4.3.1 等比数列的概念(第1课时) 课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学等比数列概念第1课时同步练，分层设计梯度清晰，从基础计算到综合应用，覆盖定义、性质及跨知识结合，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等比数列定义、基本量计算|直接考查a₁,q,n关系，如选择2求n值| |中档|性质应用与简单综合|结合等比中项、三角形三边范围，如选择5多选题| |提升|综合证明与跨知识结合|关联二次方程根与系数关系，如解答16证明等比数列|

课时作业33 等比数列的概念(第1课时) 一、选择题 1．.在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　) A.16 B.27 C.36 D.81 2．在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则＝(　　) A.1 B. C. D. 4．在等比数列{an}中，a2 021＝－8a2 018，则公比q等于(　　) A．2 B．－2 C．±2 D． 5．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是(　　) A. B. C. D. 6．已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝(　　) A．±3 B．3 C．±5 D．5 7．(多选题)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是(　　) A．{|an|} B．{an－an＋1} C． D．{kan} 8．设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝(　　) A．2n＋1 B．2n＋1－1 C．3×2n－3 D．3×2n－1 二、填空题 9.在等比数列{an}中，若a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是________． 10.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________. 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________. 12.已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________. 13.已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________． 三、解答题 14.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7. 15.已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式． 16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式. 课时作业33 等比数列的概念(第1课时) （答案） 一、选择题 1．.在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　) A.16 B.27 C.36 D.81 解析：由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9. ∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27. 故选：B 2．在等比数列{an}中，已知a1＝2，an＝16，q＝2，则n为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：根据an＝a1qn－1，得16＝2×2n－1，解得n＝4. 故选：C. 3．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0(an≠0)，则＝(　　) A.1 B. C. D. 解析:由an＋1－2an＝0知an＋1＝2an，故{an}是等比数列，且q＝2，则＝＝＝. 故选：D 4．在等比数列{an}中，a2 021＝－8a2 018，则公比q等于(　　) A．2 B．－2 C．±2 D． 解析：∵＝q3＝－8，∴q＝－2. 故选：B. 5．(多选题)已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q可能的一个值是(　　) A. B. C. D. 解析:由题意可设三角形的三边分别为，a，aq(aq≠0).因为三角形的两边之和大于第三边，所以①当q>1时，＋a>aq，即q2－q－1<0，解得1<q<；②当0<q<1时，a＋aq>，即q2＋q－1>0，解得<q<1. 综上，q的取值范围是∪，则可能的值是与. 故选：BC 6．已知在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝9，则a3＝(　　) A．±3 B．3 C．±5 D．5 解析：设等比数列{an}的公比为q， ∵a＝a1·a5＝9，∴a3＝±3. ∵a3＝a1·q2>0，∴a3＝3. 故选：B. 7．(多选题)已知数列{an}是等比数列，给出以下数列，其中一定是等比数列的是(　　) A．{|an|} B．{an－an＋1} C． D．{kan} 解析：设等比数列{an}的公比为q， ∵＝|q|，∴{|an|}是等比数列； 当{an}为常数列时，an－an＋1＝0，∴{an－an＋1}不是等比数列； ∵＝＝， ∴是等比数列； 当k＝0时，kan＝0，∴{kan}不是等比数列． 故只有AC一定是等比数列． 故选：AC. 8．设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－3，则Sn＝(　　) A．2n＋1 B．2n＋1－1 C．3×2n－3 D．3×2n－1 解析：∵Sn＝2an－3，∴a1＝2a1－3，∴a1＝3. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－3－(2an－1－3)＝2an－2an－1. ∴an＝2an－1，即＝2. ∴{an}是等比数列，首项为3，公比为2. ∴an＝3×2n－1.∴Sn＝3×2n－3. 故选：C 二、填空题 9.在等比数列{an}中，若a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是________． 解析：因为a6是a4与a8的等比中项，a6＝a1q6－1＝4，所以a4与a8的等比中项是±4. 答案：±4. 10.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________. 解析：由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63. 答案：2n＋2　63 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则an＝________. 解析：∵Sn＝2an＋1， ∴a1＝2a2，∴a2＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， ∴3an＝2an＋1，即＝. ∵＝≠，∴an＝ 答案： 12.已知等比数列{an}，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为q， ∵a3＝3，a10＝384，∴q7＝＝128. ∴q＝2，∴an＝a3·qn－3＝3×2n－3. 答案：3×2n－3　 13.已知数列{an}是首项a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公比q等于________． 解析：∵4a1，a5，－2a3成等差数列， ∴2a5＝4a1－2a3，即a5＝2a1－a3， ∴4q4＝8－4q2.∴q4＋q2－2＝0. ∴q2＝1或q2＝－2(舍)． ∴q＝±1. 答案：±1. 三、解答题 14.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，求a7. 解：设等比数列{an}的公比为q， ∵＝＝q＝2， ∴a1＋2a1＝3a1＝3，∴a1＝1. ∴a7＝a1q6＝64. 15.已知数列{an}满足Sn＝4an－1(n∈N*)，求证：数列{an}是等比数列，并求出其通项公式． 证明：依题意，得当n≥2时，Sn－1＝4an－1－1， 所以an＝Sn－Sn－1＝(4an－1)－(4an－1－1)， 即3an＝4an－1，所以＝，故数列{an}是公比为的等比数列． 因为S1＝4a1－1，即a1＝4a1－1，所以a1＝， 故数列{an}的通项公式是an＝×n－1. 16.设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两实根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式. (1)解　根据根与系数的关系，得 代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3， 得－＝3.所以an＋1＝an＋. (2)证明　因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝. 若an＝，则方程anx2－an＋1x＋1＝0， 可化为x2－x＋1＝0，即2x2－2x＋3＝0. 此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0， 所以an≠，即an－≠0. 所以数列是以为公比的等比数列. (3)解　当a1＝时， a1－＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以an－＝×＝， 所以an＝＋，n＝1，2，3，…， 即数列{an}的通项公式为an＝＋，n＝1，2，3，…. 学科网（北京）股份有限公司 $