专题 4.3 投影与视图全章复习讲义【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题 4.3 投影与视图全章复习讲义【知识梳理+题型精析】 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】投影的基本概念 1 【知识点二】平行投影的应用规律 1 【知识点三】三视图的基本概念与画法规则 2 【知识点四】常见几何体的三视图 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】投影类型的识别：中心投影与平行投影 2 【题型2】中心投影的应用：点光源与影子变化 4 【题型3】平行投影的简单计算：物高与影长 6 【题型4】三视图的识别与判断 11 【题型5】简单几何体三视图的匹配 13 三.题型精析（巩固提升） 15 【题型6】影子落在墙面+地面的分段模型 15 【题型7】组合体三视图判断 20 【题型8】虚实线判断与空心几何体 23 【题型9】由三视图还原几何体 25 【题型10】已知两个视图，补画第三个视图 27 一.知识梳理 【知识点一】投影的基本概念 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面叫做投影面。 2. 中心投影：手电筒、路灯、台灯的光线从一个点发出，这样的光线形成的投影称为中心投影。特点：光线汇聚于一点（点光源）；物体离光源越近影子越大。 3. 平行投影：太阳光线是平行光线，平行光线形成的投影称为平行投影。 4. 正投影：在平行投影中，如果平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。正投影是特殊的平行投影。 5. 确定点光源的方法：分别连接物体顶端与其影子顶端并延长，两条直线的交点即为点光源位置。 【知识点二】平行投影的应用规律 1. 影子长短变化：上午影子由长变短，正午最短，下午影子由短变长。 2. 影子方向变化：从早晨到傍晚，影子方向大致为正西→西北→正北→东北→正东。 3. 同一时刻，太阳光下，不同物体的物高之比等于对应影长之比。 4. 影子落在墙面+地面的分段模型：过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造相似三角形，分段计算。 【知识点三】三视图的基本概念与画法规则 1. 主视图：从正面观察物体所看到的图形。 2. 左视图：从左面观察物体所看到的图形。 3. 俯视图：从上面观察物体所看到的图形。 4. 位置规定：俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。 5. 尺寸对应关系： （1）主视图与俯视图：长对正（长度相等） （2）主视图与左视图：高平齐（高度相等） （3）左视图与俯视图：宽相等（宽度相等） 6. 线条规则：看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。 【知识点四】常见几何体的三视图 1. 圆柱：主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆。 2. 圆锥：主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆。 3. 球：三视图都是圆。 4. 正方体：三视图都是正方形。 5. 长方体：三视图都是矩形。 6. 正三棱柱：主视图和左视图是矩形，俯视图是正三角形。 7. 正六棱柱：主视图和左视图是矩形，俯视图是正六边形。 8. 空心圆柱：三视图中内壁看不见的轮廓线必须画虚线。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】投影类型的识别：中心投影与平行投影 核心考点：根据光源特点判断投影类型——点光源（路灯、手电筒、台灯）是中心投影；太阳光（平行光线）是平行投影。 【例题1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 解：∵皮影戏的光源是一盏煤油灯，属于点光源， ∴光线从一点发出，形成中心投影． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的知识，根据由太阳光形成的投影是平行投影、由灯光形成的投影是中心投影判断即可． 解：皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，它的投影属于中心投影． 故选B． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）早在多年前的宋朝，手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指送诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来”．手影戏全凭手影艺人的十指借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属于______（填“平行投影”或“中心投影”）． 【答案】中心投影 【分析】本题考查中心投影，根据把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影判断即可得到答案； 解：由图像可得， 手影戏中的手影属于中心投影， 故答案为：中心投影． 【变式3】（2026·河北邯郸·三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为． （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是________（填写“平行投影”或“中心投影”）； （2）聚光灯距离地面的高度为________m． 【答案】 中心投影 【分析】（1）根据中心投影的定义直接写出答案即可； （2）根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可． 解：（1）∵聚光灯光线是点光源发出的光线， ∴在聚光灯下金博洋落在地面的影子是中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：由题意得：， ∴， ∴， ∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的定义的知识，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，难度不大． 【题型2】中心投影的应用：点光源与影子变化 核心考点：连接物体顶端与影子顶端找光源；物体靠近或远离点光源时影子长短变化规律。 【例题2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和小星的顶端并延长交平面于一点，这点到小星的底端的距离就是小星的影长，画出相应图形，比较即可． 解：如图所示： 由图得，它的影子越长，那么离路灯越远， ∵他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长， 则他相对这盏路灯的位置是逐渐远离路灯 故选：A 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）下列四个选项中，图中的灯光与物体的影子是最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 解：依题意，如图所示： ∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体的影子最合理的是， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查了平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）．根据平行投影的定义判断即可． 解：①灯是点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ②太阳光近似平行光线，形成平行投影，符合题意； ③萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ④灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； 故答案为：②． 【变式3】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是_______． 【答案】④③①② 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 根据平行投影中影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长． 解：根据平行投影的特点以及北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再由短变长．可知先后顺序是④③①②． 故答案为：④③①②． 【题型3】平行投影的简单计算：物高与影长 核心考点：同一时刻物高与影长成正比例，列比例式求解物体高度或影长。 【例题3】（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【分析】根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比．通过作辅助线构造矩形，将旗杆高度分为两部分，一部分对应墙上的影子高度，另一部分对应地面上的影子长度，利用比例关系求解即可． 解：过点作于点． 则四边形为矩形． ． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ． 即． 解得． ． 【变式3】（2026·广东深圳·二模）某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【答案】（） 【分析】作，作，可得四边形是矩形，进而得，再解直角三角形求出，然后求出，接下来说明，可求出，最后根据得出答案． 解：如图所示，过点B作于点N，作于点M， ∴四边形是矩形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 【题型4】三视图的识别与判断 核心考点：根据几何体判断三视图，或根据视图判断对应的几何体。 【例题4】（26-27九年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 解：从左边看，看到的图形是一个长方形，且内部有一条看不见的线，即用虚线表示， 所以D正确． 【变式1】（26-27七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据左视图的定义，从左向右观察几何体，确定外轮廓形状及内部棱的可见性． 解：观察几何体，其左侧面为完整的矩形， 从左向右观察，外轮廓为矩形， 几何体右上方被切去一部分，产生一条内部棱， 该棱从左向右看被左侧面遮挡，不可见，应画为虚线， 所以左视图为矩形且内部有一条斜虚线． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图①，粗线表示嵌在正方体玻璃上的铁丝，图②是该正方体的三视图中的两个．两个视图的名称分别是_______． 【答案】俯视图和主视图 【分析】本题考查了三视图，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图的定义判断即可． 解：观察右边的两个图：第一个图中间有一条粗线，可判断该图为俯视图； 第二个图的上边和右边是两条粗线，故应该是主视图． 故答案为：俯视图和主视图 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查三视图，等边三角形的性质以及勾股定理．掌握常见几何体的三视图是解答本题的关键．由三视图可知该几何体为三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形，再求出该几何体底面三角形的高，即可求出左视图的面积． 解：由图可知，该几何体是一个三棱柱，三棱柱的高为，底面是边长为的等边三角形， 该几何体底面三角形的高为， 该几何体的左视图的面积为， 故答案为：． 【题型5】简单几何体三视图的匹配 核心考点：掌握圆柱、圆锥、球、棱柱等常见几何体的三视图形状，准确匹配。 【例题5】（2026·辽宁·模拟预测）如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：如图所示的几何体的俯视图是． 【变式1】（2026九年级·内蒙古·专题练习）有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三视图，理解三视图的定义是解题关键． 根据从上面看到的图形是俯视图，即可得答案． 解：的俯视图是． 【变式2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【答案】 【分析】主视图以及左视图都是一个矩形，俯视图为一个圆形，则可得出该几何体是一个圆柱，再计算出面积即可． 解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高h为， 则底面半径， ∵每个茶叶罐所需铁皮的面积即为该圆柱体的表面积， ∴ ， 故制作每个茶叶罐所需铁皮的面积为． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 【答案】240 【分析】根据所给的主视图及左视图，可得等腰梯形的两底是2和8，高为4，棱柱的侧棱为10，然后利用勾股定理求出等腰梯形的腰，再计算表面积即可． 解：由题意可知，等腰梯形的上底是2，下底是，高是4，棱柱的侧棱为10， 如图，设底面为等腰梯形，过点作于点，则， 由题意得，，， ∴在中，， ∴直四棱柱的表面积为． 三.题型精析（巩固提升） 【题型6】影子落在墙面+地面的分段模型 核心考点：影子一部分在地面、一部分在竖直墙面上，过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造相似三角形，分步计算。 【例题6】（25-26九年级下·江苏连云港·期中）学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．小王同学观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）已知小王同学的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影子长为多少？ （2）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型． （1）根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题． （2）过点作于点，设，，利用勾股定理求出和，得到，过点作于点，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出的长度，即可得到． 解：（1）设小王的影长为， 由题意，得：，解得： 经检验，是原分式方程的解. 答：小王的影长为120cm. （2）如图，过点F作，垂足为点G， ∵， ∵，∴   ∴设，，在中，，， ∴，， ∴，   过点F作于点H，则四边形HBGF为矩形， ∴，， ∴，解得：， ∴， 答：高圆柱的高度为280cm. 【变式1】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（　　） A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高1.4 m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树高________m． 【答案】9 【分析】过点D作DE⊥AB于E，则四边形BCDE是矩形，得BE=CD=2m，DE=BC=5m，再根据同一时刻，物高与影长成正比，可得，代入DE，即可求出AE长，即可由AB=AE+BE求解． 解：如图，过点D作DE⊥AB于E， 由题意，得AB⊥BC，DC⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴四边形BCDE是矩形， ∴BE=CD=2m，DE=BC=5m， 由题意，得， ∴， ∴AE=7 ∴AB=AE+BE=7+2=9（m）， 答：这棵大树高为9m， 故答案为：9． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物高与影长成正比是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·广东茂名·期中）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作； 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． （1）甲树的高度为多少米； （2）求出乙树的高度． 【答案】（1）5.1米；（2）米 【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高； （2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案． （1）解：根据题意得： 解得：米 故故甲树的高度为5.1米． （2）解：假设是乙树， ∴（米），（米）， ∴， ∴， ∴（米）， ∴， ∴（米）， 答：乙树的高度为米． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 【题型7】组合体三视图判断 核心考点：由基本几何体组合而成的物体，分析各部分位置和遮挡关系，判断三视图。 【例题7】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： （1）当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； （2）若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 【答案】（1）左，主，俯；（2）2 【分析】（1）根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，即可得出答案； （2）可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，即可得出答案． （1）解：当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，左视图不变；去掉③时，主视图不变；去掉④时，俯视图不变． （2）解：若保持主视图和左视图不变，可在最左侧前端放一个，右侧最前端再放一个，则原来几何体最多还可以再搭2块小正方体． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）如图，将棱长为4的正方体截去一个棱长为2的小正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据俯视图的定义，从上往下观察几何体，确定其俯视图的形状及内部线条的位置． 解： 该几何体是由棱长为的大正方体截去右前上方的一个棱长为的小正方体得到的， 从上面看（俯视图），外轮廓是大正方体的底面，为一个正方形 ， 截去部分位于几何体的右前方 ， 在俯视图中，截去后露出的水平面位于图形的右下角 ， 俯视图为一个大正方形，且右下角有一个小正方形（实线）， 对比选项可知，B选项符合． 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分别保持不变，那么最多可以拿走___________小正方体． 【答案】7 【分析】本题考查了简单组合体三视图，熟练掌握简单组合体三视图的画法是解题的关键． 根据简单组合体三视图的形状进行解答即可． 解：如图，在相应位置标注可以拿掉的小正方体的个数，使三视图不变， ∴所能拿掉的小正方体的个数为． 故答案为：7 ． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． （1）请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； （2）这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 【答案】（1）如图所示， （2） 【分析】本题考查作图-从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，良好的空间想象能力是解答本题的关键，属于中考常考题型． （1）根据从左边，上边方向看到的结果画出图形即可； （2）根据几何体的特征表面积的计算方法求解即可． 解：（1）略 （2）解：这个几何体的表面积． 【题型8】虚实线判断与空心几何体 核心考点：看得见的轮廓画实线，看不见的轮廓画虚线；空心几何体的内壁必须用虚线表示。 【例题8】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示的几何体，其中间部分有一个圆孔，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】几何体的三视图看得见的轮廓画实线，看不见的轮廓画虚线． 解：从左往右看几何体时，外部轮廓为一个长方形，因为中间部分有一个圆孔是看不见的轮廓，故该几何体的左视图是： 【变式1】（2026·河南新乡·二模）如图，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．画物体的三视图的口诀为：主、俯长对正；主、左高平齐；俯、左宽相等．根据俯视图的定义作答即可. 解：该几何体的俯视图是 ． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】先由三视图得该几何体为长方体，再利用表面积求得长方体的高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 解：由三视图可得该几何体为长方体，它的长是6，宽是2，设高为h， ∵这个几何体的表面积是72， ∴，解得， ∴它的体积是． 【变式3】（2026·安徽安庆·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三视图逐一分析选项：主视图下半部分为矩形，上半部分是直角边在左下的直角三角形（斜边左上到右下）；左视图为上下拼接的两个矩形；俯视图是正方形． 解：A、主视图会得到顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图的直角三角形特征，排除； C、主视图上半部分为顶点在上的等腰三角形，不符合题干中的主视图，排除； D、主视图会得到上下两个矩形，没有上半部分的三角形，不符合题干，排除； B、从正面看，得到“下方矩形+上方直角三角形（斜边左上到右下）”，符合题干中的主视图；从左面看，得到上下两个拼接矩形，符合左视图；从上方看，得到正方形，符合俯视图，完全匹配． 【题型9】由三视图还原几何体 核心考点：根据三个视图的形状，想象出物体的立体形状，判断对应的几何体。 【例题9】（2026九年级·山东·专题练习）如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：观察几何体可知，该几何体的主视图是 【变式1】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 解：主视图是从正面看得到的图形，观察已知几何体，可知其主视图是一个长方形，中间有两条虚线， 故主视图是 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·二模）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度等于俯视图中该列小正方形内数字的最大值，从而求解． 解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 【变式3】（2026·河南平顶山·二模）如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定左视图的观察方向为从几何体左侧向右看，明确左视图的列数对应俯视图的行数．提取俯视图每一行小正方体个数的最大值，左视图每列的小正方形数量等于对应行的最大值．根据得到的每列小正方形数量，匹配对应选项． 解：左视图的列数等于俯视图纵向（上下方向）的行数，本题俯视图从上到下共3行，因此左视图共有3列； 左视图从左到右对应几何体从后到前（即俯视图从上到下），每一列的高度等于对应行里小正方体个数的最大值： 俯视图第一行（几何体后排）最大数字是3，因此左视图第一列高度为3； 俯视图第二行（几何体中排）最大数字是3，因此左视图第二列高度为3； 俯视图第三行（几何体前排）最大数字是2，因此左视图第三列高度为2； 综上，左视图从左到右三列高度依次为3、3、2，对应选项B． 【题型10】已知两个视图，补画第三个视图 核心考点：根据已知的两个视图，利用“长对正、高平齐、宽相等”的规则，推断并画出第三个视图。 【例题10】（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 解：根据题意，得，几何体数目如下 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体的主视图以及左视图都是矩形，俯视图也为一个菱形，可确定这个几何体是一个四棱柱． 解：依题意可求出该几何体的体积为． 【变式2】（2026·安徽宿州·二模）已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图的投影规律“长对正，高平齐，宽相等”进行分析，由主视图和俯视图确定几何体的形状及内部结构的位置，进而推断左视图的形状． 解：∵主视图为矩形且内部有两条竖直虚线，俯视图为大圆内部有一个小圆， ∴该几何体为大圆柱，中间挖去了一个圆柱形的孔， ∵主视图中虚线左右对称，俯视图中内部小圆左右居中， ∴小圆柱孔在左右方向上位于大圆柱中心， ∵俯视图中内部小圆靠下（即靠近观察者，位于前方）， ∴根据“宽相等”及左视图的投影规律（左视图的右侧对应几何体的前方），左视图中表示小圆柱孔的虚线应靠右， ∴左视图应为 【变式3】（2026·河北·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为已知几何体的主视图和左视图，所以解题突破口是根据主视图和左视图的形状特征，分析每个选项作为俯视图时，能否组合出符合已知主、左视图的几何体；如果某一选项作为俯视图，结合主、左视图无法构造出合理的几何体，那么该选项就是不可能的俯视图；需利用三视图的投影规律，即主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等，来逐一验证每个选项的合理性． 解：该几何体是两个柱体上下叠放，俯视图的外框是下柱体的底面，内部图形是上柱体的底面： 根据三视图的规则： 主视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 左右方向长度 左视图中，上层矩形的水平宽度上柱体底面的 前后方向长度 题目给出的主视图和左视图中，上层矩形的宽度相等，说明 上柱体底面的左右长度前后长度： 选项A、同心圆，内圆直径在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项B、大正方形内横放小长方形，小长方形的左右长度前后长度，因此主视图上层宽度会大于左视图上层宽度，与题目给出的主视图左视图矛盾，不可能； 选项C、大圆内正方形，正方形边长在左右、前后方向相等，符合要求，可能； 选项D、正方形内等腰直角三角形，三角形的左右最大长度前后最大长度（等于直角边长），符合要求，可能． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.3 投影与视图全章复习讲义【知识梳理+题型精析】 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】投影的基本概念 1 【知识点二】平行投影的应用规律 1 【知识点三】三视图的基本概念与画法规则 2 【知识点四】常见几何体的三视图 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】投影类型的识别：中心投影与平行投影 2 【题型2】中心投影的应用：点光源与影子变化 3 【题型3】平行投影的简单计算：物高与影长 4 【题型4】三视图的识别与判断 5 【题型5】简单几何体三视图的匹配 6 三.题型精析（巩固提升） 8 【题型6】影子落在墙面+地面的分段模型 8 【题型7】组合体三视图判断 10 【题型8】虚实线判断与空心几何体 11 【题型9】由三视图还原几何体 12 【题型10】已知两个视图，补画第三个视图 13 一.知识梳理 【知识点一】投影的基本概念 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面叫做投影面。 2. 中心投影：手电筒、路灯、台灯的光线从一个点发出，这样的光线形成的投影称为中心投影。特点：光线汇聚于一点（点光源）；物体离光源越近影子越大。 3. 平行投影：太阳光线是平行光线，平行光线形成的投影称为平行投影。 4. 正投影：在平行投影中，如果平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。正投影是特殊的平行投影。 5. 确定点光源的方法：分别连接物体顶端与其影子顶端并延长，两条直线的交点即为点光源位置。 【知识点二】平行投影的应用规律 1. 影子长短变化：上午影子由长变短，正午最短，下午影子由短变长。 2. 影子方向变化：从早晨到傍晚，影子方向大致为正西→西北→正北→东北→正东。 3. 同一时刻，太阳光下，不同物体的物高之比等于对应影长之比。 4. 影子落在墙面+地面的分段模型：过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造相似三角形，分段计算。 【知识点三】三视图的基本概念与画法规则 1. 主视图：从正面观察物体所看到的图形。 2. 左视图：从左面观察物体所看到的图形。 3. 俯视图：从上面观察物体所看到的图形。 4. 位置规定：俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。 5. 尺寸对应关系： （1）主视图与俯视图：长对正（长度相等） （2）主视图与左视图：高平齐（高度相等） （3）左视图与俯视图：宽相等（宽度相等） 6. 线条规则：看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。 【知识点四】常见几何体的三视图 1. 圆柱：主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆。 2. 圆锥：主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆。 3. 球：三视图都是圆。 4. 正方体：三视图都是正方形。 5. 长方体：三视图都是矩形。 6. 正三棱柱：主视图和左视图是矩形，俯视图是正三角形。 7. 正六棱柱：主视图和左视图是矩形，俯视图是正六边形。 8. 空心圆柱：三视图中内壁看不见的轮廓线必须画虚线。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】投影类型的识别：中心投影与平行投影 核心考点：根据光源特点判断投影类型——点光源（路灯、手电筒、台灯）是中心投影；太阳光（平行光线）是平行投影。 【例题1】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一些节假日或特定活动期间，榆林古城会有定边皮影等非遗表演．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影，又是中心投影 D．无法确定 【变式1】（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术，皮影戏是用灯光把人物剪影照射在银幕上，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·期末）早在多年前的宋朝，手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指送诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来”．手影戏全凭手影艺人的十指借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属于______（填“平行投影”或“中心投影”）． 【变式3】（2026·河北邯郸·三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为． （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是________（填写“平行投影”或“中心投影”）； （2）聚光灯距离地面的高度为________m． 【题型2】中心投影的应用：点光源与影子变化 核心考点：连接物体顶端与影子顶端找光源；物体靠近或远离点光源时影子长短变化规律。 【例题2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）下列四个选项中，图中的灯光与物体的影子是最合理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【变式3】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图是小红同学在某天的四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是_______． 【题型3】平行投影的简单计算：物高与影长 核心考点：同一时刻物高与影长成正比例，列比例式求解物体高度或影长。 【例题3】（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【变式3】（2026·广东深圳·二模）某店铺在窗户上方安装一个遮阳棚，如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角为．在某一时刻，一位身高的顾客在太阳光下的影长，则此时遮阳棚在地面上的影长为______m． 【题型4】三视图的识别与判断 核心考点：根据几何体判断三视图，或根据视图判断对应的几何体。 【例题4】（26-27九年级上·甘肃·期中）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图①，粗线表示嵌在正方体玻璃上的铁丝，图②是该正方体的三视图中的两个．两个视图的名称分别是_______． 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为的等边三角形，主视图的长为的矩形，则该几何体的左视图的面积为________． 【题型5】简单几何体三视图的匹配 核心考点：掌握圆柱、圆锥、球、棱柱等常见几何体的三视图形状，准确匹配。 【例题5】（2026·辽宁·模拟预测）如图所示的几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026九年级·内蒙古·专题练习）有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的数据，计算这个直四棱柱的表面积为__________． 三.题型精析（巩固提升） 【题型6】影子落在墙面+地面的分段模型 核心考点：影子一部分在地面、一部分在竖直墙面上，过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造相似三角形，分步计算。 【例题6】（25-26九年级下·江苏连云港·期中）学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．小王同学观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）已知小王同学的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则她的影子长为多少？ （2）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 【变式1】（2026·浙江温州·模拟预测）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为（　　） A．3m B．3.6m C．4m D．4.8m 【变式2】（25-26九年级上·全国·单元测试）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼5 m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子CD长为2 m，已知此时高1.4 m的竹竿在水平地面上的影子长1 m，那么这棵大树高________m． 【变式3】（25-26九年级上·广东茂名·期中）在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作； 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． （1）甲树的高度为多少米； （2）求出乙树的高度． 【题型7】组合体三视图判断 核心考点：由基本几何体组合而成的物体，分析各部分位置和遮挡关系，判断三视图。 【例题7】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，根据下列条件填空： （1）当去掉某一个小正方体时，与原几何体的三视图比较：去掉①时，左视图不变；去掉②时，______视图不变；去掉③时，______视图不变；去掉④时，______视图不变； （2）若保持主视图和左视图不变，则原来几何体上最多还可以再搭______个小正方体． 【变式1】（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）如图，将棱长为4的正方体截去一个棱长为2的小正方体后，得到一个新的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图，有由28块小正方体搭成的几何体，如果要拿走其中部分小正方体，但拿完后的几何体从正面看、从上面看、从左面看时视图跟原来的几何体从三个不同方向看的视图分别保持不变，那么最多可以拿走___________小正方体． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，是由6个棱长都为1的小立方体块搭建的几何体． （1）请在边长为1的小正方形组成的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图； （2）这个几何体的表面积（包括底部）是__________． 【题型8】虚实线判断与空心几何体 核心考点：看得见的轮廓画实线，看不见的轮廓画虚线；空心几何体的内壁必须用虚线表示。 【例题8】（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示的几何体，其中间部分有一个圆孔，则该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南新乡·二模）如图，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级下·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【变式3】（2026·安徽安庆·模拟预测）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（     ） A． B． C． D． 【题型9】由三视图还原几何体 核心考点：根据三个视图的形状，想象出物体的立体形状，判断对应的几何体。 【例题9】（2026九年级·山东·专题练习）如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·二模）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河南平顶山·二模）如图是由12个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【题型10】已知两个视图，补画第三个视图 核心考点：根据已知的两个视图，利用“长对正、高平齐、宽相等”的规则，推断并画出第三个视图。 【例题10】（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示的是一个几何体的三种视图，俯视图是菱形，根据图中数据（单位：），可得它的体积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽宿州·二模）已知某个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体的左视图可能是（） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河北·模拟预测）一个几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $