5.1　认识二次函数 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

5.1　认识二次函数 教学目标 1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 重点难点 　　重点：理解、掌握二次函数的概念和一般形式. 难点：列二次函数表达式解决实际问题. 教学过程 情景导入 已知长方形窗户的周长为6m，面积为ym2，宽为xm.你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？ 探究新知 探究点一　二次函数的概念 【例1】下列函数中是二次函数的有（　　） ①y＝x＋；②y＝3（x－1）2＋2；③y＝（x＋3）2－2x2；④y＝＋x. A.4个　 B.3个 C.2个　 D.1个 【解析】①y＝x＋，④y＝＋x的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y＝3（x－1）2＋2，符合二次函数的定义；③y＝（x＋3）2－2x2＝－x2＋6x＋9，符合二次函数的定义. 【答案】C 【方法总结】判定一个函数是不是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0. 【例2】当k为何值时，函数y＝（k－1）＋1为二次函数？ 【解析】根据二次函数的概念，可得k2＋k＝2且k－1≠0. 【解】∵函数y＝（k－1）＋1为二次函数， ∴k2＋k＝2，k－1≠0，解得k＝1或－2，k≠1， ∴k＝－2. 【方法总结】解答本题要考虑两方面：一是x的次数等于2；二是二次项系数不等于0. 探究点二　从实际问题中抽象出二次函数表达式 【例3】如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD.设AB边长为xm，求菜园的面积y（单位：m2）与x（单位：m）之间的关系式. 【解析】根据AB边长为xm可以推出BC＝（30－x）m，然后根据矩形的面积公式即可求出y与x之间的关系式. 【解】∵AB边长为xm，而菜园ABCD是矩形，∴BC＝（30－x）m，∴菜园的面积＝AB·BC＝x（30－x）m，则菜园的面积y与x之间的关系式为y＝－x2＋15x. 【方法总结】函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化.有些题目以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式. 课堂训练 1.下列函数中，是二次函数的是（　　） A.y＝6x2＋1 B.y＝6x＋1 C.y＝ D.y＝－＋1 2.若y＝（2－a）是二次函数，则a的值为　　　　. 3.某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数表达式为　　　　　　　　. 板书设计 1　认识二次函数 1.二次函数的概念. 2.从实际问题中抽象出二次函数表达式. 课堂小结 学习了二次函数的概念及列简单二次函数的表达式，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. 教学反思 　　二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是一种客观反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的数学模型.许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究.本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求 一些简单实际问题中二次函数的表达式.在教学过程中要重视二次函数概念的形成和构建，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数表达式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 答案 课堂训练 1.A　2.－2 3.y＝200x2＋600x＋600 学科网（北京）股份有限公司 $