应线段在同一边上截得的两段与另一边截得的两段成比例 求线段长时设未知数列比例方程，解得后注意是否符合题意 概念辨析例题：如图，DE∥BC，AD=3，DB=2，AE=4，则 EC 的长为（　　） 答案：EC= 解析：由 DE∥BC 得 =，即 =，EC=。 ☆ 4.相似三角形的判定与性质 判定：两角对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似 性质：相似三角形对应角相等、对应边成比例；周长比等于相似比 性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，对应高、中线的比等于相似比 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，它们的面积比为（　　）A．2:3　B．4:9　C．:　D．8:27 答案：B 解析：面积比等于相似比的平方，即 ()2=。选 B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 同时满足两个条件 比例线段 = 等价于 ad=bc 单位要统一 比例中项 b2=ac b 可正可负（线段取正） 平行线分线段 对应线段成比例 找准对应关系 相似三角形判定 AA、SAS、SSS 选对判定定理 相似性质 周长比=相似比，面积比=相似比² 面积比要开平方求相似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形与相似多边形 · 形状相同的图形是相似形，相似形只要求形状相同，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 · 判断多边形相似：逐一检验对应角相等与对应边成比例两个条件 · 放大镜、放缩等变换保持形状不变，属于相似变换 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 3．（24-25九年级下·上海·开学考试）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 4．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，四边形四边形，，，，则________.    7．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 8．（25-26九年级上·上海·单元复习）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 【考点2】比例线段 · 四条线段 a、b、c、d 成比例记为 a:b=c:d，等价于 ad=bc（比例的基本性质） · 比例尺：图上距离与实际距离的比；由比例尺求实际距离时注意单位换算 · 比例中项：若 a:b=b:c，则 b 是 a、c 的比例中项，b2=ac · 合比、等比性质：= 时 = 等可灵活使用 9．（23-24九年级上·上海长宁·阶段检测）已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果的值是，那么的值为______． 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 14．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 15．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）已知，那么__________________． 16．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【考点3】平行线分线段成比例 · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 · 由比例式求线段长：先找出对应关系，设未知数列方程求解 · 注意对应线段要找准对应关系，不能错配比例式 17．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，与相交于点O，如果，，，，那么的长为______．    18．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 19．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是______． 20．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 21．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，，，那么___．    22．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，厘米，点M为上任意一点，连接，若点分别为和的重心，则______厘米． 23．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【考点4】相似三角形的判定 · 两角分别相等的两个三角形相似（AA） · 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） · 三边成比例的两个三角形相似（SSS） · 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 24．（23-24九年级上·上海静安·期中）在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 27．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）在中，点分别在边上，，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 28．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 30．（2025·广东广州·一模）已知：如图，在中，，分别为，的中点．求证：． 31．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【考点5】相似三角形的性质 · 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比为 k · 周长比等于相似比 k；面积比等于相似比的平方 k2 · 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 · 由面积比求相似比时注意开平方，两个相似比互为倒数关系 32．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 33．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 34．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知 ，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 35．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，P为边上一点，E、F分别为的中点，若的面积为3，那么的面积__________． 36．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，两点的坐标分别为、 (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为点，，．写出点、、的坐标并在直角坐标系中画出． (2)求的面积； 37．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 38．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 39．（24-25九年级上·上海金山·期中）已知的顶点、的坐标分别是、、点在轴正半轴，的面积为12． (1)求点的坐标； (2)若点在轴的正半轴，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【考点6】黄金分割 · 点 C 把线段 AB 分成两段，若 =≈0.618，则 C 是黄金分割点 · 黄金比约为0.618，较长线段 = ×全长 · 黄金分割点有两个，计算时注意取较短或较长线段 · 舞台站位、构图等实际问题常转化为黄金分割计算 40．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 41．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 42．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）设点P是线段的黄金分割点厘米，线段的长是______厘米． 43．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么长为______． 【考点7】位似 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标为原坐标乘以位似比（同侧正、异侧负） · 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 · 位似与坐标计算结合，注意点所在象限 44．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 45．（25-26八年级下·全国·期末）是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 46．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    【考点8】相似综合解答 · 证明题先找目标三角形，再选择判定定理（优先找相等角） · 结合平行四边形、梯形、菱形等图形性质寻找相等角与成比例线段 · 求线段长时设未知数，利用相似列比例方程，注意检验结果合理性 · 多图形综合题注意中间结论的传递使用，书写证明过程要完整严谨 47．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 48．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 50．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 51．（23-24九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，画出边上的中线． (2)在图②中，画出边上的点，使得． (3)在图③中，画出边上的高． 52．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 💯 课后巩固 复习建议 · 判断相似图形必须同时检查对应角相等与对应边成比例，不能只看形状 · 比例问题先写比例式再交叉相乘，求比例中项注意 b2=ac · 平行线分线段成比例要找对对应线段，比例式写错会导致计算全错 · 判定相似优先找相等角，两角相等是最常用的判定方法 · 用相似性质求长度、面积时注意：面积比是相似比的平方，开平方时要取正值 【作业1】．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【作业2】．（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【作业3】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 【作业5】．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上， ，如果，，那么的长是__________．    【作业6】．（2025·上海青浦·一模）如图，，如果，那么______． 【作业7】．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 【作业8】．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知，，如果，，那么的长是______． 【作业9】．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 【作业10】．（2024·上海闵行·一模）如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 【作业11】．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【作业12】．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【作业13】．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【作业14】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【作业15】．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【作业16】．（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【作业17】．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【作业18】．（2024·云南玉溪·二模）如图，在平行四边形中，分别以点B和D为圆心，以小于长度的长度为半径，在线段和上分别画弧，得到交点E和F，即可得到，连接，，，，．设的面积为，的面积为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求点C到的距离． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章·相似三角形·期中复习·基础巩固讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解相似图形、相似多边形的概念，掌握对应角相等、对应边成比例的性质 · 掌握比例线段与比例的基本性质，能判断四条线段是否成比例并求比例中项 · 掌握平行线分线段成比例定理，能由比例式求线段的长 · 掌握相似三角形的三种判定方法，能判断两个三角形是否相似 · 掌握相似三角形的性质（周长比、面积比与相似比的关系），能解决简单应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.相似图形与相似多边形 形状相同的图形叫做相似形，相似形与大小、位置无关 相似多边形：对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 全等是相似的特殊情况（相似比为1），放大缩小是相似变换 判断两个多边形相似需同时满足对应角相等和对应边成比例 概念辨析例题：下列说法正确的是（　　）A．两个矩形一定相似　B．两个正方形一定相似　C．两个菱形一定相似　D．两个等腰三角形一定相似 答案：B 解析：正方形四边相等且四个角都是直角，任意两个正方形对应角相等、对应边成比例，一定相似。矩形长宽比不一定相同，菱形、等腰三角形的角不一定对应相等，故不一定相似。选 B。 ☆ 2.比例线段 四条线段 a、b、c、d 成比例，记作 a:b=c:d，即 = 比例的基本性质：= 等价于 ad=bc 若 a:b=b:c，则 b 是 a、c 的比例中项，b2=ac 比例尺 = 图上距离:实际距离，注意单位统一 概念辨析例题：已知线段 a=2，b=4，c=6，若 a、b、c、d 成比例，则 d 等于（　　）A．8　B．10　C．12　D．16 答案：C 解析：成比例即 a:b=c:d，=，由比例基本性质 2d=24，d=12。选 C。 ☆ 3.平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 由平行关系找比例式：对应线段在同一边上截得的两段与另一边截得的两段成比例 求线段长时设未知数列比例方程，解得后注意是否符合题意 概念辨析例题：如图，DE∥BC，AD=3，DB=2，AE=4，则 EC 的长为（　　） 答案：EC= 解析：由 DE∥BC 得 =，即 =，EC=。 ☆ 4.相似三角形的判定与性质 判定：两角对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似 性质：相似三角形对应角相等、对应边成比例；周长比等于相似比 性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，对应高、中线的比等于相似比 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，它们的面积比为（　　）A．2:3　B．4:9　C．:　D．8:27 答案：B 解析：面积比等于相似比的平方，即 ()2=。选 B。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相似多边形 对应角相等、对应边成比例 同时满足两个条件 比例线段 = 等价于 ad=bc 单位要统一 比例中项 b2=ac b 可正可负（线段取正） 平行线分线段 对应线段成比例 找准对应关系 相似三角形判定 AA、SAS、SSS 选对判定定理 相似性质 周长比=相似比，面积比=相似比² 面积比要开平方求相似比 ⚠️ 核心考点 【考点1】相似图形与相似多边形 · 形状相同的图形是相似形，相似形只要求形状相同，与大小、位置无关 · 相似多边形对应角相等、对应边成比例，对应边的比叫做相似比 · 判断多边形相似：逐一检验对应角相等与对应边成比例两个条件 · 放大镜、放缩等变换保持形状不变，属于相似变换 1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（    ） A．周长 B．面积 C．每个内角的度数 D．每条边的长度 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相关结论即可解答． 【详解】解：由题意得：用放大镜看到的多边形与原多边形是相似的关系， 用放大镜看到的多边形与原多边形相比较，周长、面积、每条边的长度的长度均增大了， 每个内角的度数保持不变， 故选：C． 2．（23-24九年级上·上海青浦·期末）下列图形中，一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【知识点】相似图形、相似多边形 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意． B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意； D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意； 故选C． 3．（24-25九年级下·上海·开学考试）两个下列图形必定互为相似形的是（ ） A．等腰三角形 B．平行四边形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】C 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查了相似多边形，根据相似多边形的定义进行判定即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形的内角不一定对应相等，因此两个等腰三角形不一定相似，故A不符合题意； B．两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个平行四边形不一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形对应角相等，对应边成比例，因此两个正方形一定相似，故C符合题意； D．两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边不一定对应成比例，因此两个等腰梯形不一定相似，故D不符合题意． 故选：C． 4．（2025·上海奉贤·一模）下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，四边形四边形，，，，则________.    【答案】 【知识点】多边形内角和问题、相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为______． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海·单元复习）已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 【答案】，， 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 根据相似图形的对应边成比例，对应角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是相似的图形， ∴，即， ∴，， 又∵， ∴． 【考点2】比例线段 · 四条线段 a、b、c、d 成比例记为 a:b=c:d，等价于 ad=bc（比例的基本性质） · 比例尺：图上距离与实际距离的比；由比例尺求实际距离时注意单位换算 · 比例中项：若 a:b=b:c，则 b 是 a、c 的比例中项，b2=ac · 合比、等比性质：= 时 = 等可灵活使用 9．（23-24九年级上·上海长宁·阶段检测）已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】依据比例的性质依次作判断． 【详解】解：由，得，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积． 10．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 11．（23-24九年级上·上海·阶段检测）已知线段，，，满足，则下列比例式不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例线段，由题意得出是解题的关键．根据，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：线段，满足， ∴，，， 故A、B正确； 若， 则， ∴， 由已知无法得出，故C不一定正确； 若， 则， ∴， 故D正确， 故选：C． 12．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如果的值是，那么的值为______． 【答案】 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】本题主要运用了比例性质，根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】3 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 14．（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）已知，则__________． 【答案】 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 15．（23-24九年级上·上海松江·阶段检测）已知，那么__________________． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 设，则， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【答案】，， 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握用同一字母表示各未知数是解答关键． 根据已知设，，，然后代入进行求解． 【详解】解：因为， 所以设，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，． 【考点3】平行线分线段成比例 · 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 · 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 · 由比例式求线段长：先找出对应关系，设未知数列方程求解 · 注意对应线段要找准对应关系，不能错配比例式 17．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，与相交于点O，如果，，，，那么的长为______．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，先利用，证明，再利用，可得，结合线段的和差，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 19．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是______． 【答案】/ 【知识点】坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标． 【详解】解：， ， 轴轴， ， ， ， ， ， 点，点， ，， ， ， 点在轴的负半轴， 点的坐标是， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 由，根据平行线分线段成比例定理，可得，结合题意可求，从而求出，再根据求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，，，那么___．    【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，正确的掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据题目已知条件可以得出，从而得出，因为和高相同，所以面积之比等于底边之比即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，在中，厘米，点M为上任意一点，连接，若点分别为和的重心，则______厘米． 【答案】4 【知识点】重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分别取的中点K，D，E，连接，可得为的中位线，再根据三角形重心的定义，可得点P为的交点，点Q在上，可得到，从而得到，可证明，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，分别取的中点K，D，E，连接， ∴为的中位线， ∴， ∵点分别为和的重心， ∴点P为的交点，点Q在上， ∴， ∴，即， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D，E分别为的中点， ∴， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米． 23．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作的平行线，交于点，证明，得到；证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的平行线，交于点， ∵与平行， ∴， ∴； ∵，在中，对角线交于点， ∴； ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点4】相似三角形的判定 · 两角分别相等的两个三角形相似（AA） · 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） · 三边成比例的两个三角形相似（SSS） · 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 24．（23-24九年级上·上海静安·期中）在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】利用平行线的判定即可求得答案． 【详解】解：A、根据有，结合则，故本选项不符合题意； B、根据和则有，故本选项不符合题意； C、由不能判定，故本选项符合题意； D、根据有，结合则，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定条件是关键． 25．（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由，得到，再由，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：C． 26．（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 27．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）在中，点分别在边上，，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；根据相似三角形的性质与判定可依次排除选项． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴若添加，无法得到，则无法得到；故A不符合题意； 若添加，无法得到，则无法得到；故B不符合题意； 若添加，则有，所以，所以，所以，所以；故C选项符合题意； 若添加，无法得到，则无法得到；故D不符合题意； 故选C． 28．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，可得平行线分线段对应成比例，，再利用相似三角形对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故B、C选项正确； ∵， ∴， ∴，故A选项正确，D选项不正确． 29．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 【答案】/ 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键．由可以得到，然后代入数据即可求出，故时，． 【详解】解：如图： ∵当 ∴时， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 30．（2025·广东广州·一模）已知：如图，在中，，分别为，的中点．求证：． 【答案】证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】由中点的定义得出，根据为公共角，即可得出． 【详解】证明：略 31．（23-24九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 【考点5】相似三角形的性质 · 相似三角形对应角相等、对应边成比例，相似比为 k · 周长比等于相似比 k；面积比等于相似比的平方 k2 · 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 · 由面积比求相似比时注意开平方，两个相似比互为倒数关系 32．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用相似三角形的性质求解 【分析】证明即可解答． 【详解】解：点D，E分别是，的中点， ，， ， ． 33．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为___________． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 34．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知 ，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而对应高的比等于相似比． 【详解】解：∵，面积比为， ∴相似比为， ∴对应高的比为． 故答案为：． 35．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，P为边上一点，E、F分别为的中点，若的面积为3，那么的面积__________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的面积求法得出答案． 【详解】解：，分别为，的中点， ∴是的中位线 ，， ， ， ， ∵的面积分别为3， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 36．（24-25七年级下·西藏日喀则·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，两点的坐标分别为、 (1)图中内一点，经平移后对应点为，将作同样的平移得到，点，，的对应点分别为点，，．写出点、、的坐标并在直角坐标系中画出． (2)求的面积； 【答案】(1) 在平面直角坐标系中的图如图所示． ，，； (2)10． 【知识点】平移(作图)、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、坐标与图形综合 【分析】本题考查了三角形的面积公式，平移的性质，坐标与图形的性质； （1）由平移的性质可得出答案； （2）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 37．（23-24九年级上·上海长宁·期末）在平行四边形中，点是的中点，相交于点．    (1)设，试用表示； (2)先化简，再求作：（直接作在图中）． 【答案】(1) (2)， 如图，即为所求．    【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理和平面向量， 根据题意得和，进一步得到，则，代入向量即可． 化解得，将对应线段代入得到，过点E作，则，，连接即可． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 则， ∵点是的中点， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． （2）， ∵， ∴， 过点E作，则， ∴， 38．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1) 证明：， 又， ； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）根据两组角对应相等的两三角形相似；（2）利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 39．（24-25九年级上·上海金山·期中）已知的顶点、的坐标分别是、、点在轴正半轴，的面积为12． (1)求点的坐标； (2)若点在轴的正半轴，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)，点的坐标为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、坐标与图形综合 【分析】（1）根据题意，设，可得，由三角形的面积的计算方法即可求解； （2）根据勾股定理可得，根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：当时；当时；当时；结合等腰三角形的性质，坐标与图形的特点分析即可求解； （3）根据题意可得，在上取的中点，可得，由此分类讨论：第一种情况，点在点的位置，可证，可得点；第二种情况，点在点的位置，根据题意可得，点关于轴对称，可得；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点在轴正半轴， ∴设， ∵、，的面积为12， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，是等腰三角形， ∴， ∴； 当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴此时点与点重合，不符合题意，舍去； ∴点的坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在上取的中点，如图所示， ∴， ∴， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， 第一种情况，点在点的位置， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，点在点的位置， ∵， ∴， ∴点关于轴对称， ∴； ∴，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，理解坐标与图形的关系，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 【考点6】黄金分割 · 点 C 把线段 AB 分成两段，若 =≈0.618，则 C 是黄金分割点 · 黄金比约为0.618，较长线段 = ×全长 · 黄金分割点有两个，计算时注意取较短或较长线段 · 舞台站位、构图等实际问题常转化为黄金分割计算 40．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【知识点】黄金分割 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 41．（24-25九年级下·上海·阶段检测）黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是______． 【答案】 【知识点】黄金分割、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割的概念，可得，由此列方程即可求解． 【详解】解：如图：设米， 由题意知 米，米， 由黄金分割可得：， ， 故答案为：． 42．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）设点P是线段的黄金分割点厘米，线段的长是______厘米． 【答案】 【知识点】黄金分割 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点厘米， ∴． 43．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么长为______． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，且，得出，代入 即可求 ． 本题考查了黄金分割，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由于点是线段的黄金分割点，且， 因此， 故， 故答案为：． 【考点7】位似 · 位似图形对应点连线交于位似中心，位似比即对应边的比 · 以原点为位似中心，坐标为原坐标乘以位似比（同侧正、异侧负） · 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形 · 位似与坐标计算结合，注意点所在象限 44．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（25-26八年级下·全国·期末）是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【答案】或/或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为， 已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律， 有，， 或者，， ∴点的坐标为或． 46．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为______．    【答案】 【知识点】相似多边形的性质、位似图形的识别 【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接．利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出边长，再求出可得结论． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形正方形，， 又∵正方形的面积为4， ∴正方形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的外接圆的半径为， 故答案为：． 【考点8】相似综合解答 · 证明题先找目标三角形，再选择判定定理（优先找相等角） · 结合平行四边形、梯形、菱形等图形性质寻找相等角与成比例线段 · 求线段长时设未知数，利用相似列比例方程，注意检验结果合理性 · 多图形综合题注意中间结论的传递使用，书写证明过程要完整严谨 47．（2024·上海黄浦·二模）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（    ） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确； C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 48．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）示意图，已知桌面的直径为，桌面距地面，若灯泡距地面，则地面上的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似多边形的性质、中心投影 【分析】本题考查了相似图形的性质，圆的周长，掌握相似的性质是关键． 根据题意相似的性质得到，即可求解． 【详解】解：桌面距地面，若灯泡距地面， ∴灯泡距离桌面， 设桌面阴影的半径为， ∴， 解得，， ∴地面上的阴影部分的面积为， 故选：A ． 49．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）在下列命题中，真命题是（     ）． A．两边之比是的两个直角三角形相似 B．两边之比是的两个等腰三角形相似 C．有一个内角是的两个等腰三角形相似 D．四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 【知识点】判断命题真假、相似多边形的性质 【分析】本题考查命题与定理、多边形相似的判定、熟练掌握两个相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题关键．根据相似多边形的性质、举反例解答即可得答案． 【详解】解：A．三边比分别为与的两个直角三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， B．两边之比是的两个等腰三角形相似，故该选项是真命题，符合题意， C．三个内角分别为、、和、、的两个三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， D．∵四边形不具有稳定性， ∴四边形的各内角可以改变，故不一定相似，该选项是假命题，不符合题意， 故选：B． 50．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1) 证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 51．（23-24九年级下·吉林白城·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，画出边上的中线． (2)在图②中，画出边上的点，使得． (3)在图③中，画出边上的高． 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所求；    (2) 解：如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求； 易证明，则；    (3) 解：如图所示，取格点I，连接交于F，线段即为所求．    【知识点】画三角形的高、全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等： （1）取于格线的交点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点G、H，连接交于E，点E即为所求； （3）如图所示，取格点D，连接交于F，线段即为所求． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 52．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，将放大得到，相似比为，在网格图中画出． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）将的三个顶点绕点顺时针旋转后连线即可得到，在网格图中写出点的坐标； （2）连接，反向延长倍得到，连接三个点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求，点的坐标为； （2）解：如图所示： 即为所求． 💯 课后巩固 复习建议 · 判断相似图形必须同时检查对应角相等与对应边成比例，不能只看形状 · 比例问题先写比例式再交叉相乘，求比例中项注意 b2=ac · 平行线分线段成比例要找对对应线段，比例式写错会导致计算全错 · 判定相似优先找相等角，两角相等是最常用的判定方法 · 用相似性质求长度、面积时注意：面积比是相似比的平方，开平方时要取正值 【作业1】．（23-24九年级上·上海·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【作业2】．（23-24九年级上·上海宝山·期末）下列各组中的四条线段成比例的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如(即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 根据比例线段的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．由于，则不成比例，所以A选项不符合题意； B．由于，则成比例，所以B选项符合题意； C．由于，则不成比例，所以C选项不符合题意； D．由于，则不成比例，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【作业3】．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】由已知条件得出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，利用相似三角形的性质逐一判断选项． 【详解】解：，， ， ， ， ，故A正确； ，故B正确； ， ，故D正确； 由可知，仅当时，，题目未给出与的数量关系，故C错误． 【作业4】．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 【答案】2 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段， 能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可． 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 【作业5】．（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上， ，如果，，那么的长是__________．    【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 【作业6】．（2025·上海青浦·一模）如图，，如果，那么______． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【作业7】．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 故答案为：． 【作业8】．（26-27九年级上·上海青浦·阶段检测）如图，已知，，如果，，那么的长是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【详解】解：如下图所示，延长，交于一点， ， ，， ，． ， 设，， ，，代入得， 解得， ，，代入得， 解得． 【作业9】．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图，已知梯形中，，点、分别在腰、上，，且．    (1)求的值； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2)7 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质，（1）根据平行线分线段成比例定理即可求出答案；（2）连接，根据相似三角形的判定与性质即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，    ∵， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ． 【作业10】．（2024·上海闵行·一模）如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明： ， ， 又， ∴； (2) 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再由比例性质及等量代换求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业11】．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段检测）已知，且． (1)的值为______； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件得出，，，再代入，然后进行整理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，且， ∴，，， ∵， 则， ∴的值为8． 【作业12】．（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1) 证明： (2) 证明： ， ， 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）略 【作业13】．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】（1）∵， ， ，，， ， 解得：； （2）∵， ，即， 解得：． 【作业14】．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【作业15】．（2026·浙江温州·二模）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点． 【数学理解】 (1)这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断； （2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴， （2）解：∵， ∴，， 又∵在菱形中，， ∴， ， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【作业16】．（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2)证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）略 （2）略 【作业17】．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，根据可得，，证明，从而，代入即可求解，再证明，得到，即可得求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 【作业18】．（2024·云南玉溪·二模）如图，在平行四边形中，分别以点B和D为圆心，以小于长度的长度为半径，在线段和上分别画弧，得到交点E和F，即可得到，连接，，，，．设的面积为，的面积为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求点C到的距离． 【答案】(1) 证明：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是矩形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据，得，又从而证明四边形是平行四边形，再根据得四边形是矩形； （2）根据（1）中条件易证，由得相似比为，从而得，设，，在中，用勾股定理求出x值，从而得长，即点C到的距离 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 在中，设，， 则，即， 解得：，（舍）， ， 点到的距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质与判定，三角形相似，勾股定理等知识点；熟练运用判定与性质定理是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $