期中仿真模拟题（一）[范围：第1-3章] 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

期中仿真模拟题（一）[范围：第1-3章] 2026-2027学年湘教版数学九年级上册 一、选择题 1．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，c=6cm，则d是（　　） A．1cm B．5cm C．9cm D．12cm 2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sin A＝(　　) A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 4．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长和宽各为多少步？设这块长方形田地的长为步，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小.下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点到踏脚的距离为米，现在踏脚着地，则捣头点上升了（　　）米． A． B． C． D． 7．如图，四边形 ABCD，A'B'C'D'是以坐标原点O为位似中心的位似图形.已知点A(4，12)的对应点为A'(1，3)，若.A'B'=3.5，则 AB 的长为(　　) A．10.5 B．12 C． D．14 8．如图是的高，，，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 9． 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．在矩形中，，，点M是边上一点（点M不与点A，D重合），连接，将沿翻折得到，连接，．当为等腰三角形时，的长为（　　） A．或15 B．15或 C．或 D．不存在 二、填空题 11．若已知，则的值为　 　． 12．如图， AB∥CD， AD与BC相交于点E， AF⊥BC， DG⊥BC，垂足分别为F，G.若AB=10， CD=15，则 的值为　 　. 13．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE、若AB＝4，，则BE＝　 　. 14．如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡的坡比是，坝高，则迎水坡的长度是　 　m． 15．设、是方程的两个实数根，则　 　． 16．电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房收入288万元，将增长率记作x，则方程可以列为　 　 17．已知a是方程的一个根，则代数式的值为　 　． 18．如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连结AC、BE、DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF＝BE；④S△COD∶S四边形AFOE＝2∶3．其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 19．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，以原点为位似中心，在直线上方，画出的位似图形，使它与的相似比为． 20．已知 求 的值． 21．计算：． 22．解下列方程： （1） （2） （3）（4-x)x=（4-x) 23．在 中，点E是AB 上的动点，点G是BC上的动点，连结DE交AG于点F。 （1） 如图1，当点E和点 B 重合，若BF：FD=1：2，求证： 点G是BC的中点。 （2）如图2，当点 G为BC的中点，若EF=nDF时，求AF：FG的值（用含n的代数式表示)。 24．如图，在四边形ACBD中，AB⊥CD且AB平分 CD，∠BCD＝∠DAE。在CD上取一点F，使CF＝2AF. （1）求证：E是BD的中点. （2）若∠CAF的平分线AG交BC于点G，交 CB于点 H， 求证： BD·AH＝AG·AF. 25．某学习小组计划应用所学数学知识测量家乡一条河的宽度，他们选择附近一座观景台进行观测.如图，在河岸两边分别标记A，B两点，使得AB与河岸垂直，且点A，B与台底C在同一条直线上，已知台高CD=15米，∠ADC=70°，∠BDC=30°，求河宽AB（结果保留小数点后一位）. （参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73） 26．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题。 （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程.变形为x（x+2)=35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即因此，可得新的一元二次方程∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5。 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根.但是从新方程可以得到原方程的另一个根是　 　。 （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长)。 （3）拓展应用：一般地对于形如：的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为4。那么a=　 　，b=　 　，方程.的一个正根为　 　。 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：∵是成比例线段， ∴， ∵， ∴. 故答案为：C. 【分析】根据成比例线段的定义得到，求出d的取值范围解答即可. 2．【答案】C 【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值 【解析】【解答】解：由勾股定理，得 故选： C. 【分析】 根据勾股定理，可得AB与BC的关系.根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可. 3．【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【解答】解：A. 方程中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不是一元二次方程，该选项错误； B. 方程的分母含有未知数，是分式方程，不属于整式方程，不是一元二次方程，该选项错误； C. 方程含有两个未知数，不是一元方程，该选项错误。 D. 方程只含一个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，该选项正确； 故答案为：D 【分析】本题考查一元二次方程的定义辨析。一元二次方程需满足四个要点：未知数最高次数为2、二次项系数不为0、是整式方程、只含有一个未知数。A选项未知数次数为1，不满足最高次数为2的要求；B选项为分式方程，不满足整式方程的要求，C选项含两个未知数；只有D选项同时符合全部判定条件。 4．【答案】A 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：设这块长方形田地的长为步 由题意可得： 故答案为：A 【分析】设这块长方形田地的长为步，根据题意建立方程即可求出答案. 5．【答案】A 【知识点】正弦的概念；余弦的概念；正切的概念 【解析】【解答】由题可知，△ABD是直角三角形，， ，，． 选项B、C、D都是错误的， 故答案为：A. 【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解. 6．【答案】A 【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应三线 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 故选：A ． 【分析】本题的关键是两条垂线平行，构造出一组相似直角三角形，即由于垂直于地面，故，结合相似三角形三边对应之比为定值，对应计算即可。 7．【答案】D 【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质 【解析】【解答】解：∵点A(4，12)的对应点为A'(1，3)， ∴位似比， ∵位似图形对应边的比等于位似比， ∴， 又∵A'B'=3.5， ∴． 故答案为：D． 【分析】先根据点A(4，12)和A'(1，3)的坐标，利用勾股定理计算出，，得到位似比；再根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，即；最后代入A'B'的值，计算得AB=14． 8．【答案】C 【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 【解析】【解答】解：∵是的高，， ∴， ∴， ∴． ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 故选C． 【分析】由30度角所对的边等于斜边的一半，可求出，结合勾股定理， 可求出BD．再根据正切的定义得出，即可求出CD 的值，最后计算即可． 9．【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：方程x2－2x－m＝0有两个相等实数根， ∴△＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m＝0， 解之：m＝－1. 故答案为：A. 【分析】利用已知一元二次方程有两个相等的实数根，可得到关于m的方程，解方程求出m的值. 10．【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：四边形为矩形，，， ，，， 设与交于点， 由翻折的性质得：，，，， 为等腰三角形， 有以下两种情况： ①当时，过点作于，则，如图： 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）； ②当时，则，如图： ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ． 综上所述：的长为或， 故选：C． 【分析】 首先根据矩形的性质，可以得到，，且。设和的交点为，根据图形翻折的性质，可得，，，同时。分两种不同的情况进行讨论：① 当时，过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质，可得。设，那么，，对使用勾股定理，可得到。之后可以证明，根据相似三角形对应边成比例，可得，也就是，解这个方程就能得到对应的即DM的长度； ② 当时，可得，结合翻折的性质可得，在中由勾股定理可以求出。再证明，根据相似三角形的性质得到，也就是，由此即可求出的长度. 11．【答案】 【知识点】分式的值；比例的性质 【解析】【解答】解：， ， 将代入得： ． 【分析】 先根据题目给出的比例关系，推导出和的关系式，再把关系式代入待求分式化简，就能得到最终结果. 12．【答案】 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：. 【分析】根据平行线的性质，结合垂直的定义利用两角分别相等得到 ，根据对应边成比例解答即可． 13．【答案】5 【知识点】勾股定理；正方形的性质；求正切值 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4 ∴AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90° 在△ADE中，∠D=90° ∴ ∴ ∴CE=CD-DE=3 在△BCE中，∠C=90° ∴ 故答案为：5 【分析】根据正方形性质可得AD=CD=BC=AB=4，∠D=∠C=90°，根据正切定义可得DE，根据边之间的关系可得CE，再根据勾股定理即可求出答案. 14．【答案】 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理） 【解析】【解答】解：∵迎水坡的坡比是，坝高， ∴， ∴． 【分析】 已知迎水坡的坡比为，坝高，根据坡比的定义可以得到，最后结合勾股定理即可计算出待求量. 15．【答案】21 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵、是方程的两个实数根， ∴由韦达定理得：，。 由完全平方公式变形可得： ， 代入数值计算得： 原式。 故答案为：21 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式的变形应用。先根据方程的系数，由韦达定理得出两根之和与两根之积；再利用完全平方公式，将两根平方和转化为两根和的平方减去两倍两根之积的形式，代入数值即可计算出结果，核心是通过配方实现代数式的整体代换。 16．【答案】 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：将增长率记作x， 根据题意得：． 故填：. 【分析】 根据增长率的概念，先表示出第二天的票房，再根据第二天的票房表示出第三天的，最后结合第三天的票房收入为288万元这一条件列方程. 17．【答案】2028 【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 【分析】将代入方程可得，再代入代数式即可求出答案. 18．【答案】①②④ 【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ∵ EC是AB的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形ACBE是平行四边形， ， ∴四边形ACBE是菱形， ∴①正确； ∵四边形ACBE是菱形 ， ， ， ， ， ∴②正确； ∵四边形ACBE是菱形， ， ， ， ， ， ， ∴③错误； 设则， ，， ， ∴④正确； 故答案为： ①②④. 【分析】根据平行四边形的性质得到CD=2AO，然后证明△AOE∽△DCE，得到EO=OC，得到四边形ACBE是菱形判断①；根据菱形的性质和平行线的性质判断②；证明△AOF∽△CDF，根据对应边成比例判断③；设表示，判断④解答即可. 19．【答案】解：如图所示，为所求： 【知识点】作图﹣位似变换 【解析】【分析】根据位似图形定义作图即可. 20．【答案】解：∵， ∴a=3b， 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】根据已知条件，可得a=3b，直接代入即可求得的值. 21．【答案】解：原式 ， . 【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方） 【解析】【分析】由0指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂法则“”、二次根式性质“、”及特殊锐角三角函数值sin45°=分别计算，再计算乘法，最后计算加减法运算即可. 22．【答案】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， 解得，； （2）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； （3）解： 方程变形为， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及应用 【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解法，分别运用因式分解法、公式法、因式分解法求解三个方程。 （1）观察方程左边的二次三项式，可通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为0，即可得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根； （2）方程无法直接因式分解，先确定二次项系数、一次项系数和常数项，计算根的判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可得到两个实数根； （3）先将右边的项移到左边，提取公因式 进行因式分解，转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别令因式为0求解即可，注意不能直接两边除以 ，避免漏根。 23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行） 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到与相似，根据对应边成比例证明即可； （2）延长交的延长线于，根据平行四边形的性质，利用AAS证明，得到，再根据证明，根据对应边成比例解答即可． 24．【答案】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即 故． （2）证明：据（1）可知， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；菱形的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA 【解析】【分析】（1）利用菱形根据菱形的性质得到，再根据等角对等边得到，即可得到，然后根据平行线得到，即可得到，根据两角相等证明，根据对应边成比求出，证明结论即可； （2）先根据三角形的外角和角的和差得到，利用角平分线可得，进而得到，根据对应边成比例证明即可． 25．【答案】解：∵DC⊥AC， ∴∠ACD=90°， ∵， ∴AC=CD•tan∠ADC=CD•tan70°≈15×2.75=41.25（米）． ∵， ∴（米）． ∴AB=AC-BC=41.25-8.65=32.6（米）． 答：河宽AB为32.6米． 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】 如图，分别连接AD、BD可构造两直角三角形ACD和BCD，再结合已知可分别解直角三角形得AC、BC的长，再利用线段的和差关系即即可. 26．【答案】（1）x=-7 （2）解：将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）2；-3；1 【知识点】配方法解一元二次方程；勾股定理的应用；一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【解答】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （3） ∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．． 【分析】本题以赵爽弦图为背景，考查一元二次方程的几何解法，体现数形结合的数学思想。 （1）对于得到的新方程 ，根据平方根的意义，等式两边开平方可得 ，分别求解两个一元一次方程，除了正根外，另一个解即为原方程的负根。 （2）类比材料中的解法，先将方程变形为"x乘以(x减常数)等于常数"的形式，确定矩形的长和宽；再构造四个相同矩形围成的大正方形，分别用整体法和局部法表示大正方形的面积，建立等式得到新的一元二次方程，结合边长为正的条件开平方求解，即可得到方程的正根。 （3）先由中间小正方形的面积求出其边长，设矩形的宽为x，用含x的式子表示矩形的长；根据矩形面积为3列出方程，整理为一般形式后对比 即可得到a、b的值；再仿照材料中的方法构造大正方形面积等式，求解得到方程的正根。 学科网（北京）股份有限公司 $