期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （北师大版七年级上册：期中核心压轴考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：数轴动点：点沿数轴运动，求两点距离、求运动时间t（分类讨论） 2 题型2：绝对值几何意义阅读理解探究 8 题型3：周期型数字、图形规律探究，猜想第n个表达式并求值验证 13 题型4：高难度变形的整体代入求值探究题 17 题型5：三视图小正方体计数多解（最多、最少小正方体个数） 22 题型6：点阵、图形迭代类多小问规律探究大题 26 题型7：有理数背景阅读理解新定义 33 题型8：动点背景，利用代数式表示距离、表示图形面积，求参数t 42 题型9：跨章节综合压轴题（给定部分条件，求代数式的值，多情况） 51 一、专题定位 本专题面向北师大版七上期中优生培优冲刺，针对选择填空压轴与解答最后1至2道大题，整合第1至第3章难点。侧重数轴动点问题、绝对值几何意义、复杂规律探究、阅读理解新定义、多情况分类讨论；训练读图、挖掘条件、分类画图、代数建模能力。攻克数轴动点、复杂规律、阅读理解新定义等拉分题型。适配期中第三轮培优、压轴专项讲评与优生限时训练，突破高分瓶颈。严格限定第1至第3章，无超纲内容。 二、核心考点梳理 章节 考点 丰富的图形世界 复杂图形规律探究；三视图计数的多解情况；展开图阅读理解探究；立体图形结合代数参数计算 有理数及其运算 数轴动点问题（点运动，求距离，求时间t，分类讨论）；绝对值几何意义阅读理解探究；数轴多情况分类讨论；有理数背景新定义压轴题 整式及其加减 复杂变形的整体代入；多组条件代数式求值；复杂数字、周期规律，猜想第n个代数式并验证；规律探究多小问链式问题 跨章节压轴综合 数轴动点结合绝对值列等式求解；图形与数字综合规律；有理数新定义阅读探究；动点背景建立代数式求参数；多情况分类讨论的探究大题 三、压轴与拓展 题型1：数轴动点：点沿数轴运动，求两点距离、求运动时间t（分类讨论） 1.（25-26七年级上·天津·期中）已知，且，满足，请回答下列问题： （1）请直接写出，的值：______；______； （2）在数轴上，，所对应的点分别为，，． ①记，两点间的距离为，则______；______． ②点为该数轴的动点，其对应的数为，点在点与点之间运动时（包含端点），则______；______． （3）在（1）（2）的条件下，若点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，当点运动到点时，点从出发，以每秒3个单位长度向点运动．当点到达点后，点，点同时停止运动，设点移动时间为移，当点开始运动后，请用含的代数式表示，两点间的距离． 【答案】（1）；（2）①16，36；②，；（3）当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴上两点距离、数轴上的动点问题等知识点，掌握数轴上的动点问题是解题的关键． （1）利用平方和绝对值的非负性即可求出a和b的值； （2）①根据数轴上两点距离公式计算和；②根据数轴上两点距离公式表示动点P到A和C的距离即可； （3）先确定点M和点N的运动过程，再计算它们的位置，最后用含t的代数式表示MN的距离即可． （1）解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴，． 故答案为：16，36． ②∵点P在点A与点C之间运动，且点A对应，点C对应10， ∴x的取值范围为， ∴， ∵， ∴，， ∴，． 故答案为：，． （3）解：点M从A出发以每秒1个单位向C移动，点M的位置为：， 点N从秒开始从A出发以每秒3个单位向C移动，点N的位置为：， 当点N到达C点时，即，解得：，此时点M和点N停止运动． 点M和点N的距离为：， ∵， ∴当时，，∴， 当时，，∴． 2.（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 3.（25-26七年级上·山东日照·期中）如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为___________． 【答案】2401 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的乘方运算，根据题意，得到当点在点处时，点到三点的距离之和最大，当点在点处时，点到三点的距离之和最小，求出的值，再根据有理数的乘方法则进行计算即可． 解：∵数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度， ∴两点间的距离为4个单位长度， ∵有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止， ∴当点在点处时，点到三点的距离之和最小为；当点在点处时，点到三点的距离之和最大为； ∴， ∴； 故答案为：2401 4.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． （1）点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； （2）若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】（1）点M表示的数为50；（2）①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． （1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 题型2：绝对值几何意义阅读理解探究 1.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数； （1）_____，_____，_____； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． （3）在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． （4）在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）1,10；（4）当时，；当时， 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵为最小正整数， ∴， 故答案为：； （2）解：根据点与点重合得出中点为， ∴点的重合点为， 故答案为：； （3）解：根据绝对值的几何意义得， 表示到的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当时，的值最小， 此时，， 故答案为：1,10； （4）解：乙球到达挡板所需时间为， ①当时，； ②当时，． 2.（25-26七年级上·江苏南京·期中）下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义、数轴的性质．根据绝对值的定义得出，即可得出或，再结合数轴判断即可． 解：∵， ∴， ∴或， 故选：B． 3.（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 4.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与两点之间的距离是___________． （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________． （3）同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是___________． （4）由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）7；（2）；（3），，，0，1；；（4）当时，的最小值为18 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）根据数轴上两点间距离的求法直接写出即可； （3）根据绝对值的几何意义可知当时，，求出符合的整数即可． （4）根据绝对值的几何意义可知当时，有最小值． 解：（1）， 表示5与两点之间的距离是7， 故答案为：7； （2）数轴上表示与2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）与1的距离为4， 当时，， 是整数， 的值为，，，0，1， 故答案为：，，，0，1； （4）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对应的点到、和8所对应的点的距离之和， 当时，的最小值为18． 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． 题型3：周期型数字、图形规律探究，猜想第n个表达式并求值验证 1.（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列各式： ；；；； （1）根据你发现的规律，计算： ； （2）请用一个含n的代数式表示计算结果． ； （3）根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 【答案】（1）55；（2）；（3）2485 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． （1）解：． （2）解：． （3）解： ． 2.（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）观察下面的数：按着规律排下去，那么第16行从左边数第2个数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，则第行有个数，前行有个数，据此确定第16行从左边数第2个数的绝对值；在结合奇数行第一个数为负，偶数行第一个数为正，之后正负数交替出现，即可确定答案． 解：根据题意， 第一行有1个数， 第二行有3个数， 第三行有5个数， … 则第行有个数， ∴前行有个数， ∴前15行共有个数， 则第16行从左边数第2个数的绝对值为227； 由题意可知，奇数行第一个数为负，偶数行第一个数为正，之后正负数交替出现， 故第16行从左边数第2个数为负， 故第16行从左边数第2个数为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字规律探索，理解题意，弄清规律是解题关键． 3.（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，正多边形的边上按规律排列着部分点．第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，……按照此规律，第10个图形中点的个数为__________． 【答案】120 【分析】本题考查了图形的规律，发现图形变化规律与图形序号的关系是解题的关键．先根据已有图形观察、归纳图形变化规律与图形序号的关系，然后运用规律即可解答． 解：第一个图形中点数为， 第二个图形中点数为， 第三个图形中点数为， 第四个图形中点数为， …… 第n个图形中点数为， 当时，． 故答案为：120． 4.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在城市的景观设计中，常常会运用到各种精美的镶嵌图案来美化环境．某景观设计工作室正在研究一种由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成的平面镶嵌图案，如图所示，这种图案不仅具有独特的视觉效果，还蕴含着一定的数学规律．    观察上述规律，解答下列问题： （1）第4个图案有___________个等边三角形； （2）第n个图案有___________个正方形，___________个等边三角形；（用含n的代数式表示） （3）现有398个等边三角形，按此规律继续镶嵌图案，若要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 【答案】（1）13；（2）n，；（3）132 【分析】（1）第1个图案有1个正方形，4个等边三角形， 第2个图案有2个正方形，个等边三角形， 第3个图案有3个正方形，个等边三角形， 第4个图案有4个正方形，个等边三角形，解答即可； （2）第个图案有n个正方形，个等边三角形． （3）根据题意，等边三角形最少剩余1个，于是得，此时正方形的个数最多，解答即可． 本题属于图形变化类规律题，关键在于通过观察前几个图案的数量特征，归纳出通用的数学表达式．解题时需仔细统计每个图案的正方形数量，等边三角形数量与序号n的线性关系，从而确定规律． （1）解：根据题意， 第1个图案有1个正方形，4个等边三角形， 第2个图案有2个正方形，个等边三角形， 第3个图案有3个正方形，个等边三角形， 第4个图案有4个正方形，个等边三角形． 故答案为：13． （2）解：根据题意，得第个图案有n个正方形，个等边三角形． 故答案为：n，． （3）解：根据题意，等边三角形最少剩余1个， 得， 解得． 故正方形的个数为132． 题型4：高难度变形的整体代入求值探究题 1.（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整体思想在整式加减中的应用． （1）通过合并同类项系数求解； （2）将已知条件整体代入求值； （3）通过等式变换和整体代入求值． （1）解： ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ． 2.（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 【答案】A 【分析】利用已知条件求出的值，然后代入时的表达式计算． 本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：∵当时，， 即， ∴. 当时，， ∵， ∴原式 故选：A． 3.（25-26七年级上·广西贵港·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛．若代数式的值是8，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查代数式的求值，解题的关键是掌握整体思想． 利用整体思想，将目标代数式变形后代入已知值求解． 解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 4.（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 【答案】（1）7；（2）；（3）2或4小时 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式变形后整体代入已知数值计算即可； （2）将原式去括号，合并同类项后并整理，然后整体代入已知数值计算即可； （3）由题意易得，则，根据题意分相遇前两人相距20千米和相遇后两人相距20千米列式计算即可． 解：（1）， ， 故答案为：7； （2），， ； （3）由题意得， 则， 若相遇前两人相距20千米时， （小时）， 若相遇后两人相距20千米时， （小时）， 即甲、乙两人出发2小时或4小时后两人相距20千米． 题型5：三视图小正方体计数多解（最多、最少小正方体个数） 1.（25-26六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体 【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论． 解：结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：    最多有：（个）， 最少有：（个）， 即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体． 【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型． 2.（25-26七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，应分别根据从前面、上面和左侧面的形状，综合起来考虑整体形状．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看最有多少个小立方体，综合考虑即可解答本题． 解：根据从上面看到的图可得，第一层有5个小立方体； 根据从正面看到的图可知：共有2层，第二层最多有4个小立方体， ∴搭成该几何体最多需要小立方块的个数是（个）， 故选：B． 3.（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______． 【答案】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体；在上面看到的图形中标出相应的位置小立方体的数量可能的情况即可． 解：需要小立方块最多时，如图所示， 从图中可得：； 当需要小立方块最少时，如图所示， 从图中可得：； ． 故答案为：． 4.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． （3）若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 【答案】（1）解：从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示： （2）；（3） 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，求小立方块堆砌图形的表面积，熟练掌握及运用空间能力是做题的关键． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可； （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可； （3）把从不同方向看到的面积相加即可． 解：（1）略 （2）解：保持这个几何体从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小立方块，如图所示： 故答案为：． （3）解：由图可得， 这个几何体的表面积为． 故答案为：． 题型6：点阵、图形迭代类多小问规律探究大题 1.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． （1）【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． （2）观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． （3）【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】（1）①6，54；②；（2）；（3）铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． （1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 2.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中“▪”的个数，归纳出第幅图形中“▪”的个数的通项公式为，然后利用裂项相消法进行求和计算即可求解． 解：依题意，，，，，…∴ ∴ 3.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 【答案】3001 【分析】第1个图形中黑色棋子的个数是个，第2个图形中黑色棋子的个数是个，第3个图形中黑色棋子的个数是个，第n个图形中黑色棋子的个数是个，计算时的代数式的值即可． 解：根据题意，得第n个图形中黑色棋子的个数是个， 当时，． 4.（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． （1）探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． （2）探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． （3）【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】（1）①5；②；（2）①6，30；②；（3）还需要600块正三角形地砖 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. （1）解：①； ②； ③； ④； …， ∴；； （2）解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形； （3）解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖． 题型7：有理数背景阅读理解新定义 1．（25-26七年级上·云南昆明·期中）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 数轴上，若，两点分别表示数、，那么，两点之间的距离与，两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． （2）已知，则_____； （3）当满足_____时，则的值最小，最小值是_____； （4）当_____时，的最小值是_____． 【答案】（1）4；（2）或；（3）；8；（4）2；7 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上的两点距离计算，有理数的加减计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）由题意得，表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点的距离为4，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）设数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为，点C表示的数为3，则，分点A在点B左侧， 点A在点B和点C之间（包括点B，点C）和点A在点C右侧三种情况，可表示出，进而可求出最小时a的取值范围，据此可得答案； （4）当时，有最小值，当时，有最小值，故当时，有最小值，据此求解即可． （1）解：由题意得，数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点的距离为4， ∴当数a在数的左侧时，，当数a在数的右侧时，， ∴a的值为或， 故答案为：或； （3）解：设数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为，点C表示的数为3，则， ∵表示的是点A到点B和点A到点C的距离之和， ∴， 当点A在点B左侧时，， 当点A在点B和点C之间（包括点B，点C）时，则， 当点A在点C右侧时，则， ∴当点A在点B和点C之间（包括点B，点C）时，有最小值，最小值为8， ∴当时，的值最小，最小值为8， 故答案为：；8； （4）解：由（3）可得，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：2；7． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 【阅读理解】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数学上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： 【变式应用】 （1）已知点为数轴上任一动点，点对应的数记为，若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为___________； （2）已知点为数轴上任一动点．点对应的数为，若数轴上点位于表示的点与表示2的点之间，则___________； （3）已知点在数轴上分别表示数，四个点在数轴上的位置如图所示（假设点按顺序以，排列，即，若，，，则等于___________． 【拓展提升】 （4）已知点在数轴上分别表示数，一动点从原点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动化4个单位长度，以此类推． ①求运动多少秒后所处的位置到点各点距离之和最短？ ②动点能不能在运动过程中同时经过这5个点？若能，求出从出发到都经过这5个点的最短时间：若不能，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）7；（3）1；（4）①5秒②能，秒 【分析】本题考查有理数与数轴，绝对值的几何意义，有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）利用题目所给的数轴上两点间距离的计算方法列式计算即可； （2）表示数轴上点到所表示的点与所表示的点的距离和，而P点位于表示的点与表示2的点之间，故这个距离即为表示的点与表示2的点之间距离，据此解答即可 （3）根据题目所给的方法把几个式子表达为两点间的距离，进而即可求解； （4）①分析可得则当 位于所对应的点时Q到各点的距离和最小，由Q点移动规律可知此时共移动了个单位，用时秒； ②由Q点移动规律可知可经过所有整数点，所以动点能在运动过程中同时经过这5个点，且最后经过的点是所对应的点，此时Q点共走了个单位长度，因为每秒2个单位长度，所以共用时秒． 解：（1）若点与表示有理数的点的距离是个单位长度， 则， 即的值为：或， 故答案为：或； （2）表示数轴上点到所表示的点与所表示的点的距离和， ∵P点位于表示的点与表示2的点之间， ∴这个距离即为表示的点与表示2的点之间距离， 故答案为：7； （3）即A点与D点之间的距离为， 即B点与D点之间的距离为3， 则A点与B点之间的距离为， 表示A点与C点之间的距离为8， 故B点与C点之间的距离为， ∴． 故答案为：1； （4）①Q到这些点的距离和为 将数值从小到大排列， 则当 位于时距离和最小， Q沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，从原点先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度至， 共移动了个单位， 用时：秒； ②从原点出发，先向右移动1个单位长度，到达1所对应的点， 再向左移动2个单位长度，到达对应的点， 又向右移动3个单位长度，到达2对应的点， 再向左移动4个单位长度，到达对应的点， 再向右移动5个单位长度，到达3对应的点， 再向左移动6个单位长度，到达对应的点 依次类推，可经过所有整数点， 故动点能在运动过程中同时经过5个点； 设运动次数为n，由规律可知，运动次数为奇数时，到达正整数点， 且点所对应的数为， Q依次经过， 当经过所对应的点时， ， ， 故是第次运动运动到， 此时Q点共走了个单位长度， ∵每秒2个单位长度， ∴用时秒． 从出发到都经过这5个点的最短时间秒． 4．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 5③ ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 （-8）④ ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果： （-6）④ ＝____________； （2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： （-）ⓝ＝____________（-）ⓝ ＝____________（n≥2且n为正整数） （3） [实践应用] 计算 ① ② （其中n=2022） 【答案】（1）；（2）；；（3） ①；②． 【分析】（1）直接根据除方的定义进行运算即可求解； （2）根据除方的定义以及除法的运算法则进行推导即可将除方运算转化为乘方运算； （3） ①根据（2）中的推导公式将除方运算转化为乘方运算，再根据有理数的运算法则进行运算；②根据（2）中的推导公式将除方运算转化为乘方运算，再根据等式的性质进行求解． 解：（1） （2） （3）① = = = = ②（其中n=2022） = = 设 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了对除方定义的理解，以及有理数的运算，熟练掌握除方的定义以及学会除方运算转化为乘方运算是解答此题的关键． 题型8：动点背景，利用代数式表示距离、表示图形面积，求参数t 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． （1）如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． （2）如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 【答案】（1）①2或6  ②1  ③x的值为或0；（2）如图所示， 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值方程的应用，将数轴上的距离关系转化为绝对值方程是解题关键． （1）根据题意，利用“绝对值的几何意义”求解． （2）先通过距离公式转化为绝对值表达式，再分区间讨论去绝对值，进而求解不等式． 解：（1）①解：代数式可看成数轴上表示数的点与表示4的点之间的距离， ， ，， 或6． ②解：代数式可看成数轴上表示到和4距离相等的点， ， ． ③解：代数式可看成数轴上表示到4的距离是到距离两倍的点， ， ， 当表示数的点在点左侧时，，解得， 当表示数的点在点和点之间时，，解得， 当表示数的点在点右侧时，， 所以此种情况不存在，综上所述，或0； 答：x的值为或0． （2）解：由题可知，设点D表示的数为x， 不小于， ， ， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得（不符合，舍去）， 在数轴上，选定区域为， 符合条件的点为签字笔加粗部分的点． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． （1）则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； （2）有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． （3）若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 【答案】（1），6；10；（2）；（3）D点运动的方向：向左， 【分析】本题考查了多项式的系数与次数、数轴的动点问题和整式加减的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确的表示数轴上的有理数． （1）根据二次多项式的定义得到，由此求得a的值；然后由多项式的系数的定义得到b的值，根据求解的值即可； （2）向左运动记为负，向右运动记为正，找到规律，可得点P对应的有理数；然后根据题意列式计算即可； （3）分点D从原点向左运动和点D从原点向右运动两种情况求解即可 （1）解：是关于的二次多项式，且二次项系数为， ， ， ； （2）解：第1次运动P点对应的数为； 第2次运动P点对应的数为； 第3次运动P点对应的数为； 第4次运动P点对应的数为； ， 第2025次运动P点对应的数为； （3）解：运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为， 当点D从原点向左运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 当点D从原点向右运动时，点对应的数为， ， ∵的值始终是一个定值， ∴． ∴． ∵， ∴此种情形不存在． ∴D点运动的方向为从原点向左运动，m的值为． 3．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中，． （1）当，时，线段的中点表示的数是______； （2）若数轴上另有一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求式子的值． 【答案】（1）；（2）①；②或 【分析】（1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点C表示数，点C在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可； ②根据，得出，说明点B在点C的右侧或在点C处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点C的左侧，然后分两种情况求出a的值即可． （1）解：∵，， ∴线段的长度为， ∴线段的中点表示的数是， 故答案为：； （2）解：①∵点C表示数，点C在线段上，且， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， 当点B在点C的右侧或在点C处时，，当点P在点A处，点Q在点C处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于等于6， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点C的右侧或C处； 当点B在点C的左侧，点P在点A处，点Q在点C处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴； 当点B在点C的左侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴ 当时， 原式； 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的有关计算用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，整式加减中的化简求值等知识，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 4．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且 （1）填空：__________，__________； （2）点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在之间（不含，两点）运动时，请化简式子：； （3）在（1）（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从原点开始以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在之间（不含，两点）运动，的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． 【答案】（1），16；（2）；（3）是一个定值，的值不随着时间的变化而变化 【分析】本题考查数轴及绝对值和偶次幂的非负性，涉及非负数的性质、绝对值、数轴、偶次方等知识，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据绝对值和完全平方的非负性即可解决问题； （2）根据点在数轴上的位置，可得出点对应数的取值范围，进而可解决问题； （3）用含的代数式表示出的值，即可解决问题． （1）解：， 则，， 解得，， 故答案为：，16； （2）解：点在之间，且对应的数为， ， ，， 原式； （3）解：为定值不随时间的变化而变化，理由如下： 由题可知，秒后： 点对应的数可表示为， 点对应的数可表示为， 点对应的数可表示为， ， ， ， 即是一个定值，的值不随着时间的变化而变化． 题型9：跨章节综合压轴题（给定部分条件，求代数式的值，多情况） 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）（1）【基础尝试】如果准备制作一个正方体纸盒，下图中经过折叠能围成正方体纸盒的有_______（填序号）． （2）【操作探究】如图，小明准备在边长为的正方形硬纸板的个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，其底面边长为， （I）这个纸盒的底面积是_____，高是_____（用含，的代数式表示）； （II）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，求纸盒的容积． （3）【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图方式裁剪（保留阴影部分），制作了一个无盖的长方体纸盒．已知四个面上分别标有代数式，，，．若该纸盒相对的两个面上的代数式相等，求式子的值． 【答案】（1）①②④；（2）（I），；（II）；（3） 【分析】本题考查正方体的展开图，列代数式以及代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征以及求代数式的值的方法是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）（I）根据题意列出代数式即可；（II）根据底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，列出关于的方程，解方程求出的值，然后求出时，纸盒的容积即可； （3）根据图并结合题意对应的是，对应的是，得出，，再对进行化简，代入，即可求解． 解：（1）由正方体表面展开图的特征可知，①②④是正方体的表面展开图，即能折叠成正方体， 故答案为：①②④； （2）（I）由于底面边长为的正方形，因此这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （II）∵底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为， ∴，即， 解得：， ∴当底面边长时，纸盒的容积， （3）∵由图可知对应的是，对应的是， ∵四个面上分别标有代数式，，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 2．（河南省商丘市豫东综合物流产业聚集区私立学校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）【问题背景】 已知点C 在数轴的正半轴上，点D在点C左侧，点C到原点的距离为5，C、D两点之间的距离为8． 【初步探究】 （1）在如图所示的数轴上标出点C 、D ； （2）若点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q 从点D 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，当点P移动到2时，P 、Q 两点停止移动，求此时点Q 与点C 之间的距离； 【拓展提升】 （3）若点M 从数轴上表示3的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点N 从数轴上表示的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，随着点M 的移动，数轴上的点E 到原点和点E 到点M 的距离始终相等，用含b 的代数式表示经过5秒时点E 与点N 之间的距离． 【答案】（1）数轴表示如下所示： （2）2；（3） 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，有理数与数轴，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意求出点C表示的数，再求出点D表示的数，最后在数轴上表示出各数即可； （2）求出运动时间，进而求出点Q表示的数，再根据数轴上两点之间的距离计算公式求解即可； （3）根据题意可得点E为点M和原点组成的线段的中点，再求出运动5秒后点M和点N表示的数，进而求出点E表示的数，再根据数轴上两点之间的距离计算公式求解即可． 解：（1）∵点C 在数轴的正半轴上，且点C到原点的距离为5， ∴点C表示的数为5， ∵点D在点C左侧，且C、D两点之间的距离为8， ∴点D表示的数为． （2）当点P移动到2时，运动时间为秒， 则此时点Q表示的数为， ∴此时点Q 与点C 之间的距离为； （3）∵数轴上的点E 到原点和点E 到点M 的距离始终相等， ∴点E为点M和原点组成的线段的中点， 由题意得，运动5秒后点M表示的数为，点N表示的数为， ∴点E表示的数为， ∴经过5秒时点E 与点N 之间的距离为． 3．（25-26七年级上·陕西安康·期中）【问题背景】 如图，，，是数轴上从左到右的三个点，点在数轴的负半轴上，且点到点和原点的距离均为2，点在数轴的正半轴上，点，之间的距离为7． 【初步探究】 （1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示点，，表示的数； ②若将点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，用含的代数式分别表示，．当时，求的值． 【答案】（1），，；（2）①点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；②，，当时，． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，列代数式，整式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据两点之间的距离先得到点表示的数，再求出点表示的数，进而得到点表示的数，即可解题； （2）①根据路程，速度，时间之间的数量关系，以及数轴上两点之间的距离，含的代数式分别表示出点，，表示的数，即可解题； ②根据数轴上两点之间的距离，分别表示出，，再将代入中求解，即可解题． 解：（1）点到点和原点的距离均为2， 点表示的数为，点表示的数为， 点在数轴的正半轴上，点，之间的距离为7， 点表示的数为， 故答案为：，，； （2）①由题知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； ②点表示的数为，点表示的数为， ， 点表示的数为， ， 当时，． 4．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）综合实践：某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①⑥图形中，是正方体的表面展开图的有_________________________（只填写序号）． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形．再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的_______________倍． 【拓展探究】 （3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开．展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开__________条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长为__________． 【答案】（1）①⑤⑥；（2）；（3）①；② 【分析】（1）根据正方体展开图所得的面数和上下底与侧面关系即可解答； （2）结合图形分别求得各自的长宽高即可得到体积； （3）①只要沿着一条侧棱和下底的三条棱剪开即可； ②根据长方体形盒子的长宽高求得其表面展开图的外围周长的代数式，结合代数式的特点再进行计算． （1）解：②正方体有个面，但图中却有个正方形，故②错误； ③正方体的表面展开图缺失上底面或下底面，侧面有一个面重合，故③错误； ④正方体有个面，但图中却有个正方形，故④错误； ∴如图①⑥图形中，是正方体的表面展开图的有①⑤⑥； （2）解：方法1：如图⑦， 底边长为，高为， 无盖盒子的体积为：； 方法2：如图⑧， 有盖盒子的长：，宽为：，高为， 有盖盒子的体积为：， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍数为：（倍）； （3）解：①如图， ∵长方体共有条棱，展开后还有条棱没有剪开， ∴剪开了条棱； ②设长方体长为，宽为，高为， 则长方体形盒子展开图的周长为：， 想要周长最小，只需要最大，最小， 此时，，， 则最小周长为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （北师大版七年级上册：期中核心压轴考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：数轴动点：点沿数轴运动，求两点距离、求运动时间t（分类讨论） 2 题型2：绝对值几何意义阅读理解探究 4 题型3：周期型数字、图形规律探究，猜想第n个表达式并求值验证 5 题型4：高难度变形的整体代入求值探究题 6 题型5：三视图小正方体计数多解（最多、最少小正方体个数） 8 题型6：点阵、图形迭代类多小问规律探究大题 9 题型7：有理数背景阅读理解新定义 13 题型8：动点背景，利用代数式表示距离、表示图形面积，求参数t 16 题型9：跨章节综合压轴题（给定部分条件，求代数式的值，多情况） 18 一、专题定位 本专题面向北师大版七上期中优生培优冲刺，针对选择填空压轴与解答最后1至2道大题，整合第1至第3章难点。侧重数轴动点问题、绝对值几何意义、复杂规律探究、阅读理解新定义、多情况分类讨论；训练读图、挖掘条件、分类画图、代数建模能力。攻克数轴动点、复杂规律、阅读理解新定义等拉分题型。适配期中第三轮培优、压轴专项讲评与优生限时训练，突破高分瓶颈。严格限定第1至第3章，无超纲内容。 二、核心考点梳理 章节 考点 丰富的图形世界 复杂图形规律探究；三视图计数的多解情况；展开图阅读理解探究；立体图形结合代数参数计算 有理数及其运算 数轴动点问题（点运动，求距离，求时间t，分类讨论）；绝对值几何意义阅读理解探究；数轴多情况分类讨论；有理数背景新定义压轴题 整式及其加减 复杂变形的整体代入；多组条件代数式求值；复杂数字、周期规律，猜想第n个代数式并验证；规律探究多小问链式问题 跨章节压轴综合 数轴动点结合绝对值列等式求解；图形与数字综合规律；有理数新定义阅读探究；动点背景建立代数式求参数；多情况分类讨论的探究大题 三、压轴与拓展 题型1：数轴动点：点沿数轴运动，求两点距离、求运动时间t（分类讨论） 1.（25-26七年级上·天津·期中）已知，且，满足，请回答下列问题： （1）请直接写出，的值：______；______； （2）在数轴上，，所对应的点分别为，，． ①记，两点间的距离为，则______；______． ②点为该数轴的动点，其对应的数为，点在点与点之间运动时（包含端点），则______；______． （3）在（1）（2）的条件下，若点从出发，以每秒1个单位的速度向终点移动，当点运动到点时，点从出发，以每秒3个单位长度向点运动．当点到达点后，点，点同时停止运动，设点移动时间为移，当点开始运动后，请用含的代数式表示，两点间的距离． 2.（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3.（25-26七年级上·山东日照·期中）如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点从点开始沿该数轴的正方向运动，到达点停止．若运动过程中，点到三点的距离之和的最大值为，最小值为，则的值为___________． 4.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． （1）点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； （2）若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 题型2：绝对值几何意义阅读理解探究 1.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，为最小正整数； （1）_____，_____，_____； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____表示的点重合． （3）在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时_____，最小值为_____． （4）在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示）． 2.（25-26七年级上·江苏南京·期中）下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 4.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与两点之间的距离是___________． （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________． （3）同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是___________． （4）由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 题型3：周期型数字、图形规律探究，猜想第n个表达式并求值验证 1.（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）观察下列各式： ；；；； （1）根据你发现的规律，计算： ； （2）请用一个含n的代数式表示计算结果． ； （3）根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 2.（25-26七年级上·重庆沙坪坝·期中）观察下面的数：按着规律排下去，那么第16行从左边数第2个数是（   ）    A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，正多边形的边上按规律排列着部分点．第1个图形中有3个点，第2个图形中有8个点，第3个图形中有15个点，第4个图形中有24个点，……按照此规律，第10个图形中点的个数为__________． 4.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在城市的景观设计中，常常会运用到各种精美的镶嵌图案来美化环境．某景观设计工作室正在研究一种由相同的黑色正方形和白色等边三角形排列而成的平面镶嵌图案，如图所示，这种图案不仅具有独特的视觉效果，还蕴含着一定的数学规律．    观察上述规律，解答下列问题： （1）第4个图案有___________个等边三角形； （2）第n个图案有___________个正方形，___________个等边三角形；（用含n的代数式表示） （3）现有398个等边三角形，按此规律继续镶嵌图案，若要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？ 题型4：高难度变形的整体代入求值探究题 1.（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 2.（25-26七年级上·四川眉山·期末）已知时，代数式的值为17，则时，代数式的值为（    ） A． B． C． D．14 3.（25-26七年级上·广西贵港·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它的应用极为广泛．若代数式的值是8，则的值为______． 4.（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照下面的解题方法，完成后面的问题： 如果代数式的值为3，那么代数式的值是多少？ 爱动脑筋的小聪同学这样来解： 原式． 我们把看成一个整体，把式子两边乘2，得． 【方法运用】 （1）若，则的值为_________； （2）若，求的值； 【类比迁移】 （3）两地相距60千米，甲、乙两人同时从两地骑自行车出发，相向而行．甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过3小时相遇．问甲、乙两人出发多少小时后两人相距20千米？ 题型5：三视图小正方体计数多解（最多、最少小正方体个数） 1.（25-26六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 2.（25-26七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的正面、上面看到的形状图，则搭成这样的几何体最多需要小立方块的个数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 3.（25-26六年级上·山东烟台·期中）用若干个完全相同的小立方块搭成一个几何体，从左面和上面看几何体的形状如图所示，搭成的几何体最多需个小立方块，最少需个小立方块，则______． 4.（2025七年级上·广东深圳·专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； （2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． （3）若小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为______． 题型6：点阵、图形迭代类多小问规律探究大题 1.（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． （1）【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． （2）观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． （3）【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 2.（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图所示，将形状、大小完全相同的“▪”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“▪”的个数为，第2幅图形中“▪”的个数为，第3幅图形中“▪”的个数为，…，以此类推，则的值为（） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 4.（2026·安徽合肥·二模）【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． （1）探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（     ）2； ②猜想：（     ）2（是正整数）． （2）探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． （3）【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 题型7：有理数背景阅读理解新定义 1．（25-26七年级上·云南昆明·期中）阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 数轴上，若，两点分别表示数、，那么，两点之间的距离与，两数的差有如下关系：或、如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． （2）已知，则_____； （3）当满足_____时，则的值最小，最小值是_____； （4）当_____时，的最小值是_____． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 3．（25-26七年级上·广西南宁·期中）综合与实践： 【阅读理解】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数学上点和点表示的数为，则两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为，请你利用数轴解决以下问题： 【变式应用】 （1）已知点为数轴上任一动点，点对应的数记为，若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为___________； （2）已知点为数轴上任一动点．点对应的数为，若数轴上点位于表示的点与表示2的点之间，则___________； （3）已知点在数轴上分别表示数，四个点在数轴上的位置如图所示（假设点按顺序以，排列，即，若，，，则等于___________． 【拓展提升】 （4）已知点在数轴上分别表示数，一动点从原点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动化4个单位长度，以此类推． ①求运动多少秒后所处的位置到点各点距离之和最短？ ②动点能不能在运动过程中同时经过这5个点？若能，求出从出发到都经过这5个点的最短时间：若不能，请说明理由． 4．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：5÷5÷5，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）等，类比有理数的乘方，我们把5÷5÷5记作 5③ ，读作“5的圈3次方”，（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）÷（﹣8）记作 （-8）④ ，读作“﹣8的圈4次方”一般的把 记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． （1）直接写出计算结果： （-6）④ ＝____________； （2）[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： （-）ⓝ＝____________（-）ⓝ ＝____________（n≥2且n为正整数） （3） [实践应用] 计算 ① ② （其中n=2022） 题型8：动点背景，利用代数式表示距离、表示图形面积，求参数t 1．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． （1）如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． （2）如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上A、B两点所对应的数分别是和． （1）则_____，_____；A，B两点之间的距离为_____； （2）有一动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动2个单位长度，再在此位置第三次向左运动3个单位长度…．按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2025次时，求点所对应的有理数． （3）若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒5个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度在A，B之间运动（到达或即停止运动），运动时间为秒，在运动过程中，的值始终保持不变，求点运动的方向及的值． 3．（24-25七年级上·湖北宜昌·期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中，． （1）当，时，线段的中点表示的数是______； （2）若数轴上另有一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求式子的值． 4．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且 （1）填空：__________，__________； （2）点为数轴上一动点，其对应的数为，当点在之间（不含，两点）运动时，请化简式子：； （3）在（1）（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从原点开始以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在之间（不含，两点）运动，的值是否随着时间的变化而变化？请说明理由． 题型9：跨章节综合压轴题（给定部分条件，求代数式的值，多情况） 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）（1）【基础尝试】如果准备制作一个正方体纸盒，下图中经过折叠能围成正方体纸盒的有_______（填序号）． （2）【操作探究】如图，小明准备在边长为的正方形硬纸板的个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，其底面边长为， （I）这个纸盒的底面积是_____，高是_____（用含，的代数式表示）； （II）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，求纸盒的容积． （3）【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图方式裁剪（保留阴影部分），制作了一个无盖的长方体纸盒．已知四个面上分别标有代数式，，，．若该纸盒相对的两个面上的代数式相等，求式子的值． 2．（河南省商丘市豫东综合物流产业聚集区私立学校2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）【问题背景】 已知点C 在数轴的正半轴上，点D在点C左侧，点C到原点的距离为5，C、D两点之间的距离为8． 【初步探究】 （1）在如图所示的数轴上标出点C 、D ； （2）若点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点Q 从点D 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动，当点P移动到2时，P 、Q 两点停止移动，求此时点Q 与点C 之间的距离； 【拓展提升】 （3）若点M 从数轴上表示3的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点N 从数轴上表示的点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右移动，随着点M 的移动，数轴上的点E 到原点和点E 到点M 的距离始终相等，用含b 的代数式表示经过5秒时点E 与点N 之间的距离． 3．（25-26七年级上·陕西安康·期中）【问题背景】 如图，，，是数轴上从左到右的三个点，点在数轴的负半轴上，且点到点和原点的距离均为2，点在数轴的正半轴上，点，之间的距离为7． 【初步探究】 （1）点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； 【拓展延伸】 （2）点，，开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示点，，表示的数； ②若将点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，用含的代数式分别表示，．当时，求的值． 4．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）综合实践：某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动． 【知识准备】 （1）如图①⑥图形中，是正方体的表面展开图的有_________________________（只填写序号）． 【制作纸盒】 （2）综合实践小组利用边长为的正方形纸板，按以下两种方式制作长方体形盒子．如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子．如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形．再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子．则制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的_______________倍． 【拓展探究】 （3）若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，将它的表面沿某些棱剪开．展成一个平面图形， ①请直接写出你剪开__________条棱； ②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $