专题06 锐角的正弦.余弦与正 切期中复习讲义 2026-2027学年 沪教版（五四制）九年级数学上册

专题06锐角的正弦.余弦与正切期中复习讲义 1.理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，知道在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比值，会规范写出锐角的三角函数表达式。 2.熟记 30°、45°、60° 特殊锐角的正弦、余弦、正切值，能够直接代入求值，也能根据三角函数值反求对应的锐角度数。 3.掌握同一个锐角的正弦、余弦之间的关系，以及互余两角的三角函数关系，会进行简单的式子变形与换算。 4.会在直角三角形中，已知两边长，求锐角的正弦、余弦、正切值；已知一个锐角的三角函数值，结合勾股定理求直角三角形的边长。 5.能够比较同一个锐角不同三角函数的大小，或者比较不同锐角的同名三角函数大小，理解锐角三角函数随角度变化的增减规律。 6.会结合网格图形、平面直角坐标系，构造直角三角形求锐角三角函数值。 7.会利用三角函数进行简单的计算，能区分正弦、余弦、正切对应的边，避免对边、邻边混淆。 8.梳理易错点：三角函数是比值，没有单位；必须在直角三角形中使用，非直角三角形要先作垂线构造直角三角形；看清所求的是哪个角的三角函数，找对对应对边、邻边。 题型 考察方向 难度 题型一 正弦的概念辨析 ★★ 题型二 求角的正弦值 ★★★ 题型三 已知正弦值求边长 ★★★ 题型四 余弦的概念辨析 ★★ 题型五 求角的余弦值 ★★★ 题型六 已知余弦求边长 ★★★ 题型七 正切的概念辨析 ★★ 题型八 求角的正切值 ★★★ 题型九 已知正切值求边长 ★★★ 题型十 特殊角三角函数值的混合运算 ★★★ 题型十一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 ★★★ 题型十二 根据特殊角三角函数值求角的度数 ★★★ 题型十三 已知角度比较三角函数值的大小 ★★★ 题型十四 根据三角函数值判断锐角的取值范围 ★★★ 题型十五 利用同角三角函数关系求值 ★★★★ 题型十六 三角函数综合 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 直角三角形三边定义（识图基础） 在Rt△ ABC， ∠C=90，三边标记：∠ A对边BC=a， ∠A邻边AC=b，斜边AB=c 线段名称 对应边 核心说明 斜边 AB=c 直角对的边，固定最长，不随锐角改变 ∠A的对边 BC=a 不与 ∠A相接的直角边 ∠A的邻边 AC=b 和 ∠A、直角同时相邻的直角边 ∠B的对边 AC=b 换锐角后，对边、邻边互换 易错：对边、邻边随观察锐角变化，不能固定记忆。 知识点 02 正弦、余弦、正切定义（本节核心） 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 核心性质： 1.sin A、cos A、tan A是无单位纯比值； 2.函数值只由锐角大小决定，与三角形边长无关； 3.角度确定，三角函数值唯一。 知识点 03 同角三角函数恒等式（计算必考） 设α为任意锐角，两个基础恒等式： 关系类型 公式 推导依据 平方关系 sin2α+cos2α=1 勾股定理 a2+b2=c2 商数关系 tanα 分式约分消去斜边c 补充说明：sin2α=(sinα)2，不能写成sinα2 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点 05 互余两角三角函数转换 Rt△中 ∠A+∠B=90，两角互余： 转换公式组 文字规律 sin A=cos B，cos A=sin B 一个角的正弦 = 它余角的余弦 tan A tan B=1 互余两角正切互为倒数 知识点 06 三角函数取值范围 0<α<90 函数 取值范围 sinα 0<sinα<1 cosα 0<cosα<1 tanα taαn>0 知识点07:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 混淆对边邻边 求sin A用邻边 ÷ 斜边 先找准目标锐角的对边 分母写错 tan A= tan无斜边，分母是邻边 平方书写错误 sin2 A=sin A2 sin2 A=(sin A)2 特殊角记反 sin60= 对照背诵表格区分正弦余弦 互余关系颠倒 sin A=sin B 互余：正、余弦互换 题型一、正弦的概念辨析 1．在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 2．如图，在菱形中，点是的中点，连接，交于点．，，则的长是________． 3．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二、求角的正弦值 4．如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 6．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型三、已知正弦值求边长 7．在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 8．在中，，，，那么的长是______． 9．如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 题型四、余弦的概念辨析 10．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 11．如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为_________． 12．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型五、求角的余弦值 13．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 15．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 题型六、已知余弦求边长 16．在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 17．如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________．    18．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型七、正切的概念辨析 19．如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是______． 21．如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 题型八、求角的正切值 22．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 23．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 题型九、已知正切值求边长 25．如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为_____． 27．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E、F分别在线段、上，连接，，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 题型十、特殊角三角函数值的混合运算 28．的值等于（    ） A． B． C． D． 29．计算：_______． 30．已知两角和的余弦公式，利用该公式计算非特殊角如的值就显容易，即，仿照计算（    ） A． B． C． D． 题型十一、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 31．如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 32．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 33．在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 题型十二、根据特殊角三角函数值求角的度数 34．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 35．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 36．在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型十三、已知角度比较三角函数值的大小 37．当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 38．若，，，则由小到大的顺序为______． 39．如图，正方形和正方形中，，将正方形绕点逆时针旋转，旋转过程中射线与射线交于点，则的最小值是____________． 题型十四、根据三角函数值判断锐角的取值范围 40．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 41．已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是________． 42．若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十五、利用同角三角函数关系求值 43．若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 44．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 45．如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（   ） A． B．5 C． D． 题型十六、三角函数综合 46．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 47．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 48．如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 解答题 49．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 50．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 51．如图，在菱形中，过点A作分别交，于点E，F，过点E作交于点G． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 52．如图1，在四边形中，，，连接，交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． （i）求的值； （ii）如图3，连接，若，求的长． 53．如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 54．如图－1，在矩形中，，先将矩形对折得到折痕，再展开，是上一点，沿折叠使点落在上的点处，与交于点，延长交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)如图－2，在图－1的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上的点处，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06锐角的正弦.余弦与正切期中复习讲义 1.理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，知道在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是哪两条边的比值，会规范写出锐角的三角函数表达式。 2.熟记 30°、45°、60° 特殊锐角的正弦、余弦、正切值，能够直接代入求值，也能根据三角函数值反求对应的锐角度数。 3.掌握同一个锐角的正弦、余弦之间的关系，以及互余两角的三角函数关系，会进行简单的式子变形与换算。 4.会在直角三角形中，已知两边长，求锐角的正弦、余弦、正切值；已知一个锐角的三角函数值，结合勾股定理求直角三角形的边长。 5.能够比较同一个锐角不同三角函数的大小，或者比较不同锐角的同名三角函数大小，理解锐角三角函数随角度变化的增减规律。 6.会结合网格图形、平面直角坐标系，构造直角三角形求锐角三角函数值。 7.会利用三角函数进行简单的计算，能区分正弦、余弦、正切对应的边，避免对边、邻边混淆。 8.梳理易错点：三角函数是比值，没有单位；必须在直角三角形中使用，非直角三角形要先作垂线构造直角三角形；看清所求的是哪个角的三角函数，找对对应对边、邻边。 题型 考察方向 难度 题型一 正弦的概念辨析 ★★ 题型二 求角的正弦值 ★★★ 题型三 已知正弦值求边长 ★★★ 题型四 余弦的概念辨析 ★★ 题型五 求角的余弦值 ★★★ 题型六 已知余弦求边长 ★★★ 题型七 正切的概念辨析 ★★ 题型八 求角的正切值 ★★★ 题型九 已知正切值求边长 ★★★ 题型十 特殊角三角函数值的混合运算 ★★★ 题型十一 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 ★★★ 题型十二 根据特殊角三角函数值求角的度数 ★★★ 题型十三 已知角度比较三角函数值的大小 ★★★ 题型十四 根据三角函数值判断锐角的取值范围 ★★★ 题型十五 利用同角三角函数关系求值 ★★★★ 题型十六 三角函数综合 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 直角三角形三边定义（识图基础） 在Rt△ ABC， ∠C=90，三边标记：∠ A对边BC=a， ∠A邻边AC=b，斜边AB=c 线段名称 对应边 核心说明 斜边 AB=c 直角对的边，固定最长，不随锐角改变 ∠A的对边 BC=a 不与 ∠A相接的直角边 ∠A的邻边 AC=b 和 ∠A、直角同时相邻的直角边 ∠B的对边 AC=b 换锐角后，对边、邻边互换 易错：对边、邻边随观察锐角变化，不能固定记忆。 知识点 02 正弦、余弦、正切定义（本节核心） 三角函数 文字定义 公式表达式 比值构成 正弦 sin A 锐角对边比斜边 sinA​ 对边 ÷ 斜边 余弦 cos A 锐角邻边比斜边 cosA 邻边 ÷ 斜边 正切 tan A 锐角对边比邻边 tanA== 对边 ÷ 邻边 核心性质： 1.sin A、cos A、tan A是无单位纯比值； 2.函数值只由锐角大小决定，与三角形边长无关； 3.角度确定，三角函数值唯一。 知识点 03 同角三角函数恒等式（计算必考） 设α为任意锐角，两个基础恒等式： 关系类型 公式 推导依据 平方关系 sin2α+cos2α=1 勾股定理 a2+b2=c2 商数关系 tanα 分式约分消去斜边c 补充说明：sin2α=(sinα)2，不能写成sinα2 知识点04:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 1.数值推导与记忆 推导原理：基于含 30°、45° 的直角三角形边长比（30° 对边 = 斜边 1/2，45° 为等腰直角三角形），用三角函数定义计算。 2.记忆技巧：口诀辅助 ——“正弦一二三，余弦三二一，切值根号三；正弦增，余弦减，正切随增”。 3.增减性规律 在 090° 范围内，三角函数值随角度变化的规律： (1)正弦 (sinα)：随角度增大而增大 (2)余弦 (cosα)：随角度增大而减小 (3)正切 (tanα)：随角度增大而增大 知识点 05 互余两角三角函数转换 Rt△中 ∠A+∠B=90，两角互余： 转换公式组 文字规律 sin A=cos B，cos A=sin B 一个角的正弦 = 它余角的余弦 tan A tan B=1 互余两角正切互为倒数 知识点 06 三角函数取值范围 0<α<90 函数 取值范围 sinα 0<sinα<1 cosα 0<cosα<1 tanα taαn>0 知识点07:由三角函数值求锐角 1.核心逻辑 本节核心是由三角函数值反求对应锐角，分两种情况： 特殊值：直接对应 30°、45°、60°（如 sinα= ⇒ α=45°）； 非特殊值：需用科学计算器求解（需调至 DEG 角度模式）。 2.计算器操作步骤（通用） (1)开机并切换至 DEG 模式（确保单位为度）； (2)按函数键（sin/cos/tan）； (3)输入三角函数值； (4)按等号键，显示结果（精确到 0.01° 或按题目要求）。 3.两类常见题型 题型 示例 解题要点 特殊值求角 已知 cosα=，求锐角 α 直接对应 60°，无需计算器 非特殊值求角 已知 sinα=0.35，求锐角 α 用计算器计算，注意模式与精度 4.实际应用场景 结合直角三角形边长比（如已知对边 / 邻边求倾斜角），解决坡度、高度等实际问题。 知识点 08 高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确做法 混淆对边邻边 求sin A用邻边 ÷ 斜边 先找准目标锐角的对边 分母写错 tan A= tan无斜边，分母是邻边 平方书写错误 sin2 A=sin A2 sin2 A=(sin A)2 特殊角记反 sin60= 对照背诵表格区分正弦余弦 互余关系颠倒 sin A=sin B 互余：正、余弦互换 题型一、正弦的概念辨析 1．在中，，则表示（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】结合直角三角形中锐角三角函数的定义，判断给定边的比值对应的三角函数名称即可． 【详解】解：在中，， 为斜边， 的对边为， ． 2．如图，在菱形中，点是的中点，连接，交于点．，，则的长是________． 【答案】 【分析】连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和已知条件，得出△BCE为直角三角形，求出，得出为等边三角形，求出AC的长，再根据勾股定理求出BO的长，即可求出BD． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图所示： 四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，， ∵点E为AB的中点， ∴， ∵， ∴， ∴△BCE为直角三角形， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质和判定，勾股定理及逆定理，根据题意判断出△BCE为直角三角形，求出，是解题的关键． 3．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据正弦，余弦，正切的定义进行计算，即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解：在中, 故选：． 题型二、求角的正弦值 4．如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：，若，， ， ． 5．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则的正弦值为________． 【答案】 【分析】如图在延长线上取格点，连接，根据网格结构，利用勾股定理分别计算出、、的长度，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， 如图在延长线上取格点，连接， 由勾股定理得：，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 6．如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 题型三、已知正弦值求边长 7．在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 8．在中，，，，那么的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得的长，熟练掌握正弦值与三角形边的关系是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据正弦的意义可得． 【详解】解：在中，对角线与相交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型四、余弦的概念辨析 10．如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 11．如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为_________． 【答案】/ 【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解． 【详解】∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴与的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确、④错误； ∵， ∴，故③正确， ∴正确的有个． 故选：B．    题型五、求角的余弦值 13．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 14．已知矩形中，若，，点为的中点，为上一点，连接、，，则___________． 【答案】 或/或 【分析】分F靠近点A和F靠近点B两种情况，过F作于G，利用矩形性质和勾股定理求出和的长度，再根据锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 点F靠近点A，垂足G在上时： 如图1，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，是中点， ∴ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ； ② 点F靠近点B，垂足G在上时： 如图2，作于， ∵ 四边形是矩形， ∴，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在中，，， ∴ ， 综上，的值为或． 15．如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 题型六、已知余弦求边长 16．在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦的定义得到与的关系，设未知数后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 又，即， 解得， 则． 17．如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________．    【答案】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 18．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 题型七、正切的概念辨析 19．如图，在中，，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 20．如图，是《周髀算经》中的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形都全等，如果大正方形的面积是小正方形面积的5倍，那么的余切值是______． 【答案】2 【分析】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解． 小正方形面积是，则大正方形的面积是，则小正方形边长是，设，利用勾股定理求出，最后利用熟记函数即可解答． 【详解】解：设小正方形面积是，则大正方形的面积是， ∴小正方形边长是， ∵图中的四个直角三角形是全等的， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴的余切值， 故答案为：2． 21．如图，工件上有一形槽截面，，测得上口宽，形角，形槽的深为，则下列关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再结合正切的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型八、求角的正切值 22．在中，，如果，那么的值是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴． 23．如图，的三个顶点均在边长为1的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中过点 作 边上的垂线，得到对边长度 2，邻边长度 6，根据正切定义，代入数字计算得到． 【详解】解：过点 作，交的延长线于点 ． ， ， ， ， ． 24．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为______． 【答案】5 【分析】作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴设，则， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型九、已知正切值求边长 25．如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 26．如图，在中，，的垂直平分线交与点E，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意得出，进而得出的正切值，再结合的长即可求出的长，进一步得出的长度，进而得出的长，最后在中，求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E、F分别在线段、上，连接，，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正切等知识，根据正方形的性质可得 ，，由得出，再根据证明可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 故选：C． 题型十、特殊角三角函数值的混合运算 28．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 29．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和零指数幂的运算，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 30．已知两角和的余弦公式，利用该公式计算非特殊角如的值就显容易，即，仿照计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是信息题，解答此题的关键是正确运用题干所给出的公式并灵活运用．把化为直接代入三角函数公式计算即可． 【详解】， 故选：B 题型十一、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 31．如果中，，则下列结论正确的是（　　） A．是等边三角形 B．是钝角三角形 C．是等腰直角三角形 D．是锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握根据三角函数值确定三角形的形状是解此题的关键． 根据特殊角的三角函数值，直接得出，的角度即可解答． 【详解】解：， ， 是等腰直角三角形． 故选C． 32．在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 33．在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状． 【详解】解：∵(2sinA-1)2+=0， ∴2sinA-1=0，cosB-=0， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°， 故△ABC为直角三角形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键． 题型十二、根据特殊角三角函数值求角的度数 34．在中，为直角，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，然后利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：在中，为直角， ∴， ． 35．在中，，均为锐角，且满足，则__________． 【答案】/度 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到两个式子分别等于0，求出和的值，再结合特殊锐角的三角函数值得到，的度数，最后利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，， 即 ，， ∵ ，均为锐角， ∴ ，， ∴ ． 36．在中，都为锐角，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值求出，．再根据三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵，，且． ∴，． ∴，． ∵、均为锐角． ∴，． ∵三角形内角和为． ∴． 题型十三、已知角度比较三角函数值的大小 37．当锐角时，的值（     ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】B 【分析】在锐角范围内，余弦值随角度的增大而减小． 【详解】解：∵， ∴锐角时，的值大于． 故选：B． 38．若，，，则由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 39．如图，正方形和正方形中，，将正方形绕点逆时针旋转，旋转过程中射线与射线交于点，则的最小值是____________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形函数的定义，勾股定理，同角的余角相等，掌握三角函数值与锐角之间的关系是解题的关系．过点作于点，则，根据三角形函数得出的值越大，越大，从而得当点与点重合时，即时，最大，最小，如下图，由勾股定理得，又根据三角函数得，从而求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴越大，即的值越大，越大， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴越大，越大，即越大， ∴的值越大，越大， ∴当点与点重合时，即时，最大，最小，如下图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是， 故答案为：． 题型十四、根据三角函数值判断锐角的取值范围 40．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为锐角， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 41．已知sinα＜cosα，则锐角α的取值范围是________． 【答案】0°＜α＜45°． 【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解． 【详解】解：由sinα＜cosα，得 0°＜α＜45°， 故答案为：0°＜α＜45°． 【点睛】同角三角函数的关系、锐角三角函数的增减性是解题的关键． 42．若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 题型十五、利用同角三角函数关系求值 43．若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 44．如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 45．如图，在直角梯形中，，，E为的中点，F为线段上的动点，连结，将沿折叠得到．在点F从点B运动到点C的过程中，若射线与上底相交于点P，则点P相应运动的路径长为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】先证明，则，，由翻折得，，继而可得，则，故，因此，代入求解得，因此． 【详解】解：∵在直角梯形中，，，， ∵点E为中点， ∴， 由翻折得，， ∴， 当点P与点D重合时，此时点F的位置如图， 当点F与点C重合时，长即为点P的运动路径长，如图， 此时，连接， ∵，， ∴， ∴，， 由翻折得，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型十六、三角函数综合 46．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 47．如图，在中，，垂足为D．给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． 【答案】①②④ 【分析】根据得到，进而逐一判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ，故②正确；故③错误； ， 故④正确． 48．如图，矩形中，，，平分，于点，于点．则的值为（用含的代数式表示）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，得到，结合已知得到，求解即可． 【详解】解：矩形，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， 故． 解答题 49．如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴． 50．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先代入特殊三角函数值，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 51．如图，在菱形中，过点A作分别交，于点E，F，过点E作交于点G． (1)求证：． (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是菱形，对角线交于点O， ∴， ∴， ∵交于点G， ∴， ∵分别交于点E，F， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由菱形的性质得，，，则，由，得，因为，所以，而，可证明，则； （2）连接，由，，推导出，由，得，由，求得，则，可证明，则，所以，由，求得，则，即可由，求得． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 52．如图1，在四边形中，，，连接，交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． （i）求的值； （ii）如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ； (2)（ⅰ）,（ⅱ） 【分析】（1）根据证明即可； （2）（i）由（1）得，又，可证明，得，得出，由得，设，可求出，可得结论； （ii）由可求出，由勾股定理求出，，设，则，在中，，列式求出，求出，由勾股定理可求出． 【详解】（1）略 （2）（i）证明：，， ， 由（1）得，， 又， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． （ii）解：如图，作于点， ， 由（2）得， 则，，， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得或（舍去）， ， ． 53．如图，根据图中数据完成填空，并按要求答题： (1)_______________；_______________； (2)观察上述等式，猜想：在中，，则有_______________． (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想． (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1；1 (2)1 (3)证明：如图④， 根据正弦、余弦的定义得： 根据勾股定理得：， ∴， ∴． (4) 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义求出、、、 的值，代入、计算即可得答案． （2）根据正弦、余弦的定义求出，，，观察即可可猜想． （3）根据正弦、余弦的定义求出，再根据勾股定理得，代入计算即可得． （4）根据完全平方公式计算得，把，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图①、图②， 根据正弦、余弦的定义得： ，，， ， ∴，． （2）解：如图③， 根据正弦、余弦的定义得： ， 根据（1）得： ，， 根据上述计算，可猜想：． （3）略 （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的值为． 54．如图－1，在矩形中，，先将矩形对折得到折痕，再展开，是上一点，沿折叠使点落在上的点处，与交于点，延长交于点． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：； (3)如图－2，在图－1的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好落在上的点处，求的长． 【答案】(1) 证明：由折叠的性质可知，E，F分别为的中点，， ， 由折叠而来， ，     在中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； (2) 证明：由（1）可得， ， ， ， ，即 为的中点，， 是等边三角形， ， ， ， ， 如解图①，连接， 在和中， ， ；     (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得，由，求得，从而求得，其次求得即可证得为等边三角形； （2）连接，通过计算求得，从而证得，根据“”证明，得出； （3）由（1）知，在中求出，由是由翻折得到，，在中，，，，根据求得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）可得， ， ， 由折叠的性质可得， ， ， ，     ∴在中，，    即， 解得. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $