精品解析：广东东莞市南城阳光实验中学2026—2027学年第一学期摸底考试九年级数学试卷

2026-2027学年第一学期摸底考试初三年级 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试100分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 3、、1 B. 3、1、 C. 3、、 D. 3、4、1 3. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 设，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 7. 若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，随增大而增大 C. 对称轴是轴 D. 有最大值0 9. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，运算结果是4？ A. 1 B. 4 C. D. 或4 10. 如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．若设小圆形场地的半径为，那么列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 写一个开口向下的抛物线解析式______． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 14. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为________． 15. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是___________． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： （1）佳佳解方程的方法是___________． A．直接开平方法 B．配方法 （2）佳佳从第___________步开始出错； （3）请写出正确的解答过程． 18. 为了增强学生的劳动意识，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花圃．为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断．如图，篱笆要全部用完且靠墙的一边不需要围篱笆．若围成的矩形花圃面积为，求的长． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 已知方程的两根为，求下列式子的值． （1）； （2）． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 五、解答题（三）（本题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．     （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 23. 小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中的材料：一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为、．反过来，如果一元二次方程的两个根为、，那么，即．由此可得．因此． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 （1）已知一元三次方程的三个根为， 计算可得： ①三个根的和； ②每两个根的乘积之和； ③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，则___________，___________，___________．（用含的代数式表示） （2）【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； （3）【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根按从小到大排列依次为，且，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期摸底考试初三年级 数学试卷 说明：本试卷共120分，本次考试100分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 3、、1 B. 3、1、 C. 3、、 D. 3、4、1 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据方程的一般形式，确定二次项系数，一次项系数以及常数项即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、、1． 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 4. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 5. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】求出△的值，再判断即可． 【详解】解：x2-2x+3=0， △=（-2）2-4×1×3＜0， 所以方程没有实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 6. 设，是一元二次方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 7. 若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 当时，随增大而增大 C. 对称轴是轴 D. 有最大值0 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 二次函数解析式为， ∴二次项系数 ，顶点坐标为，对称轴为轴， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，当时，有最大值， ∵ 开口向下，对称轴为轴， ∴ 当时，随的增大而减小，故选项A，C，D正确，B错误． 9. 根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，运算结果是4？ A. 1 B. 4 C. D. 或4 【答案】D 【解析】 【详解】解：设这个数为， 由题意得， 移项得， 因式分解得， 解得，． 10. 如图，把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍．若设小圆形场地的半径为，那么列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，关键是利用圆的面积公式得出方程即可求解． 先设小圆的半径为,则大圆的半径为；接下来根据面积关系可得． 【详解】解：设小圆的半径为,则大圆的半径为,根据题意可得 ， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 写一个开口向下的抛物线解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，写出即可． 【详解】抛物线的开口向下． 故答案为：（答案不唯一，只要二次项系数为负数即可）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一． 12. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即得到关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 14. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有个站点，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】每个站点可到达其余个不同站点，往返车票不同，直接计算总车票数即可列出方程． 【详解】解：∵每个站点不能发售到自身的车票， ∴每个站点有种不同的出发车票；往返车票不同，不需要去重， ∴总车票数为； ∵总共有56种往返车票， ∴列方程得． 15. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质，由开口方向确定a的正负，由开口大小确定的大小，进而比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上 ∴ ∵二次函数和的图象开口向下 ∴， ∵二次函数的图象的开口大于的图象的开口 ∴ ∴ ∴． 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题8分，共24分．） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 解得 17. 阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： （1）佳佳解方程的方法是___________． A．直接开平方法 B．配方法 （2）佳佳从第___________步开始出错； （3）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）B （2）② （3）解：， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据佳佳的解法直接分析即可； （2）由等式的性质可知，等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立，而佳佳只给等式左边，计算错误； （3）利用配方法写出正确解法过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 为了增强学生的劳动意识，老师在研学基地组织学生用一段长为的篱笆来围成一个一边靠墙（墙长）的矩形花圃．为了种植不同花卉，花圃中间用篱笆隔断．如图，篱笆要全部用完且靠墙的一边不需要围篱笆．若围成的矩形花圃面积为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为．根据围成的矩形花圃面积为列方程并解方程，求出的长的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：设的长为． 解得， 由题意可得，， 解得， ∴不合题意，舍去， ∴符合题意； 答：的长为． 四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 已知方程的两根为，求下列式子的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，将所求代数式变形为含两根和、两根积的形式后代入计算； （2）根据代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵方程的两根为， ∴由根与系数的关系得， ， ∴； 【小问2详解】 解：， 代入，得 ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有实数根； （2）若方程的其中一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵ 不论为何值，，即， ∴ 不论为何值，该方程总有实数根． （2）的值为，方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方为完全平方式，利用平方的非负性证明判别式恒非负． （2）将已知根代入方程求出，再利用根与系数的关系计算另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得 ， 解得． 设方程的另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 将代入，得． 综上所述，的值为，方程的另一个根为． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 五、解答题（三）（本题共2小题，每小题12分，共24分．） 22. 综合与实践 主题：如何利用闲置硬纸板制作收纳盒，收纳玩具． 素材：闲置的长方形（一张长为，宽为的硬纸板）． 目标： （1）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．     （2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒． 【答案】（1）剪去的小正方形的边长为 （2） 解：设小长方形的宽为，长为，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为． 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为． ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是利用等量关系建立相应的方程进行求解； （1）设剪去的小正方形的边长x，根据底面的面积建立等式进行求解； （2）设小长方形的宽为，长，根据等量关系列出二元一次方程组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ，整理得：， 解得：（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长为． 【小问2详解】 略 23. 小明同学在学习一元二次方程根与系数之间的关系时阅读到课本中的材料：一元二次方程根与系数的关系，还可以用如下方法得出： 如果一元二次方程的左边可以分解因式为，那么方程的两个根为、．反过来，如果一元二次方程的两个根为、，那么，即．由此可得．因此． 小明同学尝试类比一元二次方程来探究一元三次方程的根与系数的关系；以下是探究过程： 【初步感知】 （1）已知一元三次方程的三个根为， 计算可得： ①三个根的和； ②每两个根的乘积之和； ③三个根的积． 观察计算结果，思考与原方程系数1，，19，之间的关系并完成下面的填空： 一般地，若一元三次方程的三个根为，则___________，___________，___________．（用含的代数式表示） （2）【推理证明】请你类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，证明（1）中的结论； （3）【灵活运用】若已知关于x的一元三次方程的三个实根按从小到大排列依次为，且，求实数的最大值． 【答案】（1）；；； （2）证明：如果一元三次方程的三个根为， 那么， 即， 由此可得，，， 因此，，； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据一元三次方程的三个根的计算结果分析即可； （2）类比一元二次方程根与系数的关系的证明过程，将展开，进而得到，，，即可得证； （3）根据上述结论得到，，进而得出，，设，则，即可得解． 【小问1详解】 解：在一元三次方程中，，，，， 三个根的和， 三个根的和为； 每两个根的乘积之和， 每两个根的乘积之和为 三个根的积． 三个根的积为， 一般地，若一元三次方程的三个根为，则，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：关于x的一元三次方程的三个实根为， ，， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， 当 时，实数有最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $