期中复习专题2——综合运算与推理证明- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （北师大版七年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：三视图综合，由俯视图小方块个数画主视图、左视图 2 题型2：绝对值非负性（几个非负数相加等于0）求字母的值 7 题型3：数轴点平移、两点距离综合填空题 10 题型4：有理数混合简便运算、有理数背景新定义运算解答题 13 题型5：整式化简+整体代入求值中档解答题 16 题型6：代数式的值与字母取值无关求参数题型 19 题型7：根据几何图形列代数式，求图形面积 23 题型8：数字规律探究，归纳第n项代数式 27 题型9：图形点阵类规律探究，代数式求值 31 题型10：有理数实际应用题 34 题型11：有理数、代数式结合的阅读理解简单题型 39 题型12：数轴上点移动综合计算（不含复杂动点t参数） 44 题型13：整式加减与图形表面积综合计算题 52 题型14：多条件下代数式变形求值中档题 57 一、专题定位 本专题为北师大版七年级上册期中第二轮复习，整合第1至第3章中档重难点，贴合成都、广东地区期中真题命题特点。聚焦有理数综合运算、绝对值非负性应用、整式化简求值、代数式综合应用、图形与数字规律，对应期中试卷中档解答题与填空压轴。重点训练计算步骤规范、绝对值多解问题、整体代入变形、图形信息提取；针对性解决符号出错、漏解、不会整体代换、规律归纳出错等高频失分点。适配课堂中档讲练、限时专题训练与阶段性检测组卷，是提升期中中档题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 考点 丰富的图形世界 三视图综合（俯视图标数字画另外两个视图）；几何体结合代数式求表面积；图形类规律探究；展开图结合简单计算 有理数及其运算 绝对值非负性：若干非负数之和为0模型；绝对值方程|x|=a（a>0）双解；数轴综合：点平移、两点距离公式|x1-x2|；有理数简便运算；新定义运算；有理数实际情境运算（温度、水位） 整式及其加减 整式化简求值；整体代入求值（高频中档）；代数式的值与字母取值无关题型；图形面积列代数式并计算；数字、图形规律，写出第n个代数式 跨章节中档综合 数轴背景结合绝对值；图形规律转化为代数式；实际情境列式结合有理数运算 三、必考、常考题型 题型1：三视图综合，由俯视图小方块个数画主视图、左视图 1.（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）如图所示的是由7个大小相同的小正方块搭建的几何体，其中每个小立方块的棱长为1． （1）请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． （2）该几何体的体积是________，表面积（包含底面）是________． （3）在保持从左面、上面看到的这个几何体的形状图不变的情况下，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）． 【分析】（1）由立体图确定几何体在三个方向上的最大高度，画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． （2）体积为小正方体的总个数；表面积可用从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图的面积之和的 倍计算． （3）在保持从左面、上面看到的这个几何体的形状图不变的前提下，确定每个位置还能添加的小正方体个数． （1）解：由题图可知，该几何体从正面看有 列，高度从左到右依次为 、、、； 从左面看有 列，高度从左到右依次为 、； 从上面看，后排（上面一排）有 个正方形，前排（下面一排）只有右下角 个正方形． 画出的从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示． （2）解：每个小正方体的棱长为 ，体积为 ． 几何体共有 个小正方体，所以体积 ． 从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图中，从正面有 个正方形，从左面有 个正方形，上面有 个正方形． 表面积（包含底面）． （3）解：要保持从上面看到的图不变，新增小正方体只能放在从上面看到的已有的 个位置上． 要保持从左边看到的图不变，从左面看后排（上面一排）的高度不能超过 ，前排（下面一排）的高度不能超过 ． 从上面看到的图中后排 个位置的高度上限均为 ，其中第二列处已是 ，其余三列处高度均为 ，各可添加 个，共 个． 前排右下角处高度已为 ，不能再添加． 所以最多还可以添加 个小正方体． 2.（26-27六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用3个同样的小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如下图，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A、这个几何体从正面看是，则此项不符合题意； B、这个几何体从三个方向看到的图形分别为，则此项符合题意； C、这个几何体从正面看是，则此项不符合题意； D、这个几何体从正面看是，则此项不符合题意． 3.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）由一些大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数是________． 【答案】4 【分析】根据从正面、左面、上面看到的图形判断几何体中小立方体的排列情况，利用从上面看到的图形确定底层数量，结合从正面看和从左面看到的图形确定各位置层数． 解：由从上面看的图形可知，该几何体最底层有3个小立方体． ∵ 从正面看的图形左列高2层，右列高1层 ， ∴ 右侧位置只有1层，左侧两位置中最高为2层 ， ∵ 从左面看到的图形左列高1层，右列高2层， ∴ 后排位置只有1层，前排位置最高为2层 ， 综合可知，左后位置1个，左前位置2个，右前位置1个 ， ∴ 小立方块的个数是（个）． 4.（26-27七年级上·山西运城·阶段检测）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数． （1）请在对应网格中画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． （2）组成该几何体的小立方体一共有_______个． （3）若保持从上面看和从左面看的形状图不变，最多还可以添加_______个小立方体． 【答案】（1）；（2） 个；（3） 个． 【分析】（1）从正面看取每一列的最大高度，从左面看取每一行的最大高度，即可画出形状图． （2）把俯视图中每个位置的小立方体个数相加即得总数． （3）保持俯视图和左视图不变，每个位置最多可加到该位置所在行左视图最大高度，用最大高度减去原高度后求和即得可添加数． 解：（1）略 （2）解：小立方体总个数为 （个）． （3）解：左视图不变意味着每一行的最大高度不变． 后行最大高度为 ，该行的两个位置原来分别为 、，分别还可添加 、 个； 中行最大高度为 ，该行的三个位置原来分别为 、、，分别还可添加 、、 个； 前行最大高度为 ，该位置原来为 ，还可添加 个． 因此最多还可以添加 （个）． 题型2：绝对值非负性（几个非负数相加等于0）求字母的值 1.（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）已知若为一个有理数，则． （1）填空：当时，________；当时，________； （2）当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】（1），；（2）． 【分析】本题考查了求绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． （1）分别把和代入求解即可； （2）根据绝对值的非负性得，进而得当时，的值最小，最小值为． （1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：∵若为一个有理数，则， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，的值最小，的最小值为． 2.（2026七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3.（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 【答案】2025 【分析】本题考查了绝对值的性质及有理数的大小比较．根据绝对值的非负性，，当取最小值0时，原式取得最大值． 解：当时，， ∵， ∴； 当时，； 当时，， 综上所述，的最大值为2025， 故答案为：2025． 4.（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）已知有理数满足，另有两个不等于零的有理数，使得且， （1）求的值； （2）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2）∵且， ∴，或， 当时，， 此时； 当，时，， 此时， 综上，． 【分析】（1）利用非负数的性质判断即可得到结果； （2）根据且，可得或，两种情况讨论即可求解． 解：（1）∵， ∴，， 解得：，， ∴； （2）略 【点睛】此题考查了有理数的计算，绝对值、偶次方非负数的性质，解题的关键是运用分类思想比较大小． 题型3：数轴点平移、两点距离综合填空题 1.（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． （1）在数轴上标出原点； （2）点B表示的数是 ； （3）若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【答案】（1）如图，点O为原点； （2）4；（3）点B在数轴上对应的数为7 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键． （1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点； （2）根据点B所在数轴位置即可求解； （3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解． 解：（1）略 （2）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3）解：由题意知，点A运动路程为：， 又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动， 所以此时点B表示的数为：． 2.（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 3.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 4.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． （1）将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； （2）将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； （3）将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； （4）怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】（1）B，；（2）B，；（3）1；（4）有三种不同的移动方法：①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度；②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度；③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． （1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）略 题型4：有理数混合简便运算、有理数背景新定义运算解答题 1.（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）计算 （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2.（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键．根据题目中的新定义计算，即可求出的值． 解：依题意， 故选：D． 3.（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）从，，，4，5中取三个不同的数相乘，可得到的最大乘积是___________，最小乘积是___________． 【答案】 30 【分析】根据有理数乘法法则，乘积最大需满足结果为正且绝对值最大，乘积最小需满足结果为负且绝对值最大，结合给定数字的正负性分类计算比较即可得到结果． 解：给定数字为，，，4，5，其中正数共2个，负数共3个， 求最大乘积： 要得到最大乘积，结果需为正，由于正数只有个，无法选三个正数相乘，因此选择两个负数一个正数相乘， 选择绝对值最大的两个负数和最大的正数相乘，得：， 求最小乘积： 要得到最小乘积，结果需为负，分两种情况计算： 情况1：三个负数相乘 ； 情况2：两个正数一个负数相乘 选择两个最大的正数和绝对值最大的负数相乘，得： ， ∴最小乘积为． 4.（26-27七年级上·天津和平·阶段检测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型5：整式化简+整体代入求值中档解答题 1.（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【分析】先通过去括号、合并同类项化简原式，再将的值代入化简后的式子计算． 解： ， 当时， 原式 ． 2.（2026七年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 【答案】C 解： ， 将，代入， 得 ． 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，代数式的值为_____________． 【答案】2 【分析】本题主要考查整式加减中的化简求值，把代数式整理后得最简结果，再把代入计算即可． 解：∵， ∴ ， 故答案为：2， 4.（2026七年级上·全国·专题练习）有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘2得． 【简单应用】 （1）已知，则_______； （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】（1）把代入变形后的计算即可． （2）先把式子展开，然后再合并同类项，最后把，代入变形后的式子计算即可． （3）把，代入变形后的计算即可． （1）解：． （2）解：当，时， ． （3）解：∵，， ∴ ． 题型6：代数式的值与字母取值无关求参数题型 1.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． （1）若的结果中不含项和x项，求a、b的值； （2）若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 【答案】（1），；（2），， 【分析】（1）把与代入中，去括号合并后，根据结果不含项和x项，可求出a、b的值； （2）把与代入中，去括号合并后，根据的值始终为，可分别得关于a、b、c的一元一次方程，解方程即可． （1）解：， ∵的结果中不含项和x项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵对于任意x，的值始终为， ∴，，， 解得，，． 2.（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知代数式合并同类项后不含，项，则的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项．合并同类项后，不含，项，即它们的系数为零，求出和的值，再代入计算． 解：项系数： 项系数： 则 故选：D． 3.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知，，当____________时，代数式的值与x无关． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先计算的表达式，再根据其值与x无关，令含x项的系数为零，求解y的值 解：，， ， ， 的值与x无关， 含x项的系数为零，即， 解得， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对面上的两个数相等，回答下列问题： （1） ， ； （2）已知代数式， ①在（1）的条件下，求的值； ②若的值与的取值无关，则 ． 【答案】（1）；（2）① ② 【分析】（1）根据正方体相对面上的两个数相等求解即可； （2）①根据整式的加减法运算法则化简并求值即可；②根据若的值与的取值无关，令的系数和为即可求值. （1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：①∵， ∴ ， 当时； 上式； ②∵， 的值与的取值无关， ∴， 解得：. 题型7：根据几何图形列代数式，求图形面积 1.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） （1）用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） （2）若取3，求种植草皮的面积． 【答案】（1）；（2）种植草皮的面积为 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用，代数式求值： （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积，再减去半圆的面积，即可得出结果； （2）把取3，代入（1）中代数式进行计算即可． （1）解：种植草皮的面积： ； （2）解：当取3时， 种植草皮的面积为：， 故种植草皮的面积为． 2.（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，两个面积分别为9，15的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．-12 D．-6 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． 设空白部分的面积为，根据题意列式计算得到，再整体代入计算即可． 解：设空白部分的面积为，则，， ∴， ∴ ， 故选：B． 3.（24-25七年级上·北京石景山·期末）已知图形是由直径为的两个半圆叠拼而成，．请用含的代数式表示图中阴影的面积______．    【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算、三角形的面积公式、圆的面积公式，能根据题意正确列出式子表示阴影部分的面积是解答本题的关键． 根据列出式子化简即可解答． 解：由题意得：， ， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·河北保定·期末）李先生购买了一套经济适用房，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用代数式表示：客厅的面积是______，厨房的面积是______； （2）求这套房的地面总面积（用含x，y的代数式表示），并求出当，时，这套房的总面积是多少？ 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查列代数式，求代数式的值，整式的加减，结合图形，求出每个区域的面积是解题关键． （1）根据图形列代数式即可解答； （2）先利用整式的加减化简，再代入求值即可． （1）解：由图可得， 客厅的面积是， 厨房的面积是． 故答案为：，． （2）解：由图可得， 这套房的地面总面积为， 当，时， 这套房的总面积是． 题型8：数字规律探究，归纳第n项代数式 1.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式： ；；； （1）写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （2）计算：． 【答案】（1）（为正整数）；（2） 【分析】（1）根据题干所给的式子得出规律即可； （2）根据（1）中得出的规律计算即可得出结果． （1）解：∵第个等式为； 第个等式为， 第个等式为， …， ∴第n个等式为（为正整数）； （2）解：∵（为正整数）， ∴ ． 2.（26-27七年级上·河南许昌·阶段检测）网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，除A之外，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．14 C．63 D．127 【答案】D 【分析】归纳每秒拥有信息的总人数的倍增规律，结合“除A外”的条件求解． 解：∵第1秒结束，含A共有人拥有信息， 第2秒结束，含A共有人拥有信息， 第3秒结束，含A共有人拥有信息， ……， ∴第n秒结束，含A共有人拥有信息， ∵所求为除A外收到信息的人数， ∴人数表达式为， 当时，． 3.（26-27七年级上·天津蓟州·阶段检测）观察下列数字：2，，8，，32，… （1）按照此规律排列，第20个数是________； （2）第n个数是________． 【答案】 （或） 【分析】将数列拆分为符号和绝对值两部分，分别寻找变化规律，再合并得到结果． 解：（1）观察已知数列：第1个数： 第2个数： 第3个数： ．．． 总结规律： 符号规律：奇数项为正，偶数项为负，可用表示符号； 绝对值规律：第个数的绝对值为； 因此第个数为； 当时，代入通项得：； （2）由（1）得第n个数是． 4.（26-27七年级上·辽宁营口·阶段检测）探究下列各式的规律： ，，，，… （1）根据你发现的规律填写：_______________×______________________________； （2）用含有n（n为整数，且）的代数式表示（1）中的规律：__________________________________； （3）计算：的值． 【答案】（1），，；（2）（为整数，且）；（3） 【分析】（1）根据等式规律，由反推左边两个乘数； （2）用含的式子表示等式中的数，得到通用规律； （3）利用（2）的规律化简每个因式，约分后计算结果． （1）解：观察已知等式，可得规律，两个相差2的正整数相乘加1，等于两数中间整数的平方 ， ∴中间的整数为， ∴两个乘数分别为，即． （2）解：设第一个整数为n（n为整数，且）， 则第二个整数为，两数中间的整数为， 所以规律为（为整数，且）． （3）解：对每个括号内的式子通分，得， 由（2）的规律可知， 则， 所以 ． 题型9：图形点阵类规律探究，代数式求值 1.（26-27七年级上·江苏常州·期中）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． （1）第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； （2）第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； （3）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】（1）10，4；（2），n；（3）不存在，理由如下：当一个图案中有30个六边形时，该图案中三角形的个数为：，所以不存在这样的图案． 【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中三角形及六边形的个数，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据上面发现的规律进行计算即可． （1）解：由所给图形可知， 第1个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为1， 第2个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为2， 第3个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为3， …， 所以第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n， 当时， 第4个图案中三角形的个数为：，六边形的个数为4； （2）解：由（1）知， 第n个图案中三角形的个数为，六边形的个数为n； （3）解：略 2.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，…，照这样的规律搭下去，搭2026个三角形需要小木棒的根数为（） A．4048 B．4049 C．4052 D．4053 【答案】D 【分析】观察图形可知，每增加一个三角形需增加2根小木棒，据此得出规律即可求解． 解：∵搭1个三角形需3根小木棒，， 搭2个三角形需5根小木棒，， 搭3个三角形需7根小木棒，， 搭个三角形需小木棒的根数为， 当时，． 3.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…，则第9个图案需要用矩形的个数为_______． 【答案】 【分析】观察图形可知，第1个图案有3个矩形，第2个图案有5个矩形，第3个图案有7个矩形，矩形个数每次增加2个，归纳出第个图案的矩形个数为，代入计算即可． 解： 第1个图案用了3个矩形，； 第2个图案用了5个矩形，； 第3个图案用了7个矩形，； ， 由此可得，第个图案需要用矩形的个数为； 当时，矩形的个数为． 4.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）用火柴棒按下图的方式搭图形： （1）图②有______根火柴棒；图③有______根火柴棒． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有______根火柴棒． （3）第（的整数）个图形中有______根火柴棒． 【答案】（1）,；（2）；（3） 【分析】通过观察火柴棒搭建正方形的图形，发现每增加一个正方形就增加根火柴棒，据此推导出通项公式，再代入序号求值． （1）解：图②有根火柴棒；图③有根火柴棒． （2）解：观察图形发现第一个图形有根火柴棒； 第二个图形有根火柴棒； 第三个图形有根火柴棒； … 第个图形有根火柴棒； 当时，根火柴棒； （3）解：由得第（的整数）个图形中有根火柴棒． 题型10：有理数实际应用题 1.（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）小周于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.4元，下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该农产品的批发价格为每斤2.7元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 （1）星期四该农产品价格为每斤多少元？ （2）本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ （3）小周本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算． 【答案】（1）星期四该农产品价格为每斤3.35元．；（2）本周内该农产品的最高价格为每斤3.35元，最低价格为每斤2.85元；（3）小周本周的买卖中共赚了6625元． 【分析】（1）以周日的批发价格为初始值，依次累加周一至周四的涨跌额，即可得到周四的价格； （2）计算出周五的农产品价格，比较大小即可得到最高和最低价格； （3）先计算每天的销售额，求和得到总销售额，再减去购进的总成本，即可得到总利润． （1）解：已知购进当日（周日）批发价格为2.7元/斤， 周一价格：（元）， 周二价格：（元）， 周三价格：（元）， 周四价格：（元）， ∴星期四该农产品价格为每斤3.35元； （2）解：周五价格：（元）， 比较各天价格：， ∴本周内最高价格为每斤3.35元，最低价格为每斤2.85元； （3）解：总成本：（元）， 周一销售额：（元）， 周二销售额：（元）， 周三销售额：（元）， 周四销售额：（元）， 周五销售额：（元）， 总销售额：（元）， 总利润：（元）， 答：小周本周的买卖中共赚了6625元． 2.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列问题情境，不能用加法算式表示的是（    ） A．水位先下降，再上升后的水位变化情况 B．某日最低气温为，温差为，该日最高气温 C．原有10元纸币，购买3元文具后找回的零钱 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 【答案】D 解：A．水位先下降，再上升后的水位变化情况，可以用表示，符合题意； B．某日最低气温为，温差为，该日最高气温，可以用表示，符合题意； C．原有10元纸币，购买3元文具后找回的零钱，可以用表示，符合题意； D．数轴上表示与10的两个点之间的距离，可以用表示，不符合题意． 3.（26-27七年级上·重庆·阶段检测）电影《功夫女足》今年暑假7月11日上映，影片上映10天累积超15亿票房，实现口碑票房双丰收．据统计，该电影7月13日票房是亿元，接下来7天内的票房变化情况如下表（正数表示票房收入比前一天增加，负数表示票房收入比前一天减少）这7天中，当天票房收入最高的是________亿元． 日期 7月14日 7月15日 7月16日 7月17日 7月18日 7月19日 7月20日 票房变化（亿元） 0.6 【答案】 【分析】先根据题意求出每天的票房收入，然后比较大小得出答案即可． 解：7月13日票房是亿元， 7月14日票房是亿元， 7月15日票房是亿元， 7月16日票房是亿元， 7月17日票房是亿元， 7月18日票房是亿元， 7月19日票房是亿元， 7月20日票房是亿元， ∴这7天中，当天票房收入最高的是亿元． 4.（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）近几年全球新能源汽车迅猛发展，我国已成为全球最大的新能源汽车市场．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶______； （2）求小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶的路程； （3）假设这七天行驶前汽车处于满电状态，已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余行驶路程不足续航的，行车电脑就会发出充电提示，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】（1）；（2）；（3）行车电脑不会发出充电提示，，， ， 剩余行驶路程超过续航的，行车电脑不会发出充电提示． 【分析】（1）由表格可得，路程最多的一天是偏差值最大的正数，即第七天，记为，路程最少的一天是偏差值最小的负数，即第三天，记为，作差即可得出结果； （2）根据总路程标准路程天数偏差总和，计算即可得出结果； （3）先求出续航的是多少，再求出汽车行驶结束时的剩余行驶路程，比较即可得出结果． （1）解：由表格可得，路程最多的一天是偏差值最大的正数，即第七天，记为，路程最少的一天是偏差值最小的负数，即第三天，记为， ∴这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶； （2）解： ， 故小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶的路程为； （3）解：行车电脑不会发出充电提示， ， ， ， 剩余行驶路程超过续航的，行车电脑不会发出充电提示． 题型11：有理数、代数式结合的阅读理解简单题型 1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）阅读理解 同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1） _____； （2）同样的道理，表示数轴上有理数x 所对应的点到和10所对应的两点的距离相等，则_____； （3）类似地，表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点的距离之和，使得，这样的整数有____个； （4）由以上探索猜想，对于任何有理数x， 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）7；（2）1；（3）8；（4）有最小值，最小值为3 【分析】（1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和10所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到3和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． （1）解： （2）解：∵有理数x 所对应的点到和10所对应的两点间的距离相等， ∴． （3）解：， 结合数轴知，当时，， ∵x是整数， ∴x的值为，，，，，，1，2， ∴这样的整数有8个． （4）解：表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 2．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）【阅读理解】观察下列各式：；；； 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为． 【初步应用】 类比上述方法，解答下列各题： （1）计算：； （2）计算： （3）直接写出结果：= 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意将每一项进行裂项变形，通过中间项抵消简化计算； （2）将每一项裂项为两个分数的差并提取公因数，中间项抵消后计算剩余项； （3）先将各分数的分母改写为两个相差2的偶数的乘积，再用裂项相消法计算． （1）解：原式 ； （2）解： 原式 ； （3）解：∵，，，…，， ∴原式 ． 3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： （1）下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与    B．与 C．与    D．与 （2）若整式与整式互为零和整式，求的值． （3）现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 【答案】（1）B；（2）1；（3）化简为； 【分析】本题考查新定义运算，整式加减，理解题意熟练进行运算是解题的关键； （1）根据零和整式定义计算即可； （2）根据题意得，求出a，b即可解答； （3）将M去括号，合并同类项，再根据零和整式定义即可解答． （1）解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意； 故选B． （2）解：与互为零和整式， ， ，， ； （3）解：， 所以 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则= ． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键． （1）由原等式可得出，整体代入中求值即可； （2）由原等式可得出，将所求式子变形为，再整体代入求值即可． （1）解：由得：， 则； （2）解：由得：， 则； 题型12：数轴上点移动综合计算（不含复杂动点t参数） 1．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】（1），1；（2）①p的值为1.5；②p的值为0.75或2或3.5 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负整数是，的相反数是1，据此解答即可； （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可； ②分三种情况进行分析计算． （1）解：a是最大的负整数，b是a的相反数， ∴，； （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②当对折后点A到B，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点C到A，B距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点B到A，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 2．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． （1）点，点表示的数分别是 ； （2）若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； （3）若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】（1），；（2）7；（3）或 【分析】此题主要考查数轴上点的坐标与距离表示方法，绝对值的化简，一元一次方程的应用． （1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数均为0，即可得出，，由此得答案； （2）数轴上两点之间的距离可知：表示的是点到、两点的距离之和，结合数轴可知点到、两点的距离之和最小，由此即可求出最小值； （3）表示出运动t秒时，点A，B，P表示的数，从而得到A，B的距离，根据该距离为6个单位长度可求得t的值． （1）解：因为， 所以，， 解得，， 即点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：， （2）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数是， 所以表示的是点到、两点的距离之和． 当点在点，之间， 即时， 点到、两点的距离之和最小， 即， 最小值为． 故答案为： （3）解：点运动时表示的数为， 点运动时表示的数为， 所以， 即或， 解得或， 所以当运动过程中，点，之间相距个单位长度时，运动时间的值为秒或秒． 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中． （1）当，时，线段的中点表示的数是______； （2）若数轴上另有一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求式子的值． 【答案】（1）；（2）①，②或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的有关计算，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，整式加减中的化简求值等知识，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）利用数轴知识和线段中点的定义计算即可； （2）①点C表示数，点C在线段上，且，得出，再计算代数式的值即可； ②根据，得出，说明点B在点C的右侧或在点C处时，的最小值为6，不符合题意，说明点B必须在点C的左侧，然后分两种情况求出a的值即可． （1）解：∵，， ∴线段的长度为， ∴线段的中点表示的数是， 故答案为：； （2）解：①∵点C表示数，点C在线段上，且， ∴，即， ∴ ②∵， ∴， 当点B在点C的右侧或在点C处时，，当点P在点A处，点Q在点C处时，最大， ∵， ∴此时的最大值大于等于6， ∵的最大值为5， ∴点B不可能在点C的右侧或C处； 当点B在点C的左侧，点P在点A处，点Q在点C处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴； 当点B在点C的左侧，点P在点B处，点Q在点O处时，最大，则此时， 解得：， ∴， ∴ 当时， 原式； 当时， 原式 ． 综上：式子的值为或． 4．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是，12（两点间的距离用表示） （1）若C在之间且，C对应的数为______； （2）若D在数轴上对应的数为x，则的最小值为______． （3）若动点P从A点出发以1个单位秒的速度在数轴上向右运动，点Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动.经过多久P、Q的距离为3个单位长度？ （4）若动点P、Q分别从A、B两点同时向右运动，与此同时动点M从原点O出发，也向右运动，P点的速度为1个单位秒，Q点的速度为2个单位/秒，M点的速度为1.5个单位秒，试探究在运动过程中的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变求出其值． 【答案】（1）4；（2）2；（3）经过或秒后距离为3个单位；（4）不变，8 【分析】（1）根据中点的定义可得； （2）根据两点的距离公式以及绝对值的意义解答即可； （3）分两种情况求解①当P、Q相遇前，②当P、Q相遇后 （4）设秒后，运动后Q对应的数为：，   根据题意列出方程即可， 解：（1）根据题意知点表示的数为， 故答案为：4； （2）表示数到3和5两点的距离之和，所以最小值为2． （3）①当P、Q相遇前： （秒） ②当P、Q相遇后： （秒） 即经过或秒后距离为3个单位. （4）设运动时间为t秒 运动后Q对应的数为： 同理：    则： ∴ 【点睛】本题考查了列代数式，绝对值，数轴，整式加减的应用，读懂题目信息，理解数轴上两个点之间的距离的表示方法是解题的关键． 题型13：整式加减与图形表面积综合计算题 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是盼盼家新添置的一套住房的平面图及其尺寸数据（单位：米）． （1）客厅的面积是______平方米，主卧的面积是______平方米；（用含a，b的代数式表示） （2）求盼盼家这套住房的总面积；（用含a，b的代数式表示） （3）若，，购买时房价为0.6万元/平方米，在计算房价时需要另外加10平方米的公摊面积，求盼盼家这套住房的总房价． 【答案】（1）7a，；（2）平方米；（3）73.2万元 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式以及求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据图形分别表示出每个位置的面积即可； （2）根据图形分别表示出每个位置的面积，再求和即可； （3）将，代入，计算即可． （1）解：根据题意可得客厅面积为平方米；主卧的面积是平方米， 故答案为：；； （2）解：平方米． 所以盼盼家这套住房的总面积为平方米； （3）解：当，时，（平方米）． （万元）． 所以盼盼家这套住房的总房价是73.2万元． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）用如图的个小长方形和图的阴影长方形刚好拼成图的大长方形，已知图中小长方形的宽为． （1）当时，求阴影小长方形的面积． （2）用含的代数式表示阴影长方形的一边的长． （3）若阴影长方形的周长为，求图大长方形的周长． 【答案】（1）阴影小长方形的面积为．；（2）阴影长方形的一边的长为．；（3）大长方形的周长为． 【分析】（1）根据图可得，图的小长方形长为，则阴影小长方形的长为，宽为，将代入即可求解； （2）阴影长方形的一边即为阴影长方形的宽； （3）先根据阴影长方形的周长为求出的值，再代入大长方形的周长中即可得解． （1）解：根据图可得，图的小长方形长为， 则阴影小长方形的长为，宽为， 当时， 阴影小长方形的长为，宽为， 所以阴影小长方形的面积为； （2）解：阴影长方形的一边即为阴影长方形的宽， 即阴影长方形的一边的长为； （3）解：阴影长方形的长为，宽为，周长为， ， ， 大长方形的长为，宽为， 大长方形的周长为． 【点睛】本题考查的知识点是列代数式，整式混合运算的应用，代数式求值，解题关键是利用数形结合思想解题． 3．（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）如图，陈叔叔家有一块长方形菜地，为方便管理，现准备在菜地中改建两条平行四边形小路出来，（如图中阴影部分所示），剩余部分种植蔬菜． （1）种植蔬菜部分的面积是_____；（用化简后含，的代数式表示） （2）若米，米，种植蔬菜的部分每平方米的成本是20元，求这块菜地种植蔬菜需要的成本是多少元? 【答案】（1）；（2）这块菜地种植蔬菜需要的成本是1920元 【分析】本题主要考查整式加减的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据种植蔬菜的部分的面积=菜地的面积-两条小路的面积代入求解即可． （2）把米，米代入（1）求出面积，再根据面积乘以每平方米的费用计算即可． （1）解：由图可得： ； 故答案为； （2）解：把米，米代入（1）中代数式得：（平方米）， ∴（元）； 答：这块菜地种植蔬菜需要的成本是1920元． 4．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： （1）窗户的面积； （2）窗框用料实线部分的总长度； （3）当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框料每米元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 【答案】（1）平方米；（2）米；（3）元 【分析】本题主要考查列代数式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的面积及圆的面积可进行求解； （2）根据圆的周长及正方形的周长公式可进行求解； （3）由（1）（2）可代值进行求解即可． （1）解：四个小正方形的面积为平方米， 上面半圆的面积为平方米， 窗户的面积为平方米． 答：窗户的面积为平方米； （2）解：由图可得： 窗框的总长度是：米， 答：窗框的总长度是米； （3）解：∵， ∴根据可知，费用为： 元． 答：制作这种窗户需要的费用是元． 题型14：多条件下代数式变形求值中档题 1．（25-26七年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是______． （2）化简求值，，其中． 【拓展探索】 （3）若，请求出的值． 【答案】（1）；（2），2；（3） 【分析】（1）把看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简； （2）分别将和看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简，然后利用整体思想代入求值； （3）将原式变形后，利用整体思想代入求值． 解：（1） 故答案为：； （2） ． 当时， 原式． （3）因为， 所以． 所以． 即． 所以． 【点睛】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）问题解决：当x取不同数值时，代数式和对应的值如下表，表中部分信息被墨水污染， x 1 2 2 ● ● 3 根据表中信息求：当时，代数式的值； （2）迁移拓展：，，求的值． 【答案】（1）15；（2） 【分析】本题考查了已知整式的值，求另一个代数式的值，涉及到了整体代入的思想方法． （1）先利用表格得出，再将所求代数式变形，整体代入数值计算即可求解； （2）将所求代数式变形，并将已知整式的值代入即可求解． （1）解：由表格数据可知，， 当时，； （2）解：， ∵，， ∴． 3．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为7，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入得到，再把和代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可． 解：（1）∵代数式的值为10， ∴， ∴， ∴； （2）∵当时，， ∴， ∴当时，； （3）∵，， ∴， ∴ ． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则① ； ② ． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，掌握整体代入的思想，把每一个整式进行适当的变形是解题的关键． （1）直接将整体代入计算； （2）根据，把化为，整体代入计算； （3）根据，将要求的式子变形：即可得结果． （1）解：依题意，当时， ，， 故答案为：2，3； （2）解：当时， ； （3）解：∵，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （北师大版七年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：三视图综合，由俯视图小方块个数画主视图、左视图 2 题型2：绝对值非负性（几个非负数相加等于0）求字母的值 4 题型3：数轴点平移、两点距离综合填空题 4 题型4：有理数混合简便运算、有理数背景新定义运算解答题 5 题型5：整式化简+整体代入求值中档解答题 6 题型6：代数式的值与字母取值无关求参数题型 6 题型7：根据几何图形列代数式，求图形面积 7 题型8：数字规律探究，归纳第n项代数式 8 题型9：图形点阵类规律探究，代数式求值 9 题型10：有理数实际应用题 11 题型11：有理数、代数式结合的阅读理解简单题型 12 题型12：数轴上点移动综合计算（不含复杂动点t参数） 14 题型13：整式加减与图形表面积综合计算题 16 题型14：多条件下代数式变形求值中档题 18 一、专题定位 本专题为北师大版七年级上册期中第二轮复习，整合第1至第3章中档重难点，贴合成都、广东地区期中真题命题特点。聚焦有理数综合运算、绝对值非负性应用、整式化简求值、代数式综合应用、图形与数字规律，对应期中试卷中档解答题与填空压轴。重点训练计算步骤规范、绝对值多解问题、整体代入变形、图形信息提取；针对性解决符号出错、漏解、不会整体代换、规律归纳出错等高频失分点。适配课堂中档讲练、限时专题训练与阶段性检测组卷，是提升期中中档题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 考点 丰富的图形世界 三视图综合（俯视图标数字画另外两个视图）；几何体结合代数式求表面积；图形类规律探究；展开图结合简单计算 有理数及其运算 绝对值非负性：若干非负数之和为0模型；绝对值方程|x|=a（a>0）双解；数轴综合：点平移、两点距离公式|x1-x2|；有理数简便运算；新定义运算；有理数实际情境运算（温度、水位） 整式及其加减 整式化简求值；整体代入求值（高频中档）；代数式的值与字母取值无关题型；图形面积列代数式并计算；数字、图形规律，写出第n个代数式 跨章节中档综合 数轴背景结合绝对值；图形规律转化为代数式；实际情境列式结合有理数运算 三、必考、常考题型 题型1：三视图综合，由俯视图小方块个数画主视图、左视图 1.（26-27七年级上·山东济南·阶段检测）如图所示的是由7个大小相同的小正方块搭建的几何体，其中每个小立方块的棱长为1． （1）请在上面方格纸中分别画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． （2）该几何体的体积是________，表面积（包含底面）是________． （3）在保持从左面、上面看到的这个几何体的形状图不变的情况下，最多可以再添加________个小正方体． 2.（26-27六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用3个同样的小正方体摆出的几何体，从三个方向看到的图形分别如下图，这个几何体是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）由一些大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数是________． 4.（26-27七年级上·山西运城·阶段检测）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状图如图所示，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数． （1）请在对应网格中画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． （2）组成该几何体的小立方体一共有_______个． （3）若保持从上面看和从左面看的形状图不变，最多还可以添加_______个小立方体． 题型2：绝对值非负性（几个非负数相加等于0）求字母的值 1.（24-25七年级上·广西南宁·阶段检测）已知若为一个有理数，则． （1）填空：当时，________；当时，________； （2）当等于多少时，的值最小，最小值是多少？ 2.（2026七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·广东茂名·期中）若a是任意的有理数，则式子的最大值是_________． 4.（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）已知有理数满足，另有两个不等于零的有理数，使得且， （1）求的值； （2）试比较与的大小，并说明理由． 题型3：数轴点平移、两点距离综合填空题 1.（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． （1）在数轴上标出原点； （2）点B表示的数是 ； （3）若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 2.（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 3.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是________． 4.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． （1）将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； （2）将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； （3）将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； （4）怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 题型4：有理数混合简便运算、有理数背景新定义运算解答题 1.（26-27七年级上·广东江门·阶段检测）计算 （1）． （2）． 2.（24-25七年级上·云南昆明·期中）用“”定义一种新运算，对于任何有理数和，规定，如，则的值为（  ） A． B． C． D． 3.（26-27七年级上·北京顺义·阶段检测）从，，，4，5中取三个不同的数相乘，可得到的最大乘积是___________，最小乘积是___________． 4.（26-27七年级上·天津和平·阶段检测）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 题型5：整式化简+整体代入求值中档解答题 1.（26-27七年级上·全国·期中）先化简，再求值：，其中，． 2.（2026七年级上·全国·专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，代数式的值为_____________． 4.（2026七年级上·全国·专题练习）有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘2得． 【简单应用】 （1）已知，则_______； （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 题型6：代数式的值与字母取值无关求参数题型 1.（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知整式，其中a、b、c为常数． （1）若的结果中不含项和x项，求a、b的值； （2）若对于任意x，的值始终为，求a、b、c的值． 2.（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知代数式合并同类项后不含，项，则的值为（        ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）已知，，当____________时，代数式的值与x无关． 4.（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对面上的两个数相等，回答下列问题： （1） ， ； （2）已知代数式， ①在（1）的条件下，求的值； ②若的值与的取值无关，则 ． 题型7：根据几何图形列代数式，求图形面积 1.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，实验中学有一块长为，宽为的长方形空地，计划在这块空地上修一个长方形和一个半圆形的花坛，剩余部分种植草皮，根据图中标注的长度，解答下列问题．（单位：m） （1）用含的式子表示种植草皮的面积；（结果保留） （2）若取3，求种植草皮的面积． 2.（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，两个面积分别为9，15的图形叠放在一起，两个阴影部分的面积分别为，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．-12 D．-6 3.（24-25七年级上·北京石景山·期末）已知图形是由直径为的两个半圆叠拼而成，．请用含的代数式表示图中阴影的面积______．    4.（25-26七年级上·河北保定·期末）李先生购买了一套经济适用房，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）用代数式表示：客厅的面积是______，厨房的面积是______； （2）求这套房的地面总面积（用含x，y的代数式表示），并求出当，时，这套房的总面积是多少？ 题型8：数字规律探究，归纳第n项代数式 1.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列各式： ；；； （1）写出第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； （2）计算：． 2.（26-27七年级上·河南许昌·阶段检测）网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，除A之外，共有（     ）人会收到该信息． A．7 B．14 C．63 D．127 3.（26-27七年级上·天津蓟州·阶段检测）观察下列数字：2，，8，，32，… （1）按照此规律排列，第20个数是________； （2）第n个数是________． 4.（26-27七年级上·辽宁营口·阶段检测）探究下列各式的规律： ，，，，… （1）根据你发现的规律填写：_______________×______________________________； （2）用含有n（n为整数，且）的代数式表示（1）中的规律：__________________________________； （3）计算：的值． 题型9：图形点阵类规律探究，代数式求值 1.（26-27七年级上·江苏常州·期中）用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． （1）第4个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； （2）第n（n为正整数）个图案中，三角形的个数有___________个，六边形的个数有___________个； （3）是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 2.（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，…，照这样的规律搭下去，搭2026个三角形需要小木棒的根数为（） A．4048 B．4049 C．4052 D．4053 3.（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…，则第9个图案需要用矩形的个数为_______． 4.（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）用火柴棒按下图的方式搭图形： （1）图②有______根火柴棒；图③有______根火柴棒． （2）按上面的方法继续下去，第个图形中有______根火柴棒． （3）第（的整数）个图形中有______根火柴棒． 题型10：有理数实际应用题 1.（26-27七年级上·西藏拉萨·期中）小周于上周日买进某农产品10000斤，每斤2.4元，下表为本周内该农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（购进当日该农产品的批发价格为每斤2.7元）． 星期 一 二 三 四 五 与前一天的价格涨跌情况（元） 当天的交易量（斤） 2500 2000 3000 1500 1000 （1）星期四该农产品价格为每斤多少元？ （2）本周内该农产品的最高价格为每斤多少元？最低价格为每斤多少元？ （3）小周本周的买卖中共赚了多少钱？请你帮他算一算． 2.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列问题情境，不能用加法算式表示的是（    ） A．水位先下降，再上升后的水位变化情况 B．某日最低气温为，温差为，该日最高气温 C．原有10元纸币，购买3元文具后找回的零钱 D．数轴上表示与10的两个点之间的距离 3.（26-27七年级上·重庆·阶段检测）电影《功夫女足》今年暑假7月11日上映，影片上映10天累积超15亿票房，实现口碑票房双丰收．据统计，该电影7月13日票房是亿元，接下来7天内的票房变化情况如下表（正数表示票房收入比前一天增加，负数表示票房收入比前一天减少）这7天中，当天票房收入最高的是________亿元． 日期 7月14日 7月15日 7月16日 7月17日 7月18日 7月19日 7月20日 票房变化（亿元） 0.6 4.（26-27七年级上·江西萍乡·阶段检测）近几年全球新能源汽车迅猛发展，我国已成为全球最大的新能源汽车市场．小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 （1）这七天里路程最多的一天比最少的一天多行驶______； （2）求小明家的新能源纯电汽车这七天一共行驶的路程； （3）假设这七天行驶前汽车处于满电状态，已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余行驶路程不足续航的，行车电脑就会发出充电提示，请通过计算，说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 题型11：有理数、代数式结合的阅读理解简单题型 1．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段检测）阅读理解 同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1） _____； （2）同样的道理，表示数轴上有理数x 所对应的点到和10所对应的两点的距离相等，则_____； （3）类似地，表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点的距离之和，使得，这样的整数有____个； （4）由以上探索猜想，对于任何有理数x， 是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 2．（26-27七年级上·河南驻马店·阶段检测）【阅读理解】观察下列各式：；；； 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为． 【初步应用】 类比上述方法，解答下列各题： （1）计算：； （2）计算： （3）直接写出结果：= 3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）阅读理解：我们把只含有一个字母，且字母的指数都是1，系数之和为0，常数项之和也为0的两个整式称为互为零和整式．例如：整式与整式，它们都只含一个字母x，x的指数都是1，且系数，常数项，因此这两个整式互为零和整式．根据以上定义，解答下列问题： （1）下列各组整式中，互为零和整式的是____________． A．与    B．与 C．与    D．与 （2）若整式与整式互为零和整式，求的值． （3）现有两个互为零和整式M和N，其中；先化简整式M，再根据零和整式的定义直接写出整式N． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习题目内容． C组17．代数式：的值为9．则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶ 由题意得，则有． ． 所以代数式的值为9． 【方法运用】 （1）若，则= ． （2）若代数式的值为15，求代数式的值． 题型12：数轴上点移动综合计算（不含复杂动点t参数） 1．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 2．（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． （1）点，点表示的数分别是 ； （2）若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； （3）若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中． （1）当，时，线段的中点表示的数是______； （2）若数轴上另有一点C表示数． ①若点C在线段上，且，求式子的值； ②点P为线段上一动点，点Q为线段上一动点，当时，线段的最大长度为5，求式子的值． 4．（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是，12（两点间的距离用表示） （1）若C在之间且，C对应的数为______； （2）若D在数轴上对应的数为x，则的最小值为______． （3）若动点P从A点出发以1个单位秒的速度在数轴上向右运动，点Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动.经过多久P、Q的距离为3个单位长度？ （4）若动点P、Q分别从A、B两点同时向右运动，与此同时动点M从原点O出发，也向右运动，P点的速度为1个单位秒，Q点的速度为2个单位/秒，M点的速度为1.5个单位秒，试探究在运动过程中的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变求出其值． 题型13：整式加减与图形表面积综合计算题 1．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是盼盼家新添置的一套住房的平面图及其尺寸数据（单位：米）． （1）客厅的面积是______平方米，主卧的面积是______平方米；（用含a，b的代数式表示） （2）求盼盼家这套住房的总面积；（用含a，b的代数式表示） （3）若，，购买时房价为0.6万元/平方米，在计算房价时需要另外加10平方米的公摊面积，求盼盼家这套住房的总房价． 2．（25-26七年级上·湖南·期末）用如图的个小长方形和图的阴影长方形刚好拼成图的大长方形，已知图中小长方形的宽为． （1）当时，求阴影小长方形的面积． （2）用含的代数式表示阴影长方形的一边的长． （3）若阴影长方形的周长为，求图大长方形的周长． 3．（25-26七年级上·甘肃陇南·期末）如图，陈叔叔家有一块长方形菜地，为方便管理，现准备在菜地中改建两条平行四边形小路出来，（如图中阴影部分所示），剩余部分种植蔬菜． （1）种植蔬菜部分的面积是_____；（用化简后含，的代数式表示） （2）若米，米，种植蔬菜的部分每平方米的成本是20元，求这块菜地种植蔬菜需要的成本是多少元? 4．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）如图是某种窗户的形状，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部分每个小正方形的边长为米，求： （1）窗户的面积； （2）窗框用料实线部分的总长度； （3）当时，若窗户上安装的是玻璃，玻璃每平方米元，窗框料每米元，窗框厚度不计那么生产这种窗户的总费用是多少？全部用含的代数式表示） 题型14：多条件下代数式变形求值中档题 1．（25-26七年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 比如，，类似地，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是______． （2）化简求值，，其中． 【拓展探索】 （3）若，请求出的值． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）（1）问题解决：当x取不同数值时，代数式和对应的值如下表，表中部分信息被墨水污染， x 1 2 2 ● ● 3 根据表中信息求：当时，代数式的值； （2）迁移拓展：，，求的值． 3．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ． 【阅读理解】小明在解答该题时采用的方法如下：由题意，得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为10，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为7，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求的值． 4．（25-26七年级上·广东深圳·期中）有这样一道题“如果代数式的值为－4，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式，我们把看成一个整体，把式子两边乘以2得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则① ； ② ． （2）已知，，求的值． 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $