精品解析：吉林长春市榆树市慧望初级中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

数学 本试卷包括三道大题，共24道小题．共8页． 全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，0，，中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.414 【答案】C 【解析】 【详解】解：是分数，0是整数，是有限小数，均为有理数． 开方开不尽，是无理数． 2. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：9的算术平方根是3， 故选C． 考点：算术平方根． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方法则，逐一判断选项即可. 【详解】解：对选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A错误； 对选项B：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故B正确， 对选项C：∵积的乘方，需将积中每个因式分别乘方，再将结果相乘， ∴，故C错误， 对选项D：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D错误. 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C、，把一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】题目主要考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义及用完全平方公式因式分解是解题关键． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．只有两直线平行时同位角才相等，是假命题． B．相等的角不一定是对顶角，是假命题． C．若，则或，是假命题． D．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，是真命题． 6. 对于命题“若，则”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．当时，满足，且，即，不满足，可作为反例． B．当时，满足，但，即，不可作为反例． C．当时，满足，但，即，不可作为反例． D．当时，满足，但，即，不可作为反例． 7. 若实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两个非负数的和为0的条件列方程组，求解，后代入计算的值． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， ∴． 8. 如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可得平分，因此，从而证明，得到，再将的周长转化为即可解答． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的小数部分是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定的取值范围，得到其整数部分，用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴的整数部分是， ∴的小数部分为． 10. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂乘法的逆运算，将变形为，代入已知数值计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得， ∵，， ∴代入计算得． 11. 若，，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ． 12. 比较大小：_____3.5（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】对两个正数分别平方，通过比较平方结果的大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：对两个正数同时平方得，， ∵， ∴． 13. 若去括号后不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】展开多项式后，不含的一次项说明一次项的系数为，据此列方程即可求出的值． 【详解】解：先展开多项式：， ∵ 展开后不含的一次项， ∴ 一次项的系数等于，即， 解得 ． 14. 如图，已知，，，点、、、共线．则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（只填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用证明 ，根据全等三角形的性质可得对应边相等、对应角相等，结合三角形内角和定理及对顶角性质推导角度关系，逐项判定即可求解． 【详解】解： 在与中 结论①正确 结论②正确 设与交于点 ， 即 结论④正确 无条件能证明，故结论③错误 综上所述，正确的结论有①②④ 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 先计算乘方、算术平方根，再去绝对值符号，最后合并计算； （2） 先计算开方，再去绝对值符号，最后合并计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】 证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 18. 利用因式分解进行简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将和改写为与相关的式子，利用平方差公式简便计算； （2） 将原式整理为完全平方公式的形式，因式分解后简便计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，书画店为一幅正方形福字书法作品装裱，装裱后形成一个长方形画框．已知装裱后的画框长为米、宽为米，中间待装裱的正方形福字书法作品边长为米． （1）求用于装裱的边框S（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是多少？（用含a、b的代数式表示）； （2）当米，米时，求S（米2）的值． 【答案】（1）平方米 （2）0.79平方米 【解析】 【分析】（1）根据装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积等于长方形的面积减去正方形的面积进行计算，即可作答； （2）把米，米代入（1）的结果计算即可． 【小问1详解】 解：依题意， 平方米， ∴用于装裱的边框（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是平方米； 【小问2详解】 解：当米，米时， 平方米． 20. 仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， 解得． 另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． （2）已知多项式中含有一个因式，试求a，b的值． 【答案】（1）另一个因式为，的值为． （2），． 【解析】 【分析】（1）设另一个一次因式为，利用多项式恒等时，对应项系数相等列方程组求解即可； （2）设另一个一次因式为，根据多项式展开后对应项系数相等列方程求解参数即可． 【小问1详解】 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得． 另一个因式为，k的值为． 【小问2详解】 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得． ，． 21. 定义新运算：． 例如：，． （1）①计算______； ②计算______； ③当时，请猜想与是否相等？______（填“相等”或“不相等”） （2）已知，，说明：的值与m无关． 【答案】（1）①27；②54；③不相等． （2）证明：∵，， ∴，整理得：， ∴ ∴的值与m无关． 【解析】 【分析】（1）①②根据定义的新运算列式计算即可；③分别利用新定义求得、，然后再运用作差法比较即可； （2）根据定义的新运算列式整理可得，将写成，然后整体代入化简即可说明． 【小问1详解】 解：①； ②； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 22. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用该思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）【方法探究】图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图①：________；图②：________；图③：________． （2）【综合运用】用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：________； （3）【类比迁移】若，求的值． 【答案】（1）；； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）分别根据两种不同拼图计算面积即可得出答案； （2）分别根据两种不同拼图计算面积即可得出答案； （3）设，，则，，再根据图①等式计算即可． 【小问1详解】 解：图中①阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：， 即； 图中②阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：， 即； 图中③阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：， 即； 【小问2详解】 解：图中④阴影部分的面积： 方法一：， 方法二：； ∴可验证的等式是：； 【小问3详解】 解：设，，则，， 由（1）①知， ∴， 解得： ∴． 23. 在中，，，直线经过点C，，，垂足分别为D，E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______． 【答案】（1） 证明：①， 、 在和中， ； ②由①可知， 、 ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①根据垂线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的判定方法证明即可； ②由①可知，根据全等三角形的性质证得和，从而得出结论； （2）与（1）证法类似，通过垂线的性质，结合余角的性质可证得，进而证得 ，根据全等三角形的性质证得和，从而得出结论； （3）证明方法同（2），通过垂线的性质，结合余角的性质可证得，进而证得 ，根据全等三角形的性质证得和，从而得出结论． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：，理由如下： 、 在和中， ； 、 ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 、 在和中， ； 、 ． 24. 如图，与相交于点C，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒6个单位的速度匀速运动，返回到终点A停止；同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒2个单位的速度匀速运动到终点E停止，设点Q的运动时间为． （1）求证：； （2）用含t的代数式表示线段，并写出对应的t取值范围； （3）当点P返回到点A时，直接写出此时的长为______； （4）连接，当点C在线段上时，直接写出t值为______． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）当时，；当时， （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，，再证明即可得证； （2）由题意得，点从到的时间为秒，从返回的时间也为秒，分两段分别列出代数式即可； （3）当点P返回到点A时，，结合点的速度计算即可得出结果； （4）先证明，得出，再分两种情况，分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由题意得，点从到的时间为（秒），从返回的时间也为秒， 当时，点从向运动，， 当时，点从向返回，； 综上所述，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：当点P返回到点A时，， ∴； 【小问4详解】 解：如图， 当点在线段上， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，t值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试卷包括三道大题，共24道小题．共8页． 全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在实数，0，，中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 1.414 2. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 若，则 D. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 6. 对于命题“若，则”，作为反例能说明该命题是假命题的a值是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数，满足，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，在中，，，，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，交于点D，点E在边上，，连接，则的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 的小数部分是______． 10. 若，，则______． 11. 若，，则代数式的值是______． 12. 比较大小：_____3.5（填“”或“”或“”）． 13. 若去括号后不含x的一次项，则m的值为______． 14. 如图，已知，，，点、、、共线．则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（只填写序号） 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 18. 利用因式分解进行简便运算： （1）； （2）． 19. 如图，书画店为一幅正方形福字书法作品装裱，装裱后形成一个长方形画框．已知装裱后的画框长为米、宽为米，中间待装裱的正方形福字书法作品边长为米． （1）求用于装裱的边框S（即长方形画框与正方形作品之间的区域）面积是多少？（用含a、b的代数式表示）； （2）当米，米时，求S（米2）的值． 20. 仔细阅读下面例题，回答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， 解得． 另一个因式为，m的值为． 仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． （2）已知多项式中含有一个因式，试求a，b的值． 21. 定义新运算：． 例如：，． （1）①计算______； ②计算______； ③当时，请猜想与是否相等？______（填“相等”或“不相等”） （2）已知，，说明：的值与m无关． 22. “数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用该思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）【方法探究】图①，②，③中阴影部分的面积可以分别用两种不同的方法表示，请分别用等式表示出来． 图①：________；图②：________；图③：________． （2）【综合运用】用4个长、宽分别为a，b的长方形拼成一个如图④所示的正方形，图中阴影部分的面积可以用不同的方法表示，写出能验证的等式：________； （3）【类比迁移】若，求的值． 23. 在中，，，直线经过点C，，，垂足分别为D，E． （1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； （2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______； （3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，请直接写出线段，，三者之间的关系：_______． 24. 如图，与相交于点C，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒6个单位的速度匀速运动，返回到终点A停止；同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒2个单位的速度匀速运动到终点E停止，设点Q的运动时间为． （1）求证：； （2）用含t的代数式表示线段，并写出对应的t取值范围； （3）当点P返回到点A时，直接写出此时的长为______； （4）连接，当点C在线段上时，直接写出t值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $