精品解析：北京市西城区 北京师范大学实验华夏女子中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题　

初三数学 第一部分（选择题：共16分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，如果的半径为2，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不确定 3. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 8. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题：共84分） 二、填空题（本题共16分，每小题2分．） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为_______． 11. 如图，正六边形内接于，，则的长为______． 12. 二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 13. 若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 14. 某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 15. 已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点则的取值范围是_______． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论：①；②；③若点与都在该抛物线上，则；④过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点（、不重合），若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．其中，正确的是_______ 三、解答题（本题共68分，17~23题每题5分，24、25每题6分，26~28题每题7分．） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根差为1，求此时的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是绕点顺时针旋转后得到的图形． （1）在所给的平面直角坐标系中画出，并写出，的坐标：______，______； （2）在旋转过程中线段扫过的面积为______． （3）的外接圆圆心坐标为______． 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围为______； （4）当时，的取值范围为______． 20. 已知：和圆外一点，求作：过点的的切线． 作法：①连接； ②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，连接，交于点； ③以为圆心，长为半径作，交于点，； ④作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，，． ，， 是线段的垂直平分线． ， 为的直径，，在上， （______）（填推理的依据）． 半径，半径， 直线，为的切线（______）（填推理的依据）． 21. 如图，内接于，是的直径，，垂足为D． （1）求证：； （2）已知的半径为5，，求长． 22. 学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 23. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量） 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 25. 有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长． 在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了种有机肥对这两种植物增长高度的影响： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 （1）通过分析数据，发现与之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数的图象； （2）画出关于的图象并观察图象，补全表格；（结果保留小数点后一位） （3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）． 26. 在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线x=t． （1）若 ，求t的值； （2）若当 时，都有 求t的取值范围． 27. 已知，点是直线上一动点（不含点），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接线段，过点作交直线于点． （1）如图1，点在点右侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）当点在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 28. 对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”． 在平面直角坐标系中． （1）已知点，的半径为2． ①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是______； ②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是______； （2）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 第一部分（选择题：共16分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案填涂在答题卡上．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，如果的半径为2，那么点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求出点到圆心的距离，再与圆的半径比较． 先根据两点间距离公式求出点到圆心的距离，再将该距离与圆的半径2比较，从而确定点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点，点， ∴==， ∵的半径为2，且， ∴点A在内． 故选：B． 3. 近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是找准数量关系．设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题可列方程． 【详解】解：设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题意可得： ． 故选：B 4. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：原抛物线解析式为， 向右平移2个单位长度，将替换为，得， 再向上平移3个单位长度，得. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 4π cm 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC、OD， 分别与相切于点C，D， ∴， ， ∴， 的长， 故选：B 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到，由三角形三边关系定理得到，即可得到线段的最大值． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 的半径为1， ， ∴， 由三角形三边关系可知，， ∴线段的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及点与圆的位置关系、坐标与图形、三角形中位线的判定与性质、三角形三边关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，掌握圆中动点最值问题的基本解法，构造出，进而由三角形三边关系得到是解决问题的关键． 第二部分（非选择题：共84分） 二、填空题（本题共16分，每小题2分．） 9. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 10. 一次函数和反比例函数的图象交于，两点，则当时，的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【详解】解：如图， 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，满足； 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，不满足； 因此，时，的取值范围为或． 11. 如图，正六边形内接于，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，代入弧长公式即可求解，作出辅助线，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长， 故答案为：． 12. 二次函数中，当时有最小值3，则实数的值为________． 【答案】或7 【解析】 【分析】先将二次函数配方，得到开口方向与对称轴，再根据对称轴与给定区间的三种位置关系分类讨论，分别求出最小值，结合取值范围确定的值. 【详解】解：将二次函数配方得： 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： （1）当时，在范围内，随的增大而增大，最小值在处取得，代入得： 整理得 解得， ， 符合要求 （2）当时，最小值在对称轴处取得，此时，不符合最小值为的要求，舍去此种情况 （3）当时，在范围内，随的增大而减小，最小值在处取得，代入得：， 整理得， 解得，， ， 符合要求， 综上，实数的值为或. 13. 若关于的函数的图象上存在四个点与轴距离为3，则的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】到轴距离为的点满足，即对应和，存在四个点说明两个方程都有两个不相等实根，且原函数为二次函数，分别计算判别式即可得到取值范围． 【详解】解：∵图象上点与轴距离为， ∴，即或． ∵若为一次函数，其图象与直线和最多共有2个交点，要得到四个点，原函数必为二次函数， ∴，得，且和对应的一元二次方程都要有两个不相等的实数根． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 当时，整理方程得： 判别式 ∵， ∴，解得． 综上，的取值范围是且． 14. 某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得水流的最高处距离喷水池中心的水平距离为，最大竖直高度为．安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动，即其形状和对称轴保持不变，若水流离喷水池中心的最远水平距离不超过，水流最大竖直高度大于，则喷头高度的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】待定系数法求出抛物线的解析式为，可设移动后抛物线解析式为，函数图象的顶点坐标为，求出，由题意可得，，解不等式组即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴可设移动后抛物线解析式为， 即函数图象的顶点坐标为， 令，则，解得，， ∴， ∴， 由题意可得，， 解得． 15. 已知抛物线，，．若抛物线与线段恰有一个公共点则的取值范围是_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分抛物线经过点，抛物线经过点，抛物线的顶点在线段上，三种情况分别求出m的值，然后再结合图形即可解答． 【详解】解：如图， 当抛物线经过点时，， 解得：； 当抛物线经过点时，， 解得：； 当抛物线的顶点在线段上时，， 解得：， 结合图象可知，m的取值范围是或或． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，下面有四个结论：①；②；③若点与都在该抛物线上，则；④过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点（、不重合），若线段的长度随的增大而减小，则的取值范围是．其中，正确的是_______ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先根据已知条件求出抛物线系数关系，，再逐一验证每个结论即可． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， ①将，代入得：， ∵， ∴，即，①正确； ②将，代入得，②正确； ③将点代入抛物线得， 将点代入抛物线得， ∵， ∴，即，③正确； ④过点作轴垂线，得，，则 ，其中， 当时，，，该二次函数开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小； 当时，，，该二次函数开口向上，对称轴为， ∴时，随增大而增大； 综上，满足长度随增大而减小，且的范围是，④正确； 因此正确结论的序号是①②③④． 三、解答题（本题共68分，17~23题每题5分，24、25每题6分，26~28题每题7分．） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根差为1，求此时的值． 【答案】（1） 证明：对于关于的一元二次方程， ∵， ∴方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式，可得，即可证明结论； （2）利用因式分解法求得该方程的解为，，结合方程两个根差为1解得的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵方程两个根的差为1， ∴或， ∴或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，是绕点顺时针旋转后得到的图形． （1）在所给的平面直角坐标系中画出，并写出，的坐标：______，______； （2）在旋转过程中线段扫过的面积为______． （3）的外接圆圆心坐标为______． 【答案】（1）如图，即为所求， ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图，再写出对应点坐标即可； （2）线段绕定点旋转，扫过的图形是圆心角等于旋转角的扇形，先用勾股定理求出旋转半径的长度，再代入扇形面积公式求解； （3）由旋转可知，为直角三角形，根据直角三角形外接圆圆心在斜边中点这一性质，设中点为点，过作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为点，构造，利用相似三角形的性质，求出到轴的距离和到轴的距离即可求得点的坐标． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 如图，线段扫过的区域是一个圆心角为的扇形， ， ； 【小问3详解】 解：由旋转得：，直角三角形外接圆圆心是斜边中点， 如图，设中点为点，过作轴的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为点， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， 的纵坐标为，横坐标为， 的坐标为，即的外接圆圆心坐标为． 19. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 3 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围为______； （4）当时，的取值范围为______． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）结合表格，先描点，再连线即可； （3）求出当时，，当时，，由二次函数的图象可得，当时，函数取得最小值为，从而即可得出结果； （4）根据函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 将，，代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：图略； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 由二次函数的图象可得，当时，函数取得最小值为， ∴当时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：由函数图象可得，当时，的取值范围为或． 20. 已知：和圆外一点，求作：过点的的切线． 作法：①连接； ②分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点，连接，交于点； ③以为圆心，长为半径作，交于点，； ④作直线，． 所以直线，为的切线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接，，，，，． ，， 是线段的垂直平分线． ， 为的直径，，在上， （______）（填推理的依据）． 半径，半径， 直线，为的切线（______）（填推理的依据）． 【答案】（1） 解：如图，直线，即为所求； （2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】此题考查了基本作图、切线的判定等知识，熟练掌握切线的判定和基本作图步骤是解题的关键． （1）根据作图步骤补充完成作图即可； （2）连接，，，，，，由，，得到是线段的垂直平分线．则．由为的直径，，在上，则，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接，，，，，． ，， 是线段的垂直平分线， ， 为的直径，，在上， （直径所对的圆周角是直角）， 半径，半径， 直线，为的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 21. 如图，内接于，是的直径，，垂足为D． （1）求证：； （2）已知的半径为5，，求长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）8 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，得到，进而得到，三线合一，得到，等边对等角，得到，即可得出； （2）先求出的长，勾股定理求出的长，垂径定理得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为5，， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，是解题的关键． 22. 学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 【答案】（1）10； （2）能，1米． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． （1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，然后利用这堵墙的长度为不超过米，列出不等式求解即可； （2）设小路的宽为a米，两边的长分别为米，米，列出方程求解即可求解． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米， 根据题意得：． 解得：， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米； 【小问2详解】 解：设小路的宽为a米， 根据题意得，． 整理得；， 解得：（舍去），． 答：小路的宽为1米． 23. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售． （1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； （2）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量） 【答案】（1） （2）当销售单价为82元时，每天的销售利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用．借助二次函数解决实际问题，根据数量关系列出函数解析式是关键． （1）根据“利润=（售价成本）销售量”列出二次函数解析式即可； （2）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后利用二次函数的性质可求得最大值利润． 【小问1详解】 解∶ 【小问2详解】 解∶∵企业每天的总成本不超过7000元， ∴， ∴， ， ∵抛物线的对称轴为且， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小． ∴当时，y有最大，最大值， 即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴为的切线； （2）的长为； 【解析】 【分析】（1）本题考查切线的证明，连接，证明即可得到答案； （2）本题考查垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，三角形全等的判定与性质，先根据勾股定理得到，结合垂径定理得到，再证明，结合中位线求解即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵O是的中点，D是的中点， ∴． 25. 有机肥作为一种富含有机质及多样营养元素的优质肥料，对于土壤改良及肥力提升具有显著效果．将其应用于小树施肥，不仅能有效供给必要的养分，还能优化土壤结构，进而促进小树的茁壮成长． 在针对金叶女贞和连翘这两种植物的培育过程中，我们统一施用了种有机肥，并确保了它们在浇水、松土、除草等抚育管理措施上的一致性．以下表格详细记录了种有机肥对这两种植物增长高度的影响： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 （1）通过分析数据，发现与之间近似满足正比例函数关系．请在给出的平面直角坐标系中，画出关于的函数的图象； （2）画出关于的图象并观察图象，补全表格；（结果保留小数点后一位） （3）实验前，测量金叶女贞的高度为，连翘的高度为，大概在第__________天时，连翘和金叶女贞一样高（结果保留到整数）． 【答案】（1） 如图所示， （2）如图所示， 根据图形，补全表格如下： 天数/天 金叶女贞增长的高度 连翘增长的高度 （3）83【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象． （1）根据表格描点，连接各点即可画出关于的函数的图象； （2）根据题意作出函数图象即可得解； （3）根据题意作出函数图象即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过轴上的作轴的平行线与相交，再过该交点作轴的平行线； 【小问3详解】 解：，如图， 由图可得，大概在第83天时，连翘比金叶女贞多长了，即大概在第83天时，连翘和金叶女贞一样高． 故答案为：83． 26. 在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线x=t． （1）若 ，求t的值； （2）若当 时，都有 求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求得； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，分两种情况讨论，得到关于的不等式组，解不等式组从而求得的取值范围． 【小问1详解】 解： 点在抛物线上， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，都有， 点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧， 点，，在抛物线上， 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， 当时，则，解得， ； 当时，，不符合题意； 当时，则，解得， ∴； 综上所述，t的取值范围为． 27. 已知，点是直线上一动点（不含点），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接线段，过点作交直线于点． （1）如图1，点在点右侧时， ①依题意补全图形； ②用等式表示与的数量关系，并证明； ③用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （2）当点在直线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1） ①当垂足在延长线上时，如图， 当垂足在上时，如图， ②，理由见解析： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ③，理由： 当垂足在延长线上时，如图，连接，在的延长线线上取一点，使得， 由②得， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当垂足在上时，如图，连接，在的延长线线上取一点，使得， 同理可证； （2）当点在点右侧时，，当点在点左侧时，． 【解析】 【分析】（1）①根据题干所给作图方法分垂足在延长线上和垂足在上补全图形即可；②由旋转性质及等边三角形的判定得是等边三角形，进而得，由，得，再根据三角形的内角和定理即可得解；③分垂足在延长线上和垂足在上两种情况利用等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质求解即可； （2）分点在点右侧和点在点左侧两种情况，利用全等三角形的判定及性质以及等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②略 ③略 【小问2详解】 解：当点在点右侧时，，当点在点左侧时，，理由如下： 当点在点的右侧时，由（）得，； 当点在点的左侧，且点在的上方时，如图，连接，在线段上取一点，使得， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左侧，且点在的上方时，如图，连接，在的延长线上取一点，使得， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当点在点右侧时，，当点在点左侧时，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，旋转的性质是解题的关键． 28. 对于点和，若在上或内存在一点，使得是顶角为的等腰三角形，则称点为点关于的“—关联点”． 在平面直角坐标系中． （1）已知点，的半径为2． ①在点，，，中，是点关于的“—关联点”的是______； ②若直线上存在点关于的“—关联点”，则的取值范围是______； （2）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，若点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，设点的纵坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别连接、、、，然后利用网格把它们分别绕、、、旋转，得到对应的点，观察其是否在上或内即可得到答案； （2）设与轴的交点为，过点作，过点作轴，由题意可知，，，，可证为等边三角形，先求得点坐标，表示出，利用勾股定理，可表示出，接着证明以及，得到，由 为上或内存在一点，的半径为2，那么最大值为2，从而求得的最大值； （3）已知是轴上一动点，点满足，的半径为2，故以点为圆心，4为半径画圆，可知在上运动，再以点为圆心，2为半径画圆，有点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”，可知和为等边三角形，从而得出四边形是菱形，推出，，，设与相交于点，由和为上或内存在一点，那么，故当、、三点共线时，最大，此时在圆上，，通过勾股定理可求得，此时，， 在上，符合题意，综上所述，可知，最大时，在上，在上，且，最后由，得出的范围． 【小问1详解】 解：①根据题意，分别连接、、、，然后绕、、、旋转，如图所示， 由图可知点、在内， 点、是点关于的“—关联点”， 故答案为：、； ②设与轴的交点为，过点作，过点作轴，如图所示， 由题意可知，，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 时，；当时，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 为上或内存在一点，的半径为2， 最大值为， 此时，，解得，如下图所示： ， ； 【小问2详解】 解：已知是轴上一动点，点满足，的半径为2， 以点为圆心，4为半径画圆，在上运动， 以点为圆心，2为半径画圆，如图所示： 点既是点关于的“－关联点”，也是点关于的“—关联点”， ，，，， ，， 和为等边三角形， ，， 四边形是菱形， ，，， 设与相交于点， 和为上或内存在一点， ，即， 当、、三点共线时，最大， 此时在圆上，，如图所示： ， ， ， 中，，， ， 不妨设，那么， ， ， ，， ， ， ， 此时在上，符合题意； 综上所述，可知，最大时，在上，在上，且， 设点的纵坐标为， ， ． 【点睛】本题考查了 “—关联点”，线段的旋转，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，一次函数与坐标轴的交点，解直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，数形结合，画出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $