广东深圳市红岭教育集团石厦中学2026-2027学年度九年级上学期第一次阶段练习数学试卷（10月）

红岭教育集团石厦中学2026-2027学年度 九年级上学期第一次阶段练习 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，请把选择题答案涂在答题卡上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 如图是一架梯子及其侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知（），则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 6. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分，请把答案写在答题卷上） 9. 已知 则 的值为______． 10. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为_________． 12. 将如图所示正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点分别落在坐标轴上，且，则的坐标为_______． 13. 如图，在等腰中，，点在的延长线上，，点在边上，，则的值是_____． 三、解答题（共7大题，共61分，14题12分，15题6分，16题6分，17题6分，18题8分，19题11分，20题12分） 14. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：_____． （2）已知一元二次方程的两根为，，则它的“友好方程”的两根为，_____；根据以上结论，猜想的两根，与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_____，证明你的结论． （3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，写出关手的方程的两根为_____． 16. 已知在四边形中，，是对角线上一点，且． （1）求证：； （2）若是的中点，，，求的长． 17. 如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． （1）用含的代数式表示： ， ； （2）连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 18. 如图，为锐角三角形，平分 （1）请用无刻度的直尺和圆规分别在，上取点E，F，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 19. 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 （1）求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． （2）根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． （3）根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 20. 定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． （1）知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； （2）知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； （3）拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 红岭教育集团石厦中学2026-2027学年度 九年级上学期第一次阶段练习 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分，请把选择题答案涂在答题卡上） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分，请把答案写在答题卷上） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 三、解答题（共7大题，共61分，14题12分，15题6分，16题6分，17题6分，18题8分，19题11分，20题12分） 【14题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4） 【15题答案】 【答案】（1） （2），互为倒数， 证明如下： 当时，根据求根公式得， ，； ，； ， ； ∴原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数； （3） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）或 【18题答案】 【答案】（1） 如图，点E，F即为所求作； （2） 证明：由（1）知，， ∴四边形为平行四边形． 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴平行四边形为菱形． 【19题答案】 【答案】（1） （2）30元 （3）能；10元 【20题答案】 【答案】（1）①是；②；③， （2） ①证明：∵，， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与有公共顶点， ∴和互为“旋转相似图形”； （3）， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $