精品解析：吉林省长春市榆树市慧望初级中学2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第三次质量监测测试卷八年级数学 总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义计算即可得到结果． 【详解】解：， 的平方根是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方；需要根据运算法则逐一判断每个选项是否正确. 【详解】解：∵ 选项A：根据合并同类项，故A错误； ∵ 选项B：同底数幂相除，指数相减，即 ，故B错误； ∵ 选项C：幂的乘方，指数相乘，且负数的偶次幂为正，即 ，故C正确； ∵ 选项D：积的乘方，等于乘方的积，且负数的奇次幂为负，即 ，故D错误； 故选：C. 3. 估算面积为7的正方形边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了估算算术平方根的取值范围．首先求出正方形的边长，进而估算其边长的取值范围． 【详解】解：∵一个正方形的面积为7， ∴正方形的边长为：， ∵， 估计它的边长大小为：， 故选：B． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的三条边对应相等 D. 全等三角形的面积相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题、三角形的分类、对顶角、全等三角形的判定，正确写出逆命题是解题关键．先写出各命题的逆命题，再根据三角形的分类、对顶角、全等三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：有两个锐角的三角形是钝角三角形，是假命题；反例：直角三角形有两个锐角，则此项不符合题意； B、逆命题：相等的角是对顶角，是假命题，则此项不符合题意； C、逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等，是真命题，则此项符合题意； D、逆命题：面积相等的两个三角形全等，是假命题，则此项不符合题意； 故选：C． 5. 古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（ ）中可以很清晰地看出公式成立． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，对于A选项，用两种方法表示出中间阴影部分的面积即可判断；对于B选项，用两种方法表示出大正方形的面积即可判断；对于C选项，用两种方法表示出阴影部分的面积即可判断；对于D选项，用用两种方法表示出大正方形的面积即可判断． 【详解】解：A、中间阴影部分是边长为的正方形，则其面积为，中间阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； B、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项符合题意； C、阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，则其面积为，阴影部分面积等于两个梯形面积之和，则其面积为，则，故此选项不符合题意； D、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于一个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，连接作一条射线，交于点P，则是的平分线，其中的依据是（ ） A. B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定；根据判定三角形全等即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故选：A． 7. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 【答案】B 【解析】 【分析】对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】解：， 当时，，，， 他设置的密码可能是131415或131514或141315或141513或151314或151413，只有选项B符合． 8. 如图，在锐角中，，的面积为24，平分，若，分别是上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在线段上取一点，使，过作于，先由面积求出，再证，得到，，最后根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在线段上取一点，使，过作于， ∵，的面积为24， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当、都在线段上时，最小， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 若，则___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用是解题的关键；根据指数运算法则，同底数幂相乘，指数相加，将转化为 ，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为15． 10. 如果一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是_____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，利用正数的两个平方根互为相反数，建立方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴， ∴这个正数是； 故答案为：25． 11. 已知式子的结果中不含项，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，掌握知识点是解题的关键． 先将式子展开，再根据结果中不含项的条件，令项的系数为零求解即可． 【详解】解：， ， ∵式子的结果中不含项， ∴， 解得． 故答案为． 12. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，过两把直尺的交点作，，则有，然后通过角平分线的判定即可求解，掌握角平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴点在平分线上， ∴射线就是的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 13. 如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定与性质，根据画弧得到，，再根据等边对等角得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交线段于点； ∴， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在，中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论中：①；②；③；④．正确的是______（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，①由，利用等式的性质得到角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项不正确；②由，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①不正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴， 则，故③正确； ④∵， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数乘方，求算术平方根，求立方根，然后合并即可； （）根据多项式除以单项式运算法则即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用平方差公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键；先根据平方差公式及完全平方公式可进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 18. 若，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）25 （2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式应用，已知式子的值求代数式的值． （1）利用完全平方公式得，代入式子的值即可得到本题答案； （2）利用完全平方公式得，代入式子的值即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴． 19. 如图是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．将其正面抽象成数学图形如图所示，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点，液压杆． （1）求证： （2）若，则的度数为___________． 【答案】（1） 证明：∵等长的支架交于它们的中点， ∴，， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明，平行线的性质； （1）由等长的支架交于它们的中点，得到，，再根据对顶角相等得到，即可证明； （2）由平行线的性质得到即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵桌面与底座平行，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． （1）在图1中画出的中线，高； （2）在图2中，取格点，使； （3）已知，在图3中画出的角平分线． 【答案】（1） 如图，的中线，高即为所求： （2） 如图，点即为所求： （3） 如图，的角平分线即为所求： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）取格点F，G，连接交于D，线段即为所求；取格点H，连接交于E，线段即为所求； （2）取格点P，连接，，则，得到，点P即为所求； （3）取格点G，使，连接，取格点H、I，连接与交于点J，连接与交于点F，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 某数学兴趣小组开展了探究末位数字是5的两位数的平方的速算规律，他们通过计算发现下列规律： 于是该小组猜想：末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾接着写上25． （1）请你尝试计算___________； （2）下面，小组成员用所学的两数和的平方公式对上述猜想做出科学合理的解释． 证明：设一个两位数的个位数字是5，十位数字是（是任意正整数） 则这个两位数可以表示为___________（用含的代数式表示）； 【证明过程缺失】 请补全缺失的证明过程 （3）通过（2）中的证明，还可以说明对于个位数字是5的三位数、四位数等，这个速算规律同样适用．请应用得出的规律计算：___________． 【答案】（1）4225 （2）， 证明：设一个两位数的个位数字是5，十位数字是（是任意正整数） 则这个两位数可以表示为， ∴， ∴末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾接着写上25． （3）38025 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据题中所给速算方法进行求解即可； （2）根据完全平方公式可进行求解； （3）根据（2）中结论可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 故答案为4225； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可得：； 故答案为38025． 22. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． （2）【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． （3）【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 【答案】（1）相等 （2） 证明：， ． 点到点、的距离相等， ． ． , 即． ，， ． ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，本题的关键是掌握与三角形有关的性质． （1）证明是的角平分线，利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由和是等腰三角形，证明，从而证明，即可证明结论； （3）结合等边三角形和等腰直角三角形的性质即可求出结果． 【小问1详解】 解：相等，理由如下： ，点为的中点， 是的角平分线． ，， ． 故答案为：相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 是等边三角形， ． ，是等腰直角三角形， ． ,． ． 23. 【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图①）． （1）图①中的阴影部分的面积为___________（用含的代数式表示）；将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图②），那么这个长方形的面积为___________（用含的代数式表示）； （2）结合图①、图②，可以得出一个代数恒等式：___________； （3）根据（2）中的结论计算：； （4）【灵活应用】图③为2025年4月的日历，从中画出一组用5个数字组成的形图案（阴影部分），先观察这5个数之间的数量关系，再从特殊到一般，从图③中任意找一个形图案（如图④），若设这个形图案的中心数为，、、、所对应的数分别设为、、、，请求出的值． 【答案】（1）； （2） （3）800 （4）28 【解析】 【分析】此题考查的是列代数式，平方差公式与几何图形，平方差公式的应用，根据图形列出正确的代数式，并且归纳出结论是解此题的关键． （1）根据图①中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积列式即可；图②根据长方形面积公式列式即可； （2）根据阴影部分的面积不变即可求解； （3）根据（2）的结论计算即可求解； （4）设中心数为，则，，，，代入，根据（2）的结论计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：阴影部分的面积， 长方形的面积． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：∵图①中的阴影部分面积图②中的阴影部分面积， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：设中心数为， ∴，，，， ∴ ． 24. 在直角梯形中，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）直接写出与的数量关系___________； （2）当时，求的长； （3）试说明当点落在边上时，； （4）当点到边或的距离等于1时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 当点落在边上时， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）的面积为或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质； （1）由旋转的性质得到，； （2）由旋转得到是等腰直角三角形，则，当时，得到，则，即可得到； （3）当点落在边上时，先证明，结合，即可证明； （4）过作于，证明，得到，，再根据点到边或的距离等于1时分情况讨论，求出的长，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由旋转可得，， ∴， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当点到边的距离等于1时，过作于，则， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点到边的距离等于1，且在左边时，过作于，于，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点到边的距离等于1，且在右边时，过作于，于，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当点到边或的距离等于1时，的面积为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第三次质量监测测试卷八年级数学 总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 估算面积为7的正方形边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 钝角三角形中有两个锐角 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的三条边对应相等 D. 全等三角形的面积相等 5. 古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（ ）中可以很清晰地看出公式成立． A. B. C. D. 6. 如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，连接作一条射线，交于点P，则是的平分线，其中的依据是（ ） A. B. SAS C. ASA D. AAS 7. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 8. 如图，在锐角中，，的面积为24，平分，若，分别是上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 若，则___________． 10. 如果一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数是_____． 11. 已知式子的结果中不含项，则的值为___________． 12. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 13. 如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，则___________度． 14. 如图，在，中，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论中：①；②；③；④．正确的是______（填序号） 三、解答题 15. 计算： （1）； （2）． 16. 因式分解： （1） （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 若，，求下列各式的值： （1）； （2）． 19. 如图是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．将其正面抽象成数学图形如图所示，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点，液压杆． （1）求证： （2）若，则的度数为___________． 20. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点均为格点，用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． （1）在图1中画出的中线，高； （2）在图2中，取格点，使； （3）已知，在图3中画出的角平分线． 21. 某数学兴趣小组开展了探究末位数字是5的两位数的平方的速算规律，他们通过计算发现下列规律： 于是该小组猜想：末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾接着写上25． （1）请你尝试计算___________； （2）下面，小组成员用所学的两数和的平方公式对上述猜想做出科学合理的解释． 证明：设一个两位数的个位数字是5，十位数字是（是任意正整数） 则这个两位数可以表示为___________（用含的代数式表示）； 【证明过程缺失】 请补全缺失的证明过程 （3）通过（2）中的证明，还可以说明对于个位数字是5的三位数、四位数等，这个速算规律同样适用．请应用得出的规律计算：___________． 22. 在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）【操作判断】如图1，在中，，点为的中点，于点，于点．在折叠等腰三角形纸片的过程中，则，的数量关系是_____． （2）【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点为中点”改为“点为三角形内部一点，满足点到等腰三角形的两端点、的距离相等”，都能得到点到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰中，，于点，于点，点为三角形内部一点．求证：． （3）【拓展应用】已知是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当，是等腰直角三角形时，若点在外部，请求出的度数． 23. 【观察发现】在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形（图①）． （1）图①中的阴影部分的面积为___________（用含的代数式表示）；将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形（图②），那么这个长方形的面积为___________（用含的代数式表示）； （2）结合图①、图②，可以得出一个代数恒等式：___________； （3）根据（2）中的结论计算：； （4）【灵活应用】图③为2025年4月的日历，从中画出一组用5个数字组成的形图案（阴影部分），先观察这5个数之间的数量关系，再从特殊到一般，从图③中任意找一个形图案（如图④），若设这个形图案的中心数为，、、、所对应的数分别设为、、、，请求出的值． 24. 在直角梯形中，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）直接写出与的数量关系___________； （2）当时，求的长； （3）试说明当点落在边上时，； （4）当点到边或的距离等于1时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $