北京市育英学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 2026.10 班级： 姓名： 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1.若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 2.用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0时，将方程化为(x+m)2=n的形式，则n的值为() A.12 B.9 C.6 D.3 3.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式是( A.y=2(x+1)2 B.y=2(x-1)2 C.y=2x2+1 D.y=2x2-1 4若点A(K,-5),B(2,2),C(,3)在反比例函数y=2的图象上，则，，3的大小关 系是() A.x1<x2<X3 B,x2<x3<x1 C.x3<x1<x2 D.X1<x3<x2 5.如图，在“探索二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)的系数a,b,c对函数图y 象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A(0,1),B(2,1), D C(4,1),D（3,2),同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若 干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的( B A.ABC B.ABD C.ACD D.BCD p(kPa) 6.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p 60 (1.6,60) (单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，其图象如图所 示。当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的 1.6 →V(m) 体积应（) A.不小于三m B.小于 m3 4 4 C不小于5m D.小于4 3 7.我国古代数学家研究过用几何法解一元二次方程.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵 爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6,宽为x的长方形拼成一个 大正方形，则大正方形的边长是x+6+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形 的面积之和，即4×72+62=324=182，据此易得x+6+x=18,x=6(正根). 小熙用此方法解关于x的方程x(7x-a)=20,其中7x-a>x构造出同样的图形， 已知小正方形的面积为64，则α的值是（) A.6 B.4 C.2 D.1 8,如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别是反比例函数=(x>0)与片，=上(x<0)图象上 的动点，AD⊥x轴于点D,BE⊥x轴于点E,点C在y轴的正半轴上，连接AB,若四边形OACB是 平行四边形，给出下面四个结论： BE k2 ②若A(2,1),0C=4,则k2=-4: ③S。oca=lk+lk: ④当k+k=0时，四边形OACB一定是正方形， 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.方程x2-4=0的根为 10.写出一个顶点为(-3,1)的的二次函数表达式 11.已知一元二次方程2x2-x-3=0的两个根分别是x,x2,则(x+1)(x2+1)=一 12.若点(m-1,y1),（(m,y2)，(m+3,y3)都在抛物线y=x2-2mx+m2-1上，则y1,y2,y3 的大小关系为 (用“<”连接)· 13.化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一 节课手把手教会了若干名同学第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样 全班36人恰好都会做这个实验了，设1人每次能手把手教会x名同学，那么所列方程为 14.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的x与y的部分对应值如下表： 0 2 4 y -2 -1 2 7 则关于x的不等式ax2+bx+c>7的解集是 15.如图，已知线段AB,分别以点A,B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在AB上方 A B 交于点C,在AB下方交于点D,连接CD交AB于点O,以点O为圆心，OA长为半径 画弧，交线段OD于点M,连接AC,AM,则∠CAM的大小为 16.如图所示，公路旁自西向东依次有4,42，，A6共6处住宅和一所学校.每个工作日早上，每 处住宅各有1名学生需乘同一辆校车前往该学校，校车仅在设于某一住宅处的车站停车一次，每名学 生需从自家住宅沿公路步行至该车站乘车，6名学生都上车后，校车沿公路向东行驶至学校， AA A3 As As Ao 学校 已知每名学生在相邻两处住宅间的步行时间均为2.5in,校车在相邻两处住宅间的行驶时间均为 lmin,校车从A处至学校的行驶时间为20min.一名学生的理想通勤时间是指该学生从自家住宅至 车站的步行时间与校车从车站至学校的行驶时间之和（不考虑其他因素）· (1)若车站设在A处，则住在A。处的学生的理想通勤时间为 min (2)若当车站设在A,处时这6名学生的理想通勤时间之和最小，则k= 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小 题7分)解答应写出文字误明、满算步骤或证明过程， 17.解方程：x2-6x=7. 18.已知a是方程x2+2x-5=0的一个根，求代数式(a+2)2+(a+3)(a-3)的值. 19.已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴的交点为(0,3)，抛物线的对称轴为直线x=1. (1)求抛物线的表达式： (2)直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系xOy中画出抛物线： (3)当0<x<3时，直接写出y的取值范围. 3 2 3 -2 10 2 2 20.如图，在△ABC中，∠C=90°，M,N分别为AB,BC的中点，点P,Q在射线CA上，PQ=MN. (1)求证：四边形MPQW是平行四边形： (2)若∠CQN=30,CN=2V5,MN=5,求PA的长. ⊙ M N 21.关于x的一元二次方程x2+(m-3)x+2-m=0 (1)求证：该方程总有两个实数根： (2)若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围. 22.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1,CD=4,AB上是否存在点E,使得∠DEC为直角？如果不存 在，请说明理由；如果存在，求出满足条件的点E有几个. D P E B 23.直线y=x+1与反比例函数乃，=华k>0,x>0)的图象交于点A亿2，m). (1)求m,k的值. (2)结合函数图象，直接写出k-x-1>0时x的取值范围： (3)设点P的坐标为(0，n)且0<n<3,过点P作平行于x轴的直线与直线y,=x+1和反比例函数 片=k>0,x>0)的图象分别交于点C,D,当CD=6时，求n的值 24.近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安 全的充电环境.图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分， 棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为4米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为 2米，且点A和点B的水平距离为6米. B A 0 0 图① 图② (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式： (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接 触点P离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方. 25.数学活动课上，老师提出一个探究问题： 制作一个体积为10dm3,底面为正方形的长方体包装盒，当底面边长为多少时，需要的材料最省（底 面边长不超过3dm,且不考虑接缝). 某小组经讨论得出：材料最省，就是尽可能使得长方体的表面积最小. 下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)设长方体包装盒的底面边长为xdm,表面积为ydm、可以用含x的代数式表示长方体的高为 10 dm. 根据长方体的表面积公式：长方体表面积=2×底面积+侧面积. 得到y与x的关系式： (0<x≤3)； (2)列出y与x的几组对应值： (说明：表格中相关数值精确到十分位) x/dm 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 y/dm2 80.5 42.0 31.2 ① 285 31.3 (3)在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的 图象： (4)结合画出的函数图象，解决问题： 长方体包装盒的底面边长约为 dm时，需要的材料最省.（精确到0.1） y/dm2 100 80 60 40 20 1 23 4 x/dm 26.在平面直角坐标系xOy中，点AL,y)为抛物线y=x2-2ax上一点，点B坐标为(a+2,y),点A与 点B不重合 (1)求此抛物线的对称轴（用含a的代数式表示)； (2)连接AB. ①当线段AB与抛物线有且只有1个公共点时，直接写出α的取值范围： ②在①的条件下，过点B作x轴的垂线交抛物线于点C,若线段BC的长随a的增大而减小，求a的 取值范围. 27.四边形ABCD和CEFG都是正方形，其中正方形CEFG可以绕顶点C旋转(CE<CB). (1)如图1，点E在BC上，点G在CD上，连接BG和DE,取BG的中点P,连接CP, 求证：DE=2CP; (2)如图2，正方形CEFG绕点C旋转到图2位置，连接DE和BG,取线段BG的中点P,连接CP. ①依题意补全图2： ②判断线段CP与DE的关系，并证明你的结论. A D D E B B E 图1 图2 28.在平面直角坐标系xOy中，己知点M不与原点重合.对于点P给出如下定义：点P关于点M的 对称点为P,点P关于直线OM的对称点为Q,称点Q是点P关于点M的“转称点”， 5 5以 4 4 3 2 2 14 M 10 12 5 23 4 5* 备用图 (1)如图，已知点M(t,0),P(t+1,1),点2是点P关于点M的“转称点”· ①当t=2时，在图中画出点Q的位置，并直接写出点Q的坐标： ②PQ的长度是否与t有关？若无关，求PQ的长；若有关，说明理由： (2)已知点A(3,4),△ABC是边长为2的等边三角形（点A,B,C按逆时针方向排列)，点N是点 B关于点C的“转称点”，在△ABC绕点A旋转的过程中，当BN最大时，直接写出此时OB的长