精品解析：天津市第七中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026—2027学年第一学期初三数学10月质量调查试卷 满分：120分时间：100分钟 一、单选题（每题3分，36分） 1. 一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 5， D. 5，2 2. 下列方程：①； ②； ③；④； ⑤中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 以上都不对 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 5. 二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，18分） 13. 关于的一元二次方程有一个根是，则_____________． 14. 已知抛物线的顶点坐标为，且形状与函数的图象相同，开口向下，则该抛物线对应的函数解析式为___________ 15. 九年（6）班“科海想学”学习小组的每个同学都与全组其余同学交换小礼物一件，全组同学交换的小礼物共计90件，这个小组共有_______________个同学． 16. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 17. 若方程的两个根分别为，，则值为________． 18. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论： 水面宽度； 拱桥的最大高度是； 若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条； 其中，正确结论是______．（填序号） 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 20. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 21. 已知抛物线 经过点，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 22. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围________； （2）此二次函数的解析式是________________； （3）当时，的最大值是________； （4）当时，的取值范围是________； 23. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 24. 春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元． （1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示） （2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值． （3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？ 25. 已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． （1）若顶点，求点与点的坐标； （2）当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； （3）点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期初三数学10月质量调查试卷 满分：120分时间：100分钟 一、单选题（每题3分，36分） 1. 一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 5， D. 5，2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的各项系数．熟练掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c为常数，且）是解题的关键． 根据方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可． 【详解】解：方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是5，2，． 故选：A． 2. 下列方程：①； ②； ③；④； ⑤中，一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐个判断即可． 【详解】解：①是一元二次方程； ②当时，是一元二次方程； ③由得，不是一元二次方程； ④是一元二次方程； ⑤不是整式方程，故不是一元二次方程， 故①④是一元二次方程，共2个， 故选：B． 3. 关于x的方程是一元二次方程，那么m的值为（ ） A. B. C. 3 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，得到关于m的方程，求解即可． 【详解】解：因为方程0是一元二次方程， 所以 ， 解得． 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；根据题意可得，且，计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：且， 故选：A． 5. 二次函数的图象如图所示，一元二次方程的根的判别式为，则下列判断正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴位置判断的符号，根据与轴交点位置判断的符号，根据与轴交点个数判断的符号． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，   对称轴在  轴右侧，   ，    抛物线与轴交点在轴下方，  抛物线与轴有两个不同的交点， 一元二次方程  有两个不相等的实数根， 综上所述，，，． 6. 我国“嫦娥一号”探月卫星成功发射后，某航天科普网站的浏览量猛增.已知某年10月份该网站的浏览量为80万人次，第四季度总浏览量为350万人次.如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 7. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 9. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为， 故选：D． 10. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据二次函数及一次函数的图象及性质可得， 当a＜0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴负半轴， 一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时， 二次函数图象开口向上，顶点在y轴正半轴， 一次函数经过一、二、三象限． 符合条件的只有选项C， 故选：C． 11. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 该函数图象过点 B. 该函数图象的对称轴是直线 C. 该函数图象与x轴有两个交点，且两交点间的距离为4 D. 该函数图象可以看作是将向下平移3个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将代入，得，令，解得，，可知该函数图象过点，，；该函数图象的对称轴是直线；该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为；根据，可知该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位． 【详解】解：将代入， 得， 该函数图象过点． 令， 解得，， 该函数图象过点，． 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象的对称轴是直线， 故选项不正确，不符合题意； 该函数图象过点，， 该函数图象与轴有两个交点，且两交点间的距离为， 故选项正确，符合题意； ， 该函数图象可以看作是将向右平移1个单位，向下平移4个单位， 故选项不正确，不符合题意． 故选：C． 12. 矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点运动；动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积随的增大而减小； ③在点，运动的过程中，的最大面积为； ④有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分段讨论点的位置，分别计算的长度和的面积表达式，进而判断各个结论的正确性． 【详解】解：由题意可知，点到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， 运动时间的取值范围是． 当时，点运动的路程为，即， 点在上； 点运动的路程为， ∵， ∴点在上，且， ∴，故①正确； ②当时，点在上，点在上， 此时，， ∴， 的高为， ∴， 当时，，随的增大而减小； 当时，，随的增大而增大，故②错误； ③当时，点在上，，点在上，， 此时以为底，为高， ∴，， ∴当时，取得最大值； 当时，由②知， 当时，；当时，；当时，， ∴此阶段的最大值为， 综上，的最大面积为，故③正确； ④当时，令，解得（负值舍去），符合题意； 当时，令，解得， ∴或， 解得或，均符合题意， ∴共有个不同的值满足条件，故④错误． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 二、填空题（每题3分，18分） 13. 关于的一元二次方程有一个根是，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解能使得方程两边相等是解题的关键．把代入方程解之即可得到的值． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得：； 故答案为：． 14. 已知抛物线的顶点坐标为，且形状与函数的图象相同，开口向下，则该抛物线对应的函数解析式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线解析式的几种表达形式并会灵活应用是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标设解析式，再根据图象相同，得到值相同，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为, ∵所求抛物线与的图象相同，开口向下， ∴， ∴ 所求抛物线的解析式为． 故答案为：． 15. 九年（6）班“科海想学”学习小组的每个同学都与全组其余同学交换小礼物一件，全组同学交换的小礼物共计90件，这个小组共有_______________个同学． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设小组有n个同学，每个同学与其他个同学交换礼物，总礼物件数为，令其等于90，解二次方程求n． 【详解】解：设这个小组有n个同学，每个同学与其他个同学交换礼物，因此总礼物件数为． 根据题意，，即， 解得或（舍去）． 故答案为：10． 16. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有两个实数根得到判别式非负，再利用根与系数的关系表示和，代入已知等式求解，最后根据判别式舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 17. 若方程的两个根分别为，，则值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义，再结合根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，整理得 ； ∵， 将代入， 则原式． 18. 赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少，有下列结论： 水面宽度； 拱桥的最大高度是； 若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条； 其中，正确结论是______．（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】令求出的值判断；将解析式配方成顶点式判断；令求出的值计算安全宽度，结合赛道宽度判断． 【详解】解：令，则， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故正确； ∵龙舟最高处距离水面，安全距离至少， ∴龙舟通过时桥拱高度至少为， 令，则， 整理得， 解得，， ∴安全通行的水平宽度为， ∵每条赛道宽度为， ∴最多可设计赛道，取整数为条，故结论错误； 综上所述，正确结论是． 三、解答题 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1），； （2）无实数根； （3），； （4），； （5），； （6），． 【解析】 【分析】提取公因式因式分解直接求解； 通过计算判别式判断根的情况； 移项后提取公因式因式分解求解； 整理为标准一元二次方程后用公式法求解； 展开整理为标准形式后因式分解求解； 十字相乘法因式分解求解． 【小问1详解】 解： ， 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴原方程无实数根； 【小问3详解】 解： 或， ∴，； 【小问4详解】 解： ∵ ∴， ∴，； 【小问5详解】 解： 或 ∴，； 【小问6详解】 解： 或， ∴，． 20. 已知关于的方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长， 且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∴ ． ∵， ∴，即， ∴该方程总有两个实数根． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）由根的判别式得，即可得证； （2）由勾股定理得，由根与系数关系得，，即可求解． 【小问1详解】 证明略． 【小问2详解】 解：，是一个矩形两邻边的长， ， ， 由根与系数关系得，， ，， 解得，（舍去），， 故的值为． 21. 已知抛物线 经过点，解答下列问题： （1）求此抛物线的解析式； （2）填空： ①此抛物线的开口 ；顶点坐标是 ；对称轴是 ； ②当x 时，y 随 x 的增大而减小； ③ 当x 时，函数有最 值为 ； 【答案】（1）此抛物线的解析式为 （2）①向上；；；②；③，小， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图像和性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图像和性质即可得出． 【小问1详解】 解：把代入解析式得： ， 解得， ∴此抛物线的解析式为： ； 【小问2详解】 ①∵， ∴所以此抛物线开口向上； ∵顶点为，对称轴为， ∴此抛物线顶点坐标是；对称轴是； ②∵此抛物线开口向上，对称轴是， ∴当时，y 随 x 的增大而减小； ③∵，顶点坐标是， ∴当 时，函数有最小值为； 故答案为：①向上；；；②；③，小，． 22. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，解答下列问题： （1）当时，的取值范围________； （2）此二次函数的解析式是________________； （3）当时，的最大值是________； （4）当时，的取值范围是________； 【答案】（1）或 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性求出另一个与轴的交点坐标，根据图象确定答案； （2）利用对称轴公式求出的值，再将点代入求出的值，即可求出二次函数的表达式； （3）先判定与对称轴的位置关系，利用二次函数的增减性求解； （4）先判定与对称轴的位置关系，利用二次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数关于直线对称， ∴设二次函数与轴相交的另一个交点的横坐标为， 则， 解得， 即二次函数与轴相交的另一个交点坐标为， 由图象可知当或时，． 【小问2详解】 解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴，解得， ∴， 将点代入中，得， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：由题可知，二次函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴是直线，， ∴在时，随的增大而减小， ∴二次函数在处取得最大值． 【小问4详解】 解：当时，在对称轴直线的两侧，且二次函数开口向下， ∴在处取得最大值， ， ∵二次函数开口向下，离对称轴越远，的值越小，且， ∴二次函数在处取得最小值， ∴当时，． 23. 如图，要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米． （1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽； （2）想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长为米，宽为米 （2） 解：不能实现，理由如下， 设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 方程整理得： ∵ ∴原方程无解， ∴想要建一个的矩形养鸡场，这一想法不能实现 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意找到等量关系列出方程； （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，解方程并取符合题意的解； （2）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，列出方程，得出方程无解，进而得出结论，即可求解． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 根据题意得， 解得：或 ∵ ∴ ∴， ∴（米） 答：鸡场的长为米，宽为米 【小问2详解】 略 24. 春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元． （1）每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示） （2）若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值． （3）当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2） （3）当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式： （1）用50减去降价的钱数即可求出现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件即可求出可售出棉衣的数量； （2）根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出方程求解即可； （3）设所获利润为W，根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利元，可售出棉衣件， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要尽快清仓， ∴； 【小问3详解】 解：设所获利润为W， 由题意得， ， ∵， ∴当时，W有最大值， ∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元． 25. 已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． （1）若顶点，求点与点的坐标； （2）当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； （3）点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为； （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点坐标公式列出关于、的方程组，求解得到抛物线解析式．再令，通过解一元二次方程求出与轴交点、的坐标． （2）先根据点横坐标和抛物线与轴交点的坐标，结合抛物线对称轴公式得到点坐标，进而求出中点的坐标．由直线解析式和平行关系得到直线解析式，求出点坐标．利用得到与面积相等，根据面积公式列出关于的方程求解． （3）根据点横坐标得到抛物线解析式和对称轴，由得出．作辅助线轴，用含和点横坐标的式子表示出和，进而得到关于的表达式，根据二次函数性质，由最大值列出关于的方程求解． 【小问1详解】 解：∵顶点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为，令， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线 ∴点的坐标为， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点的坐标为， 由直线的解析式为，可得直线的解析式为， 进而得点的坐标为， ∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵点的横坐标为， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴对称轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 过点作轴交直线于点，设点的坐标为， 则点的坐标为， 则，， ， ∴当时，由的最大值为，解得，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括顶点坐标公式、对称轴公式，以及二次函数与一元二次方程的关系（求与轴交点）．还涉及到一次函数解析式的求解（根据平行关系等）、三角形面积公式的应用，以及利用二次函数性质求最值．解题的关键在于熟练运用这些公式和性质，通过建立方程求解未知参数的值；在几何问题中，要善于利用图形的性质（如等腰直角三角形的角度关系）进行线段和面积的转化与计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $