5.1 认识二次函数（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

第五章 二次函数 5.1 认识二次函数 知识点一 二次函数的概念 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示为的函数，叫做x 的二次函数，其中x是自变量。 注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3) a，b，c是常数，且a≠0. 即学即练 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：是一次函数，最高次项次数为1，不符合二次函数定义，故A不符合题意； 选项B：含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； 选项C：符合（，为常数）的形式，是整式函数，符合二次函数定义，故C符合题意； 选项D：含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义，故D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 知识点二 根据实际问题列二次函数表达式 ①根据题目信息，找到等量关系、已知量和未知量（自变量和因变量）； ②根据等量关系和已知量表示出未知量； ③将函数关系式变形为的形式。 即学即练 1．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 【答案】C 【详解】解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意； 对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意； 对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意； 对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意． 3．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 4．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 【答案】 【难度】0.85 【分析】先根据题意得到新正方形的边长. 再利用正方形面积公式列出与的关系式. 整理后即可得到函数解析式． 【详解】由题意可知，原正方形边长为，边长增加后，新正方形的边长为 根据正方形面积公式，可得： 展开整理得： 由的实际意义可知， ∴． 题型01 判断一个函数为二次函数 ·三个要点： ①是因变量关于自变量的整式； ②自变量的最高次数为2； ③二次项系数不等于0； 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）下列是关于的二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，含有分式，不是二次函数，故A错误； 对于B，，化简得，是一次函数，故B错误； 对于C，，展开得，是二次函数，故C正确； 对于D，，化简得，，不是整式，故D错误． 故选：C． 2．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①函数不是二次函数； ②函数是二次函数； ③函数不是二次函数； ④函数是二次函数； ⑤当时，函数不是二次函数； ⑥函数不是二次函数； ∴二次函数有②④，共2个， 故选：B． 题型02 确定二次函数的各项系数 步骤：①先化简为的形式；②判断各项系数 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【分析】本题考查了二次函数的定义，直接根据二次函数的标准形式识别常数项即可． 【详解】解：二次函数的常数项是1， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【难度】0.85 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 题型03 根据二次函数的定义求参数 ①先化简为的形式； ②根据自变量的最高次数为2列方程求解， ③根据二次项系数不为0，确定参数的范围 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2．若是二次函数，则________． 【答案】 【难度】0.75 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【难度】0.65 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 题型04 求自变量/因变量的值 ·找准变量，代数求值 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：将代入，得． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·江苏苏州·开学考试）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【分析】（1）根据正比例的定义设，，得到关于的含参数的解析式，再利用已知的两组,的值列方程组求出参数，用待定系数法得到函数关系式； （2）代入计算得到对应的函数值． 【详解】（1）解：∵与成正比例，与成正比例， ∴设，， ∵， ∴， 将和分别代入上式， 得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）将代入，得． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 题型05 列二次函数表达式 ·步骤： ①审题，提取关键信息； ②分析变量并找准变量之间的关系，列等量关系； ②变形为二次函数的一般形式。 二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义（长、宽、高、周长、数量、单价等数量值都要大于0）. 典｜例｜精｜析 1．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【难度】0.75 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)销售单价应为元 【难度】0.56 【分析】（1）根据题意进行计算即可； （2）根据题意列出关系式即可； （3）将代入（2）中的关系式，解方程求出的值，并根据题意进行取舍． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价定为每千克55元，月销售量为（千克）， 月利润为（元）； （2）解：根据题意可得，； （3）解：将代入，得， ， 整理，得， 解得，， 当时，月销售量为（千克）； 当时，月销售量为（千克）； ∵， 又∵需要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应为元． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 2．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)应将价格定为元/千克 【难度】0.8 【分析】（1）利用利润＝（售价-成本）×销售量可得出关于的函数关系式； （2）令，求出的值，再根据题意对的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：根据题意可知降价后平均每天可以销售荔枝千克， ， 整理得； （2）解：令，代入函数表达式得：， 解得：， 要让顾客得到实惠，售价应尽可能低， ∴， ∴此时荔枝定价为（元/千克）． 答：应将价格定为元/千克． 3．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.52 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据垂线的定义得到，可知，根据可知四边形是平行四边形； （2）先证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进而可知平行四边形是菱形，得到，根据三角函数得到，根据菱形面积公式即可求出与的函数关系式． 【详解】（1）证明：中，，， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形 （2）解：中，，， ， 是直角三角形， 为的中点， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形 ， 中，， ， 四边形的面积y与x的函数关系式为． 题型06 图形动点问题中的二次函数关系 ·解题思路 ①根据题意对动点位置进行分类讨论； ②分析几何关系、线段长度与动点运动路程的关系； ③用含t的式子表示相关线段的长、继而表示相关图形的面积。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中，，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒（）． (1)当t为何值时，？ (2)当时，设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． 【答案】(1)当时， (2) 【分析】（1）利用矩形性质，以及勾股定理求出，根据题意得到,,证明，利用相似三角形性质求出，再根据建立方程求解，即可解题； （2）根据矩形性质证明，过点作于点，结合矩形的性质和判定，以及相似三角形性质，分别表示出，再根据整理出S关于t的函数表达式即可； 【详解】（1）解：四边形为矩形，，， ，， ， 运动时间是t秒， ， ， ， ， ,即， 整理得， ， ， 解得； （2）解：四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 过点作于点， ,， ， ， 四边形为矩形， ,， ， ， 解得， ； 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为S，求S与t的函数关系式； 【答案】(1)时，与相似 (2) 【分析】（1）先根据题意可得，，再根据相似三角形的性质可得，然后求出t值即可； （2）先表示出，，，再根据可得答案； 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴， ， 若，则， 即， 解得： ， 即： 时，与相似； （2）解：由题意得：，，， ； 2．（2026·广东江门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点为轴上一动点．连接，线段的垂直平分线分别交，轴于点，，过点作轴的垂线交直线于点，连接，． (1)当点不在原点处时，请直接写出四边形的形状； (2)设点坐标为，点在轴上运动时，求出与之间的函数关系式； 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】（1）先由是中垂线得，，再证，得，最后根据四边形四边相等判定菱形； （2）先由推出，再由中垂线性质得，最后通过两点距离列式化简，得抛物线解析式； 【详解】（1）解：∵直线是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵点坐标为，轴， ∴点坐标为， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理得：； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数 5.1 认识二次函数 知识点一 二次函数的概念 一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示为 的函数，叫做x 的二次函数，其中x是自变量。 注意：(1)等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；(2)等号的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；(3) a，b，c是常数，且a≠0. 即学即练 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）下列函数表达式中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 3．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 知识点二 根据实际问题列二次函数表达式 ①根据题目信息，找到等量关系、已知量和未知量（自变量和因变量）； ②根据等量关系和已知量表示出未知量； ③将函数关系式变形为的形式。 即学即练 1．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 2．下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　） A．铅笔的单价不变，总价y与支数x B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C．正方体的表面积y与它的棱长x D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x 3．（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·甘肃张掖·阶段检测）一个正方形的边长为，它的边长增加后，得到新的正方形的面积为，则y关于x的函数解析式为________． 题型01 判断一个函数为二次函数 ·三个要点： ①是因变量关于自变量的整式； ②自变量的最高次数为2； ③二次项系数不等于0； 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）下列是关于的二次函数的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次函数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 确定二次函数的各项系数 步骤：①先化简为的形式；②判断各项系数 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）二次函数的常数项是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 题型03 根据二次函数的定义求参数 ①先化简为的形式； ②根据自变量的最高次数为2列方程求解， ③根据二次项系数不为0，确定参数的范围 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若是二次函数，则________． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 4．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 题型04 求自变量/因变量的值 ·找准变量，代数求值 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 变｜式｜巩｜固 1．（22-23八年级下·江苏苏州·开学考试）若，且与成正比例，与成正比例，当时，；当时，； (1)求y与x的函数关系式； (2)时，函数的值为多少？ 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 题型05 列二次函数表达式 ·步骤： ①审题，提取关键信息； ②分析变量并找准变量之间的关系，列等量关系； ②变形为二次函数的一般形式。 二次函数自变量的取值范围：一般都是全体实数，但是在一些实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义（长、宽、高、周长、数量、单价等数量值都要大于0）. 典｜例｜精｜析 1．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 2．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元，则月销售量为__________千克．月利润为__________元． (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，用含的式子表示． (3)为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·辽宁锦州·期中）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为元/千克的荔枝，以元/千克售出时，每天能售出千克．市场调研表明：当售价每降低元/千克时，平均每天能多售出千克．设降价元． (1)设销售利润为元，请写出关于的函数关系式； (2)该水果店想要荔枝的销售利润平均每天达到元，且让顾客得到实惠，应将价格定为每千克多少元？ 3．（2026·云南楚雄·二模）如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 题型06 图形动点问题中的二次函数关系 ·解题思路 ①根据题意对动点位置进行分类讨论； ②分析几何关系、线段长度与动点运动路程的关系； ③用含t的式子表示相关线段的长、继而表示相关图形的面积。 典｜例｜精｜析 1．（2026·山东青岛·三模）如图，在矩形中，，，点P沿着从B向C运动，同时点Q沿着从D向B运动，两点的速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．在点Q运动的同时，过点Q作的平行线，交于点E，交于点F．设运动时间是t秒（）． (1)当t为何值时，？ (2)当时，设四边形的面积是S，请你写出S关于t的函数表达式． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在矩形中，，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，； (2)设的面积为S，求S与t的函数关系式； 2．（2026·广东江门·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，点为轴上一动点．连接，线段的垂直平分线分别交，轴于点，，过点作轴的垂线交直线于点，连接，． (1)当点不在原点处时，请直接写出四边形的形状； (2)设点坐标为，点在轴上运动时，求出与之间的函数关系式； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $