专题 4.1 投影【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题 4.1 投影【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】投影的相关概念 1 【知识点二】中心投影 1 【知识点三】平行投影与正投影 1 【知识点四】太阳光下影子的变化规律 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】识别判断中心投影、平行投影、正投影 2 【题型2】投影作图问题 4 【题型3】太阳光下影子长短、方向变化判断 6 【题型4】投影与相似的基本计算 8 三.题型精析（巩固提升） 11 【题型5】平行投影利用相似求物高、影长 11 【题型6】影子落在墙面或地面综合计算 14 四.中考链接 19 一、单选题 19 二、填空题 20 三、解答题 24 一.知识梳理 【知识点一】投影的相关概念 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面叫做投影面。 2. 产生投影需要的条件：物体、光线、投影面。 【知识点二】中心投影 1. 定义：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 2. 特点：光线汇聚于一点（点光源）；物体距离光源远近不同，影子大小会发生变化。 3. 确定点光源的方法：分别连接物体顶端与其影子顶端并延长，两条直线的交点即为点光源位置。 【知识点三】平行投影与正投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 2. 正投影：在平行投影中，如果平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。 3. 注意：正投影是特殊的平行投影。 【知识点四】太阳光下影子的变化规律 1. 长短变化：上午，物体影子由长逐渐变短；正午影子最短；下午影子由短逐渐变长。 2. 方向变化：从早晨到傍晚，物体影子的指向大致为：正西→西北→正北→东北→正东。 3. 同一时刻，太阳光下，不同物体的物高之比等于对应影长之比。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】识别判断中心投影、平行投影、正投影 核心考点：根据光线来源判断投影类型——中心投影（路灯、手电筒、台灯）光线交于一点；平行投影（太阳光）光线互相平行。 【例题1】（26-27九年级上·全国·单元复习）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 【答案】， 【分析】明确投影的分类，投影分为平行投影和中心投影， 再根据各字母投影的光线特征，确定与字母“”投影类型相同的字母． 解：平行投影时光线是平行的，光线之间互不相交，如太阳光；中心投影时光线从同一个点发射出来，光线交汇于一点，离光源越近，影子越大，灯光、手电筒等． 观察字母“”的投影，其光线呈现平行特征，因此字母“”的投影属于平行投影； 观察字母“”的投影，其光线交于一点，符合中心投影的特征，故字母“”的投影为中心投影； 观察字母“ ”和“ ”的投影，其光线互相平行，符合平行投影的特征，故字母“ ”和“ ”的投影为平行投影； ∴与字母“”属于同一种投影的字母是，． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 【答案】A 【分析】从路灯光源类型入手，结合投影的分类定义判断. 解：∵路灯属于点光源，点光源形成的投影为中心投影. ∴夜晚路灯下行人的影子属于中心投影. 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正投影的概念，熟练掌握平行光线垂直于投影面时的投影为正投影是解题关键． 当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元测试）宋代诗人欧阳修在《送裴如晦之吴江》中写道“鸡鸣车马驰，夜半声未已．皇皇走声利，与日争寸晷”．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，则晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】根据太阳光属于平行光线解答即可． 解：∵太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻， ∴晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 【题型2】投影作图问题 核心考点：连接物体顶端与影子顶端并延长，交点即为点光源；根据光源位置画出物体影子。 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）小高在太阳光下的影子如图所示，请画出此时婷婷在太阳光下的影子（用线段表示）． 【答案】婷婷在太阳光下的影子，如图所示： 【分析】首先连接小高头顶点和影子的顶点得到光线，然后从婷婷头的顶点作小高的太阳光线的平行线即可． 解：略 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】如图，点即为所求，线段即为所求． 【分析】本题考查中心投影，连接并延长，交点即为光源的位置，连接，作，交于点，即为所求． 解：略 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． （1）在图中画出光源的位置（用点P表示）； （2）此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； （3）在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【答案】（1）如图，点P即为所求： （2）中心投影；（3）如图所示，为所求． 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据在同一时刻同一光源下立柱形成的影子为与，连接并延长交于点P，即为所求； （2）因为所有光线均从同一个点P发出，呈发散状，且不同立柱的影子方向不平行，符合中心投影的特征，即可解答； （3）连接并延长交地面于点M，则为所求． 解：（1）如图，点P为光源的位置，点P即为所求： （2）解：此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影； （3）如图所示，线段为立柱在此光源下所形成的影子，则为所求． 【变式3】（24-25九年级下·全国·课后作业）把下列物体与它们的投影用线连接起来． 【答案】 【分析】本题主要考查了正投影，理解投影的定义成为解答本题的关键． 根据正投影的定义即可解答． 解：略 【题型3】太阳光下影子长短、方向变化判断 核心考点：识记一天之内影子长短和方向的变化规律，区分太阳光影子与路灯影子的特征。 【例题3】（25-26九年级下·全国·单元复习）下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握中心投影的定义． 根据中心投影的定义，逐个进行判断即可． 解：A、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线不会交于一点，不符合中心投影的特征，故A选项错误； B、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线交于一点，符合中心投影的特征，故B选项正确； C、连接两棵树的顶端和其影子的顶端，这两条线是平行的，符合平行投影的特征，不是中心投影，故C选项错误； D、图中树高与影子成反比，故D选项错误． 故选：B． 【变式1】（人教版九年级 29.1 投影）物体的影子在正北方，则太阳在物体的（    ）． A．正北 B．正南 C．正西 D．正东 【答案】B 【分析】物体的影子在正北方，则太阳在物体的正南方向，故可求解． 解：∵物体的影子在正北方， ∴太阳在物体的正南方． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【答案】D 【分析】从一天中太阳高度的变化规律切入，推导纪念碑影子的长度变化. 解：从早到晚，太阳高度先变大后变小. 同一物体在太阳光下的影子长度随太阳高度增大而变短，随太阳高度减小而变长. 因此纪念碑的影子先变短后变长. 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）两根立柱一天中四个不同时刻的影子如图所示，请将这四幅图按时间先后顺序进行排列，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： 因为影子的方向是从西面开始，随着时间的变化逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序，长短是先长后短再长的规律，所以这四幅图按时间先后顺序为． 【分析】从物体影子的方向、长短的变化规律来确定时间的顺序． 解：略 【题型4】投影与相似的基本计算 【例题4】16．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 【变式1】（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴小树高度． 故答案为：8． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． （2）已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 【答案】（1）中心投影；（2） 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． （1）解：∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 解得， 路灯的高度为4.4米 三.题型精析（巩固提升） 【题型5】平行投影利用相似求物高、影长 核心考点：同一时刻物高与影长成正比例，列比例式求解物体高度或影长。 【例题5】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯在阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【答案】（1）解：由题意作图如下： （2） 【分析】（1）根据太阳光是平行光，连接，过作的平行线即可； （2）根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，得到，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可. 解：（1）略 （2）解：如图，设直线交于点J． 由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用台阶顶端高度与影长求出光线比例，根据树梢影子落在左端点的位置关系列方程求解． 解：由题意可知，台阶顶端距地面高度为，其在地面上的影长， 此时物高与影长的比为， 树梢的影子落在台阶的左端点处，该点距地面高度为， 该点距大树的水平距离为， 设大树的高度为， ， 解得， 大树的高度约是． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 【变式3】（2026·陕西渭南·二模）陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为 【分析】设，可得和，证明，根据相似三角形的性质列方程求解． 解：设， ， ， ， ， ， ， ， 由题意知，，， ， ，即， 解得， ∴纪念碑的高度为． 【题型6】影子落在墙面或地面综合计算 核心考点：影子一部分在地面、一部分在竖直墙面上，过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造相似三角形，分步计算。 【例题5】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为米．小明观察到高为米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）小明的身高为米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ （2）此刻测得高立柱落在墙上的影长为米，求高立柱的高度． 【答案】（1）小明的影长为米；（2）高圆柱的高度为米 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据同一时刻，物长与影长成正比，构建方程即可解决问题． （2）如图，连接，作分别求出的长即可解决问题． （1）解：设小明的影长为x米． 由题意得，解得， 经检验：是分式方程的解． 小明的影长为米； （2）解：如图，连接AE，作 ， 四边形是平行四边形， 米， 设米， 由题意落在地面上的影长为米． ， ， 米， 答：高圆柱的高度为米． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【变式2】（25-26九年级下·北京东城·阶段检测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是__________． 【答案】 【分析】根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解． 解：根据题意，画图如下， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即，解得，， ∴树的高度为． 【点睛】本题主要考查投影的性质，相似三角形的性质，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的性质等知识是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示． （1）画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子） （2）如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度． 【答案】（1）如图所示： （2）的高度为1.75米 【分析】本题考查了平行投影的知识，相似三角形的应用． （1）先画出线段，并作出的垂线，过点C作，交于点F；此时在太阳下的影子为线段； （2）过点F作于点G，由，据此列式计算即可求解． 解：（1）略 （2）解：过点F作于点G，则，， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（米） 答：的高度为1.75米． 四.中考链接 一、单选题 1．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性． 分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项． 解：选项点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确． 选项夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误． 选项的平方根是，并非只有2，该选项错误． 选项垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误． 故选：A． 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解． 解：A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意； D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 二、填空题 4．（2026·四川雅安·一模）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 【答案】 【分析】设两条光线分别切皮球于点，交地面于点，由题意可得， ，过点作于点 ，根据平行线的性质，矩形的判定和性质可得，四边形是矩形 ， ，根据太阳光线与地面成的角，余角的性质，求出，利用解直角三角形进行解答，即可． 解：如图，设两条光线分别切皮球于点，交地面于点， ∴ ， 过点作于点 ， ∵太阳光线是平行的 ， ∴ ， ∵是皮球直径，光线与球相切， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴四边形是矩形 ， ∴ ， ∵太阳光线与地面成的角， ∴ ， ∴， ∴在中，， ∴， ∴皮球的直径是 ． 5．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【分析】证明，得出对应边成比例，求出相关线段即可． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 解得． 三、解答题 6．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． （2）求纪念碑的高度． （3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）纪念碑的高度为；（3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 解：（1）略 （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）略 7．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． （1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是____________m． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处；（2）6；（3）①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． （1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 4.1 投影【知识梳理+题型精析+中考链接】 目录 一.知识梳理 1 【知识点一】投影的相关概念 1 【知识点二】中心投影 1 【知识点三】平行投影与正投影 1 【知识点四】太阳光下影子的变化规律 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】识别判断中心投影、平行投影、正投影 2 【题型2】投影作图问题 3 【题型3】太阳光下影子长短、方向变化判断 4 【题型4】投影与相似的基本计算 5 三.题型精析（巩固提升） 6 【题型5】平行投影利用相似求物高、影长 6 【题型6】影子落在墙面或地面综合计算 7 四.中考链接 9 一、单选题 9 二、填空题 9 三、解答题 10 一.知识梳理 【知识点一】投影的相关概念 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面叫做投影面。 2. 产生投影需要的条件：物体、光线、投影面。 【知识点二】中心投影 1. 定义：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 2. 特点：光线汇聚于一点（点光源）；物体距离光源远近不同，影子大小会发生变化。 3. 确定点光源的方法：分别连接物体顶端与其影子顶端并延长，两条直线的交点即为点光源位置。 【知识点三】平行投影与正投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影。 2. 正投影：在平行投影中，如果平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影。 3. 注意：正投影是特殊的平行投影。 【知识点四】太阳光下影子的变化规律 1. 长短变化：上午，物体影子由长逐渐变短；正午影子最短；下午影子由短逐渐变长。 2. 方向变化：从早晨到傍晚，物体影子的指向大致为：正西→西北→正北→东北→正东。 3. 同一时刻，太阳光下，不同物体的物高之比等于对应影长之比。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】识别判断中心投影、平行投影、正投影 核心考点：根据光线来源判断投影类型——中心投影（路灯、手电筒、台灯）光线交于一点；平行投影（太阳光）光线互相平行。 【例题1】（26-27九年级上·全国·单元复习）四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图所示，则在字母“”“ ”“ ”的投影中，与字母“”属于同一种投影的字母是_______． 【变式1】（26-27九年级上·全国·单元复习）夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元测试）宋代诗人欧阳修在《送裴如晦之吴江》中写道“鸡鸣车马驰，夜半声未已．皇皇走声利，与日争寸晷”．如图，日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，则晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【题型2】投影作图问题 核心考点：连接物体顶端与影子顶端并延长，交点即为点光源；根据光源位置画出物体影子。 【例题3】（26-27九年级上·全国·课后作业）小高在太阳光下的影子如图所示，请画出此时婷婷在太阳光下的影子（用线段表示）． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【变式2】（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，在地面上竖直安装着，，三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱，形成的影子分别为与． （1）在图中画出光源的位置（用点P表示）； （2）此光源下形成的投影是__________（填“中心投影”或“平行投影”）； （3）在图中画出立柱此时在该光源下所形成的影子（用线段表示）． 【变式3】（24-25九年级下·全国·课后作业）把下列物体与它们的投影用线连接起来． 【题型3】太阳光下影子长短、方向变化判断 核心考点：识记一天之内影子长短和方向的变化规律，区分太阳光影子与路灯影子的特征。 【例题3】（25-26九年级下·全国·单元复习）下面四幅图中，能表示两棵树在同一盏路灯下的是 ．（填对应选项） A． B． C． D． 【变式1】（人教版九年级 29.1 投影）物体的影子在正北方，则太阳在物体的（    ）． A．正北 B．正南 C．正西 D．正东 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元复习）晴天时，从早到晚，纪念碑在太阳光下的影子长度变化是（     ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变长后变短 D．先变短后变长 【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）两根立柱一天中四个不同时刻的影子如图所示，请将这四幅图按时间先后顺序进行排列，并说明理由． 【题型4】投影与相似的基本计算 【例题4】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【变式1】（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【变式2】（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 【变式3】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小树在路灯的照射下形成投影． （1）此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． （2）已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 三.题型精析（巩固提升） 【题型5】平行投影利用相似求物高、影长 核心考点：同一时刻物高与影长成正比例，列比例式求解物体高度或影长。 【例题5】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在校园一面围墙前有一盏路灯．小明在阳光下借助竹竿测量路灯的高度，线段表示竹竿在地面上的影子． （1）请画出此刻路灯在阳光下的影子； （2）测得，围墙与路灯之间的距离，路灯的影子落在围墙上的高度为，求路灯的高度． 【变式1】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点A的影子落在台阶的左端点处．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度约是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【变式3】（2026·陕西渭南·二模）陕西省渭南市渭华起义纪念馆旁，巍然耸立着一座雄伟的标志性建筑物——渭华起义纪念碑．某综合与实践小组开展测量该纪念碑高度的活动，如图，纪念碑的顶端在阳光下的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆的顶端在阳光下的影子落在点处，在纪念碑另一侧点处测出纪念碑的顶端的仰角，测得，，，已知，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该实践小组求纪念碑的高度． 【题型6】影子落在墙面或地面综合计算 核心考点：影子一部分在地面、一部分在竖直墙面上，过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造相似三角形，分步计算。 【例题5】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，某小区文化墙前面有两根高度不一的圆柱形立柱，立柱与文化墙均垂直于地面，且两立柱与墙的距离均为米．小明观察到高为米的矮立柱的影子完全落在地面上，其影长为米；而高立柱的部分影子落在墙上．假设落在地面上的影子均与墙面互相垂直，在不计立柱粗细与影子宽度的情况下，请回答下列问题： （1）小明的身高为米，此刻他的影子完全落在地面上，则小明的影长为多少米？ （2）此刻测得高立柱落在墙上的影长为米，求高立柱的高度． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【变式2】（25-26九年级下·北京东城·阶段检测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是__________． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示． （1）画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子） （2）如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度． 四.中考链接 一、单选题 1．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2026·四川雅安·一模）如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______ ． 5．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 三、解答题 6．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． （2）求纪念碑的高度． （3）小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 7．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． （1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是____________m． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $