精品解析：广东深圳市红岭教育集团石厦中学2026-2027学年度九年级上学期第一次阶段练习数学试卷（10月）

红岭教育集团石厦中学2026-2027学年度 九年级上学期第一次阶段练习 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，请把选择题答案涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．利用因式分解的方法即可得出方程的解． 【详解】解：， ， ， ∴或 解得：，． 故选：D． 2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 3. 如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 4. 已知（），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例关系，将和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 6. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 8. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式可计算出，结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可计算出． 【详解】解：∵菱形的面积为，且， ∴， 在菱形中，点为的中点， 又∵， ∴． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分，请把答案写在答题卷上） 9. 已知 则 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求分式拆分变形，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：对根据分式减法法则拆分，得， 将代入上式，得． 10. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∵， ∴将代入得． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 12. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点分别落在坐标轴上，且，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，得到点D坐标是解答的关键．过D作轴于H，设小正方形的边长为a，先证明求得，再证明求得，，进而可得即可． 【详解】解：过D作轴于H，设小正方形的边长为a， 由题意，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，再证，可得，再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【详解】如图：过点P作交DC延长线于点E， 在和中 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解题关键是正确作出辅助线，列出比例式． 三、解答题（共7大题，共61分，14题12分，15题6分，16题6分，17题6分，18题8分，19题11分，20题12分） 14. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得； 【小问3详解】 解： 解得； 【小问4详解】 解： 或 解得． 15. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：_____． （2）已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 【答案】（1） （2），互为倒数， 证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、解的概念，熟练掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据给出的定义进行求解即可； （2）根据根与系数的关系求出的解，根据求根公式证明两根的关系即可； （3）对方程式进行整理，根据整体思想和“友好方程”的两根的数量关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：的“友好方程”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴， 则， ∴； ，与互为倒数， 故答案为：，互为倒数； 【小问3详解】 解： 根据“友好方程”的两根的数量关系得出的根为 ， ∴的两个根为， 整理得， 故答案为：． 16. 已知在四边形中，，是对角线上一点，且． （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定． （1）根据已知可得，根据平行线的性质可得，即可得证； （2）根据线段中点的性质可得，根据相似三角形的性质可得，代入数据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的中点， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得; 17. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，即， 解得：， ②当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 18. 如图，为锐角三角形，平分 （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点E，F，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，点E，F即为所求作； （2） 证明：由（1）知，， ∴四边形为平行四边形． 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，作图-基本作图，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）由（1）知，，得到四边形为平行四边形．根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，根据菱形的判定定理得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． （3）根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）30元 （3）能；10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 则， 即下调后每份套餐的售价是30元； 【小问3详解】 解：设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得， 则该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 20. 定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 【答案】（1）①是；②；③， （2） ①证明：∵，， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与有公共顶点， ∴和互为“旋转相似图形”； （3）， 【解析】 【分析】（1）①先证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得出结果；②由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果；③由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质计算得出，连接，， 由相似三角形的性质可得，，从而得出，，即可推出，再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）①由对顶角相等可得，再结合题意即可得证；②由，得出，从而可得，再证明，得出，最后再证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得证； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，，结合题意可得，由“旋转相似图形”的定义可得，由相似三角形的性质可得，，，则，求出，作于点，则为等腰直角三角形，求出，证明垂直平分，由勾股定理可得，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵与有公共顶点， ∴是的“旋转相似图形”； ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∴； ③∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 连接，，如图： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团石厦中学2026-2027学年度 九年级上学期第一次阶段练习 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，请把选择题答案涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知（），则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 6. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分，请把答案写在答题卷上） 9. 已知 则 的值为______． 10. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 12. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点分别落在坐标轴上，且，则的坐标为_______． 13. 如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____． 三、解答题（共7大题，共61分，14题12分，15题6分，16题6分，17题6分，18题8分，19题11分，20题12分） 14. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：_____． （2）已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 16. 已知在四边形中，，是对角线上一点，且． （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的长． 17. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 18. 如图，为锐角三角形，平分 （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点E，F，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 19. 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． （3）根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 20. 定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $