第2章 有理数「期中复习考点讲练〈真题汇编讲练〉」知识卡片+知识梳理+22个考点讲练+实战演练 共59题-2026-2027学年苏科版新教材数学七年级上册章节复习培优讲义

null 2026-2027学年苏科版数学七年级上册章节复习培优讲义「新教材」 第2章 有理数「期中复习考点讲练〈真题汇编讲练〉」 （知识梳理卡片+22个重难点考点讲练+实战演练 共59题●原卷版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】有理数的分类 2 【重难点考点二】带“非”字的有理数 3 【重难点考点三】利用数轴比较有理数的大小 3 【重难点考点四】数轴上两点之间的距离 4 【重难点考点五】数轴上点的平移（动点问题) 5 【重难点考点六】数轴上找原点 5 【重难点考点七】数轴上整点覆盖问题 6 【重难点考点八】数轴上的规律探究 6 【重难点考点九】绝对值的几何意义 7 【重难点考点十】求一个数的绝对值 8 【重难点考点十一】绝对值的其他应用 8 【重难点考点十二】绝对值的非负性 9 【重难点考点十三】相反数的应用 10 【重难点考点十四】化简多重符号 10 【重难点考点十五】有理数四则混合运算 11 【重难点考点十六】有理数四则混合运算的实际应用 11 【重难点考点十七】根据点在数轴的位置判断式子的正负 12 【重难点考点十八】数轴上的翻折 12 【重难点考点十九】乘方运算的符号规律 14 【重难点考点二十】用科学记数法 14 【重难点考点二十一】算“24”点 15 【重难点考点二十二】含乘方的有理数混合运算 15 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】有理数的分类 【典型例题】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合：（ ） 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________｝ (2)负有理数集合：｛____________________｝ (3)整数集合：｛____________________｝ 【重难点考点二】带“非”字的有理数 【典型例题】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________； (2)分数集合：_____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：（ ） (2)分数：（ ） (3)非负整数：（ ）； (4)有理数：（ ） 【重难点考点三】利用数轴比较有理数的大小 【典型例题】（25-26七年级上·广东深圳·期中）已知：点在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是______，表示有理数的点是______，两点之间的距离为______个单位长度； (2)请你在数轴上标出表示有理数和的点和点； (3)将，0，，，这五个数用“”连接的结果是______． 【举一反三练习】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点、、、、在数轴上分别对应下列各数： 、、、、 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）； (2)请用“”将它们连接起来． 【重难点考点四】数轴上两点之间的距离 【典型例题】（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【重难点考点五】数轴上点的平移（动点问题) 【典型例题】（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【举一反三练习】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 【重难点考点六】数轴上找原点 【典型例题】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【重难点考点七】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【举一反三练习】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【重难点考点八】数轴上的规律探究 【典型例题】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【重难点考点九】绝对值的几何意义 【典型例题】（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)___________，___________； (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，，的点． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东湛江·期中）按要求解答 (1)填空：数轴上表示的点和表示的点的距离是________． (2)如果点A ，点B分别表示互为相反数的2个数，并且这2个点的距离是5，那么这2个数中位于原点左边的数是多少？ 【重难点考点十】求一个数的绝对值 【典型例题】．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【重难点考点十一】绝对值的其他应用 【典型例题】（25-26七年级上·广东惠州·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 【重难点考点十二】绝对值的非负性 【典型例题】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，数轴上的三个点分别表示数，，．若，，且，则________． 【重难点考点十三】相反数的应用 【典型例题】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练习】（24-25七年级下·四川巴中·期中）若式子与的值互为相反数，可列式为_____，则_____． 【重难点考点十四】化简多重符号 【典型例题】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，， 【重难点考点十五】有理数四则混合运算 【典型例题】（26-27七年级上·广西·期中）计算： (1) (2) 【举一反三练习】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【重难点考点十六】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为0.06升/千米，这天上午小李共耗油________升． (3)若出租车起步价为11元，起步里程为3千米（不超过3千米均按起步价收费），超过3千米的部分每千米3元．则小李今天上午共得车款________元． 【举一反三练习】（26-27七年级上·全国·单元复习）某超市以每千克16元的价格，购进了火龙果．为了合理定价，在前5天试行机动价格，卖出时每千克以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负，超市记录这5天火龙果的售价情况和售出情况如下表： 第几天 一 二 三 四 五 每千克售价相对于标准售价／元 0 销售量 15 18 22 26 34 (1)这5天里超市售出的火龙果，每千克售价最高与最低相差________元； (2)这5天超市出售的火龙果收益是多少元？（盈利或亏损的钱数） (3)5天后，部分火龙果开始出现变质，超市选取5天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的火龙果，求超市销售完购进的全部火龙果后的总收益． 【重难点考点十七】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】（26-27七年级上·吉林四平·阶段检测）已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【举一反三练习】（26-27七年级上·安徽·期中）（多选）如图，数轴上的两个点A． B所表示的数分别为a、b，那么a，b，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【重难点考点十八】数轴上的翻折 【典型例题】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）数轴是非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，当数轴或数轴上的点动起来，我们会发现数字也相应发生有趣的变化．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数2与数对应的点重合，则此时数与数______对应的点重合； (2)若折叠后数3与数对应的点重合，则此时数0与数______对应的点重合； (3)若按照（2）的方式折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），求点A和点B对应的数． 【重难点考点十九】乘方运算的符号规律 【典型例题】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【重难点考点二十】用科学记数法 【典型例题】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【重难点考点二十一】算“24”点 【典型例题】（26-27七年级上·陕西·期中）现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 【举一反三练习】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【重难点考点二十二】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】（26-27七年级上·甘肃·期中）计算 (1) ； (2)； (2) (3)； (4)． 【举一反三练习】（26-27七年级上·四川·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)猜想：___________； (2)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法求的值； (3)计算：． 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27七年级上·河北·期中）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． 如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走（     ）颗棋子． A．1 B． C．3 D．4 3．（26-27七年级上·河北·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 4．（25-26七年级下·四川乐山·期末）计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·河北·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；二进制等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 7．（26-27七年级上·河北·期中）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入“”，“”，“”，“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果，若，则内填写的符号为_______________； 8．（26-27七年级上·全国·单元复习）小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 9．（26-27七年级上·陕西·期中）小新同学发明了一种游戏，将0，，1，，5，6，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等．他已经将，1，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 11．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 12．（26-27七年级上·江西吉安·期中）计算题 (1)； (2)． 13．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆； (2)本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答） 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【概念学习】定义：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作23，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下5次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如； （2）仿照上面的算式，直接将下列运算写成幂的形式：5； 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ； 【结论应用】 （4）计算：． 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学七年级上册章节复习培优讲义「新教材」 第2章有理数「期中复习考点讲练〈真题汇编讲练〉」 (知识梳理卡片+22个重难点考点讲练+实战演练共59题●原卷版) 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】有理数的分类.... ........2 【重难点考点二】带“非”字的有理数... ….3 【重难点考点三】利用数轴比较有理数的大小.· ·.3 【重难点考点四】数轴上两点之间的距离.... 【重难点考点五】数轴上点的平移（动点问题）.， 【重难点考点六】数轴上找原点.… .5 【重难点考点七】数轴上整点覆盖问题..· 【重难点考点八】数轴上的规律探究...· 【重难点考点九】绝对值的几何意义. ..7 【重难点考点十】求一个数的绝对值.. 【重难点考点十一】绝对值的其他应用.. 【重难点考点十二】绝对值的非负性.· 【重难点考点十三】相反数的应用. 【重难点考点十四】化简多重符号. ……….10 【重难点考点十五】有理数四则混合运算.·· ....11 【重难点考点十六】有理数四则混合运算的实际应用... ….11 【重难点考点十七】根据点在数轴的位置判断式子的正负 ….12 【重难点考点十八】数轴上的翻折.· ..12 【重难点考点十九】乘方运算的符号规律... ....14 【重难点考点二十】用科学记数法..· …….14 【重难点考点二十一】算“24”点..… …..15 【重难点考点二十二】含乘方的有理数混合运算... ..................15 第1页共21页 模块一 知识梳理导图指引 1.有理数的意义 整数和分数统称为有理数 规定了原点、正方向和单位长度的直线 1.数轴 2.有理数的分类 3210123 正整取1,2,3， 2.大小此较 在数轴上右边的数总比左边的数大 零 有理数的 有理数的大小 整数 正数>0>负数：两个负敬，绝对值大的反而小。 意义与分类 比较与性质 注：0是叠 负整致-1，-2-3，… 3.绝对值1al 数轴上表示数：的点与原点的距高。 不是负数 正分故如子·子 a,a>00 32子01支3z0,a=0 分数 -a。a<0) 负分酸如-子子 3.有理数的四类 4.相反数 一只有符号不同的两个数互为相反数。 a的相反数是一a:一a的相反数是a: 出质有理数：之8的 、0的相反数是0。 3零：0： 第2章有理数 1.加法法则 同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加 异号相加。取绝对值较大的数的符号，并用蚊 1.相反意义的童 大的绝对值减去较小的绝对值： 温度：+15℃表示零上15℃， 期中复习知识清单 一个数与0相加，仍得这个数 -10℃意零07： 用有理数 2.减法法则 描述量 有理数日 s0m-0 运算 3.乘法法刚 收入：+500元表示收入500元， -200元表示支出200元， 4除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 七年级上册苏科版 即a+b=a×(b≠0). 东与西 0除以任何一个不等于0的数，都得0 5.运算顺序 1科学记歌法的形式 十算 a×10”(1≤1a<10,n为整数) 用科学记数法 如有括号，先算括号里面的。 表示有理数 2确定的方法 有理数的运算律 运尊技巧 ①同号得正，异号得负 1,加法运律 2.乘法运算律 ②符号处理要细心： 加法交换律：位+b=b+ 委法交绝建：片三山× ③灵活运用运算律简便计算 简单明了 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法结合律：(a×b)×r=信×(h×d 0.000038=3.8×10-1 加法交换换与与结合律不变。 原法分配律：a×(伪+)=a×b+a×e △易错点诚 3应用 运用运算律可以简化计算，使计算更简便、准确。 心解题技巧 自5不是正数也不是负数。但0甚数不基分 2正数都大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小 一数轴小知识 2分墨计论， 遇到含绝对值的式子，先分类(a≥0。a<0。a=0) 3.la与a的大小关系：a>0时.al=a:a<0时，lal=-a 432-101234 先定符号： 计算前先确定结果的符号，再计算绝对值 衣边的巾上高原点运，地对情越大右边的取大 用运或代人原式特结果是正 模块二 重难点讲练能力提升 【重难点考点一】有理数的分类 【典型例题】(25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中)·把下面的有理数填在相对应的集合内： 3-30,-7.2,2-06,0,2.1,+5,-302,+10. 正数集合：( 负数集合：( ) 整数集合：( ) 分数集合：( ) 自然数集合：( ) 【举一反三练习】(25-26七年级上·广东东莞·期中)把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②-片③-5，④号，⑤0，⑥-5.32，⑦3.14，⑧m;⑨0.2. 第2页共21页 (1)正有理数集合： (2)负有理数集合： (3)整数集合：{」 【重难点考点二】带“非”字的有理数 【典型例题】(25-26七年级上·广东广州·期中)把下列各数填入相应的大括号里：10%，+刊-6，- 0,-2.6,3.14, 份，-7%，元 (1)整数集合： (2)分数集合：{ (3)非负有理数集合：C 【举一反三练习】(25-26七年级上·四川南充·期中)把下列各数分类 6,29%,-700,2号，-3.88,0,314，-230.23，元 (1)整数：( ) (2)分数：( ) (3)非负整数：( (4)有理数：( ) 【重难点考点三】利用数轴比较有理数的大小 【典型例题】(25-26七年级上·广东深圳·期中)已知：点A,B,C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴 并解答下列问题： (1)点A表示的有理数是一， 表示有理数-5的点是一一，A,C两点之间的距离为一个单位长度： (2)请你在数轴上标出表示有理数和-2.5的点P和点Q: (3)将-5,0，-2，-2.5，这五个数用“<”连接的结果是 第3页共21页 【举一反三练习】(25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中)已知点A、B、C、D、E在数轴上分别对应 下列各数： -(←-4)、-引-2分-(+3)-22 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）： (2)请用“<”将它们连接起来. 【重难点考点四】数轴上两点之间的距离 【典型例题】(25-26七年级上·河南新乡·期中)如图1，点A,B,C是数轴上从左到右排列的三个点， 分别对应的数为-8，b,4.某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的 点A,发现点B对齐刻度2.1cm,点C对齐刻度6.3cm. 6 A B A C mmtmnjmmprmmpmpmjmpmmmmpmmmmpmpmmpm -8b 4 01cm234567 图1 图2 (1)在图1的数轴上，AC=个单位长度(AC表示点A到点C的距离)，数轴上的一个单位长度对应刻度尺上 的_cm;点B所对应的数b为_： (2)若Q是数轴上一点，且满足点A到点Q的距离是点A到点B距离的2倍，求点Q所对应的数. 【举一反三练习】(25-26七年级上·江西吉安·期中)如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和4cm刻 度线分别与数轴上表示-7和-5的两点重合对齐，则数轴上与8cm刻度线对齐的点表示的数为( -7-5 LwwwogongLoyumuwn 0cml2345678910 A.+1 B.+3 C.-3 D.-1 第4页共21页 【重难点考点五】数轴上点的平移（动点问题） 【典型例题】(25-26七年级上·重庆·期中)数轴上的点A、B、C、D所表示的数如图所示，点M为 线段AB的中点，线段AB沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m个单位长度向左 平移.当点M和点C重合时同时停止运动.若在运动过程中始终满足3MC=DA,则m的值为() A M B C D -136 14 A.2 B.月 .4 D.5 【举一反三练习】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中)操作与探究. (1)如图1，写出数轴上点M,N,P,Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接， M N P 0 -3-2-012345→ 图1 (2)如图2，点A,B,C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A表示的数是-2，点C表示的数是3. C -20 3 图2 ①若以点C为原点，则点A表示的数是_，点B表示的数是： ②若点B表示的数和点C表示的数互为相反数，则点B表示的数是_，点A表示的数是_ (3)若将数轴上一点E先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点F,点F表示的数是 -1.求点B表示的数是多少 【重难点考点六】数轴上找原点 【典型例题】(25-26七年级上·内蒙古通辽·期中)如图，数轴上点A表示的数是-2，点B表示的数是5， 数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度， (1)在数轴上标出原点0： 第5页共21页 (2)在数轴上找一点C,使它与点A的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为_一一 (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“<”连接. -3,-2.51,5.5,-(+) 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测)有理数a,b在一条隐藏原点的数轴上的对应 点A,B的位置如图所示，且a+b>0,下列推断正确的是() A B b A.原点一定在点A左侧 B.原点一定在点B右侧 C.原点一定在AB中点左侧 D.原点一定在AB中点右侧 【重难点考点七】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】(25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测)数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度 是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是 【举一反三练习】(24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测)如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等 分点处依次标上数字0,1,2,3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数 轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数-2024将与圆周上的哪个数字重合() -5-4-3 012345 A.0 B.1 C.2 D.3 【重难点考点八】数轴上的规律探究 【典型例题】（25-26七年级上·江苏苏州·期中)如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上 字母A,B,C,D,先让正方形上的顶点A与数轴上的数-2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方 向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合() 第6页共21页 -5-4-3-2-1012345 A.字母A B.字母B C.字母C D.字母D 【举一反三练习】(25-26七年级上·广东深圳·期中)如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点 A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点A1,第2次从点A1向右移动4个单位长度至点A2, 第3次从点A2向左移动6个单位长度至点A3,…按照这种移动方式进行下去，如果点A与原点的距离等于 1114,那么n的值是 As AAA -3-2-101支34567 【重难点考点九】绝对值的几何意义 【典型例题】(26-27七年级上·广东深圳·阶段检测)已知有理数a,b,其中数a在如图所示的数轴上对 应点M,b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3. M 4-3-2-101克34 (1)a= ,b= 2②)写出大于-的所有负整数： (3)在数轴上标出表示-多0，-1，-b的点， 【举一反三练习】(25-26七年级上·广东湛江·期中)按要求解答 (1)填空：数轴上表示-2的点和表示-(+1)的点的距离是一一一一· (2)如果点A,点B分别表示互为相反数的2个数，并且这2个点的距离是5，那么这2个数中位于原点左 边的数是多少？ 第7页共21页 【重难点考点十】求一个数的绝对值 【典型例题】，(25-26七年级上·山东德州·期中)已知点AB、CD尽F在数轴上分别对应下列各 数：0,1-3.51，-3.75，-(+4，-(-5)，-2 (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） B -5-4-3-2-1012345 (2)用“<”号把这些数连接起来. 【举一反三练习】(25-26七年级上·广东东莞·期中)如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示 的数是-3. A (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“<”号把这些数按从小到大连接起来. 2.5,-45,1-1.5引，-(+2). 【重难点考点十一】绝对值的其他应用 【典型例题】(25-26七年级上·广东惠州·期中)己知x-2引+y+3引=0. (1)求x,y的值： (2)己知y+z=2025,求z的值. 第8页共21页 【举一反三练习】(25-26七年级上·浙江金华·期中)如图，己知数轴上两点A,B对应的数分别为a,b, 满足|a+4+(b-8)2=0. A O B (1)数轴上点A表示的数是 一一，点B表示的数是 (2)点P和点Q分别从点A,B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运 动速度为每秒6个单位. ①当P,Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 【重难点考点十二】绝对值的非负性 【典型例题】(25-26七年级上·湖南岳阳·期中)【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个 非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a≥0时，la=a:当a<0时，al=-a, 对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：8一5引=8一5： 15-8到=8-5：片-引=片-引= (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①3-71= :②2-π= 【拓广应用】 ②用合适的方法计算：片-+片-+名 (3)请利用你探究的结论计算： 服小后引片应品+ 11,11 1 2024 第9页共21页 【举一反三练习】(25-26七年级上·浙江杭州·期中)如图，数轴上的三个点分别表示数a,b,c.若la=3, b1=2,且la+bl=lal-lbl,则a-b=-—- a b 【重难点考点十三】相反数的应用 【典型例题】(25-26七年级上·湖北荆门·期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少 数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来.如图，数轴上表示数a,b的点如图所示，把a,-a, b,一b按照从小到大的顺序排列，正确的是( a0b→ A.-b<-a<a<b B.-a<-b<a<b C.-b<a<-a<b D.-b<b<-a<a 【举一反三练习】(2425七年级下·四川巴中·期中)若式子6+与的值互为相反数，可列式为一一， 则x= 【重难点考点十四】化简多重符号 【典型例题】（24-25七年级上·江苏无锡·期中)把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“<”连接 各数 -5-4-3-2-1012345 --2.51,12-（-2),+(-1),-5. 【举一反三练习】(25-26七年级上·江苏徐州·期中)如图，数轴上点A表示的数是-4，点B表示的数是 3. A (1)在图中所示的数轴上标出原点O: (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“<”连接起来. +1,-1-3引，-(+2)，（-2)2，- 第10页共21页 【重难点考点十五】有理数四则混合运算 【典型例题】(26-27七年级上·广西·期中)计算： (1)-9-(-3)+(-8)-6 (2)(-4)×6+(-12)÷(-3) 【举一反三练习】(26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测)计算： (1)3×(-4④-12÷()： 2(后是+)×(-60). 【重难点考点十六】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】(26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测)出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大 街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车记录（单位：千米）如下：一2，+6， -1,+10,-15,-3. (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为0.06升/千米，这天上午小李共耗油升. (3)若出租车起步价为11元，起步里程为3千米（不超过3千米均按起步价收费），超过3千米的部分每 千米3元.则小李今天上午共得车款元. 第11页共21页 【举一反三练习】(26-27七年级上·全国·单元复习)某超市以每千克16元的价格，购进了200kg火龙 果.为了合理定价，在前5天试行机动价格，卖出时每千克以20元为标准，超出20元的部分记为正，不 足20元的部分记为负，超市记录这5天火龙果的售价情况和售出情况如下表： 第几天 四 五 每千克售价相对于标准售价/元 +6 +4 +2 -2 销售量/kg 15 9 22 26 34 (1)这5天里超市售出的火龙果，每千克售价最高与最低相差 元 (2)这5天超市出售的火龙果收益是多少元？（盈利或亏损的钱数） (3)5天后，部分火龙果开始出现变质，超市选取5天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的火龙果， 求超市销售完购进的全部火龙果后的总收益. 【重难点考点十七】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】(26-27七年级上·吉林四平·阶段检测)已知有理数α、b、c在数轴上的对应点的位置如图 所示，则下列结论正确的是( C A.c+b<a+bB.cb<ab C.-c+a>0 D.a>c>ab 【举一反三练习】(26-27七年级上·安徽·期中)（多选）如图，数轴上的两个点A.B所表示的数分别 为a、b,那么a,b-a,-b的大小关系是( a 6 -1 0 2 A.b<-a<-b B.a<-b C.b<-a D.b<-b<-a 【重难点考点十八】数轴上的翻折 【典型例题】(25-26七年级上·河南驻马店·期中)数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示 数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数 形结合”的基础.小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列 第12页共21页 的操作探究： 折痕 (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与-1表示的点重合，则-6表示的点与」 表示的点重合： -2025表示的点与 表示的点重合： (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与-3表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C,则C点表示的数是 ②-1表示的点与 表示的点重合： ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b,若折叠后A,B两点重合，且A,B两点的距离为 4050,求a,b的值， 【举一反三练习】(25-26七年级上·江苏盐城·期中)数轴是非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点 建立起对应关系，当数轴或数轴上的点动起来，我们会发现数字也相应发生有趣的变化.如图，在纸面上 有一数轴，按要求折叠纸面： 5-4-3-2-012345 (1)若折叠后数2与数-2对应的点重合，则此时数-11与数一一对应的点重合： (2)若折叠后数3与数-7对应的点重合，则此时数0与数对应的点重合： (3)若按照(2)的方式折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且AB两点之间的距离为9（点B在点A的右 侧)，求点A和点B对应的数. 第13页共21页 【重难点考点十九】乘方运算的符号规律 【典型例题】(25-26七年级上·安徽铜陵·期中)如图，己知在数轴上，点A表示的数为a,点B表示的数 为b,且Ia+3+(b-4)2=0 -4-3-2-10123456> (1)点A,点B表示的数分别是： (2)若点P是数轴上一动点，其表示的数为x.利用绝对值的几何意义，探索x+3+x一4的最小值为_： (3)若点A,点B同时沿数轴向正方向运动，点A运动的速度为2个单位长度/秒，点B运动的速度为1个单位 长度/秒，若运动的过程中，当点A、B之间相距6个单位长度时，求运动时间的值. 【举一反三练习】(25-26七年级上·山东菏泽·期中)先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出 的问题 ①2×32与2×3)，®()×23与[(》×2. (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等： (2)根据（1)的结果猜想a”bn等于什么？ @用(2）的结论i计算：（目205x(-06 【重难点考点二十】用科学记数法 【典型例题】(24-25七年级下·河北张家口·期中)地球上水的总储量为1.39×1018m3,但目前能被人 们利用的水仅占总储量的0.77%，即约为0.0107×1018，关于数据“0.0107×1018”，下列说法正确的是 ) A.用科学记数法可以表示为1.07×1016 B.用科学记数法可以表示为1.07×1018 C.该数是一个18位数 第14页共21页 D.该数是一个19位数 【举一反三练习】(25-26七年级上·浙江杭州·期中)已知航天器速度为7.9×103米/秒，行星与地球距 离为4.74×108千米，下列正确的是( ) A.航天器速度原数是79000米/秒 B.4.74×108的原数末尾有8个0 C.航天器飞完这段距离需6×10？秒 D.4.74×108小数点右移2位，结果为474×106 【重难点考点二十一】算“24”点 【典型例题】(26-27七年级上·陕西·期中)现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、 除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： -8 -5 +3 +4 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是；从中取出2张卡片，使这 2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是 (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是一一一， 结果的最大值是一一一； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或-24的算式.（写出一个符合要求的即可） 【举一反三练习】(25-26七年级上·贵州贵阳·期中)你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、 小王)中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括 号)，使运算结果为24或-24，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代 表正数，J,Q,K,A分别代表11,12,13,1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面 的方法凑成了24：7×(3+3÷7)=24.如果抽到的是黑桃A,方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或 一24的其中一种方法： 【重难点考点二十二】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】(26-27七年级上·甘肃·期中)计算 (1)(-7)+(+5)-(-19)-(+7): ②（传+-）×(-24： (2) 第15页共21页 （3)(-49)÷3×号÷(-9列： (4)-22-|2-5引+(-1)×2. 【举一反三练习】(26-27七年级上·四川·期中)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.阅读 材料，并完成下列相关问题. 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分 ②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是多=本空白部 分的面积之和为：计克+京+员++六=1- 材料二：欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行： 令S=1+2+4+8+16+…+230① 等式两边同时乘以2，得2S=2+4+8+16+32+…+231② 由②式减去①式，得5=231-1， .1+2+4+8+16+…+230=231-1. ④ ⑥ ⑤ ② ③ ① 图1 备用图 解决问题： (1)猜想：计++…+一 ②)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法求好+卓+春+幸+…+的值： ③计算：答+学++…+袋 6n1 第16页共21页 模块四 优选真题实战演练 1. （26-27七年级上·河北·期中)计算3+3+3..+3+4×4×.×4的结果是( m个 n个 A.3m+n4 B.m3+4n C.3m+4n D.3m+4 2.(26-27七年级上·江苏宿迁·期中)两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子： ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定： ④取走最后一颗棋子的同学获胜 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗 棋子 如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走 )颗棋子. A.1 B.2 C.3 D.4 3.（26-27七年级上·河北·期中)进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一 就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数1024=1×103+0×102+2×101+4，记作1024： 八进制数(1024)8=1×83+0×82+2×81+4，记作(1024)8： 五进制数(10245=1×53+0×52+2×51+4，记作(1024)5： 二进制数(1011)2=1×23+0×22+1×21+1，记作(1011)2： 二进制数(1101)2转化为十进制数为( A.12 B.13 C.14 D.15 4.（25-26七年级下·四川乐山·期末)计算1一2+3-4+5-6++49-50时，小嘉不小心把一个 运算符号写错，结果得到19，则他写错的是数( )前面的符号. A.20 B.21 C.22 D.23 5.(25-26七年级上·福建厦门·期末)按如图所示的程序运算，若输入x的值是15，第1次输出的结果 是18，则第2026次输出的结果是( ) 第17页共21页 x为奇数 x+3 输入x 输出 x为偶数 2t+1 A.3 B.4 C.6 D.10 6.(26-27七年级上河北期中)我们平常用的数是十进制数，如1234=1×103+2×102+3×101+4× 1,表示十进制的数要用十个数码：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，在电子计算机中用的是二进制，只用 两个数码0和1，如：二进制中101=1×22+0×21+1等于十进制的数5；二进制10111=1×24+0× 23+1×22+1×21+1等于十进制的数23.那么二进制中的101011等于十进制中的数. 7.(26-27七年级上·河北·期中)有个填写运算符号的游戏：在“1☐2□6☐9”中的每个☐内，填入“+”， “_”,“×”,“÷”中的某一个（可重复使用），然后计算结果，若1×2□6-9>0，则内填写的符 号为 8.(26-27七年级上·全国·单元复习)小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉 大小王)中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等 于24或-24.小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是 2 2 3 9. (26-27七年级上·陕西·期中)小新同学发明了一种游戏，将0，-1,1，-2,5,6,7，-8分别填 入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等.他已经将-1,1，-2,7这四个数填入 了圆圈，则图中a+b的值为一-· 10.(25-26七年级下·江苏泰州·期中)如图，长方形0ABC的边0A在数轴上，0为原点，长方形0ABC 的面积为12,0C边长为3，将长方形0ABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为0'A'B'C',移动后的 长方形0'A'B'C'与原长方形0ABC重叠部分的面积恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A 第18页共21页 表示的数为 B 01 A 11.(26-27七年级上·全国·期中)计算： (1)(-4)+(-7)+(-3)×(-2): (2)-22-+[(+5)-(-2)3]. 12.(26-27七年级上·江西吉安·期中)计算题 (1)12-18+|-2026-(-6): 2(-)×(-)÷（-3到)÷ 13.(26-27七年级上·江苏南京·阶段检测)2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获 得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰.某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行 轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少 的车辆数为负数)： 星期 三 四 五 六 日 增减 -5 +17 -13 +24 +10 -9 -15 (1)本周三生产了一」 辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_辆： (2)本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题.（不要求作答） 第19页共21页 14.(25-26七年级上·陕西咸阳·期中)【概念学习】定义：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法 运算叫作除方，如2÷2÷2、(-4)÷(-4)÷(-4÷(-4)÷(-4)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2 记作2，读作“2的下3次方”，(-4④÷(-4)÷(-4)÷(-4÷(-4)记作(-4)5，读作“-4的下5次方”. 一般道，把a。记作a,谈作“a的下a次方”， 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：42=· 【深入探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算 如何转化为乘方运算呢？ 例如24=22*22=2×××(（自)： (2)仿照上面的算式，直接将下列运算写成幂的形式：（)： 【归纳结论】 (3)一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：a,=_: 【结论应用】 (4)计算：9÷(×(-2)4+(×()，-6×（周） 15.(24-25七年级上·河北邯郸·期末)数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结 合.若数轴上点A,B分别对应数a,b.则点A,B两点之间的距离为AB=a-b. 如图，在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c;BC=4,且|a+10l+(b-2)2=0 A B 0 (1)a=-,b=-,c=-; (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数表示的点重合； (3)现有两个动点P,Q同时从点A,C出发匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒. ①若点P、点Q分别以每秒2个单位长度的速度和每秒4个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动.t为何 第20页共21页 值时，点Q追上点P ②若点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速 运动，求t为何值时，点P,Q相距2个单位长度.并写出此时点P,Q在数轴上表示的数， 第21页共21页 2026-2027学年苏科版数学七年级上册章节复习培优讲义「新教材」 第2章 有理数「期中复习考点讲练〈真题汇编讲练〉」 （知识梳理卡片+22个重难点考点讲练+实战演练 共59题●解析版） 重难点考点讲练目录 【重难点考点一】有理数的分类 5 【重难点考点二】带“非”字的有理数 6 【重难点考点三】利用数轴比较有理数的大小 8 【重难点考点四】数轴上两点之间的距离 10 【重难点考点五】数轴上点的平移（动点问题) 11 【重难点考点六】数轴上找原点 13 【重难点考点七】数轴上整点覆盖问题 14 【重难点考点八】数轴上的规律探究 15 【重难点考点九】绝对值的几何意义 17 【重难点考点十】求一个数的绝对值 18 【重难点考点十一】绝对值的其他应用 19 【重难点考点十二】绝对值的非负性 20 【重难点考点十三】相反数的应用 22 【重难点考点十四】化简多重符号 23 【重难点考点十五】有理数四则混合运算 24 【重难点考点十六】有理数四则混合运算的实际应用 25 【重难点考点十七】根据点在数轴的位置判断式子的正负 27 【重难点考点十八】数轴上的翻折 28 【重难点考点十九】乘方运算的符号规律 30 【重难点考点二十】用科学记数法 32 【重难点考点二十一】算“24”点 33 【重难点考点二十二】含乘方的有理数混合运算 34 模块一 知识梳理 导图指引 模块二 重难点讲练 能力提升 【重难点考点一】有理数的分类 【典型例题】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）．把下面的有理数填在相对应的集合内： ，，，，，6，0，，，，． 正数集合：（ ） 负数集合： 整数集合： 分数集合： 自然数集合： 【答案】正数集合：，，，，；负数集合：，，，，；整数集合：，，，，，；分数集合：，，，，；自然数集合：6，0，， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，正确理解有理数的分类是解题的关键．根据有理数的分类求解即可． 【规范解答】解：正数集合： ，，，，，； 负数集合： ，，，，，； 整数集合： ，，，，，，； 分数集合： ，，，，，； 自然数集合：6，0，，，． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________｝ (2)负有理数集合：｛____________________｝ (3)整数集合：｛____________________｝ 【答案】(1)①，④，⑦，⑨ (2)②，③，⑥ (3)①，③，⑤ 【思路引导】根据正有理数、负有理数、整数的定义对各数逐一分类即可． 【规范解答】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 【重难点考点二】带“非”字的有理数 【典型例题】（25-26七年级上·广东广州·期中）把下列各数填入相应的大括号里：，，，0，，，，， (1)整数集合：_____________________________ ； (2)分数集合：_____________________________ ； (3)非负有理数集合：_____________________________ ． 【答案】(1)、0、 (2)、、、、 (3)、、0、、 【思路引导】本题考查了有理数的分类，绝对值的性质及有理数的乘方，熟练掌握整数、分数、非负有理数的定义是解题的关键． （1）去绝对值，计算乘方后，根据整数的定义解答即可； （2）计算，根据分数的定义解答即可； （3）根据非负有理数的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 那么整数集合： 、0、 ， 故答案为：、0、； （2）解：， 分数集合： 、、、、 ， 故答案为：、、、、； （3）解：非负有理数集合： 、、0、、 ， 故答案为：、、0、、． 【举一反三练习】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， (1)整数：{ …}； (2)分数：{ …}； (3)非负整数：{ …}； (4)有理数：{ …}． 【答案】(1)6，，0； (2)，，，，，； (3)6，0； (4)6，，，，，0，，，． 【思路引导】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据非负整数的定义作答即可； （4）根据有理数的定义作答即可． 【规范解答】（1）解：整数：{6，，0…}； 故答案为：6，，0； （2）解：分数：{，，，，，…}； 故答案为：，，，，，； （3）解：非负整数：{6，0…}； 故答案为：6，0； （4）解：有理数：{6，，，，，0，，，…}． 故答案为：6，，，，，0，，，． 【重难点考点三】利用数轴比较有理数的大小 【典型例题】（25-26七年级上·广东深圳·期中）已知：点在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是______，表示有理数的点是______，两点之间的距离为______个单位长度； (2)请你在数轴上标出表示有理数和的点和点； (3)将，0，，，这五个数用“”连接的结果是______． 【答案】(1)，， (2) 下图为所求： (3) 【思路引导】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和数轴上两点距离公式求解即可； （2）在数轴上找到表示有理数和的点即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可． 【规范解答】（1）解：观察数轴可知，点表示的数是，点表示的数是，表示有理数的点是，两点之间的距离为：． 故答案为：，，； （2）略 （3）解：根据数轴，可知． 故答案为：． 【举一反三练习】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点、、、、在数轴上分别对应下列各数： 、、、、 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）； (2)请用“”将它们连接起来． 【答案】(1) ，，，， 将各数表示在数轴上如下： (2) 【思路引导】本题考查用数轴表示有理数，并比较有理数的大小． （1）先化简绝对值，多重符号，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上的右边的数大，进行作答即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：． 【重难点考点四】数轴上两点之间的距离 【典型例题】（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【答案】(1)，，； (2)点所对应的数为或0． 【思路引导】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案； （2）求出，然后分情况求解即可． 【规范解答】（1）解：图1的数轴上，个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知点所对应的数为， 所以点到点的距离为． 因为点到点的距离是点到点距离的2倍， 所以点到点的距离是． 当点在点左侧时，点所对应的数为 当点在点右侧时，点所对应的数为 综上，点所对应的数为或0． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江西吉安·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查数轴与有理数，根据数轴的概念即可求解； 根据题意先判断出数轴的单位长度是，得到原点对应的刻度，即可求得数轴上与刻度线对齐的点表示的数． 【规范解答】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 【重难点考点五】数轴上点的平移（动点问题) 【典型例题】（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【规范解答】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 【举一反三练习】（25-26七年级上·黑龙江伊春·期中）操作与探究． (1)如图1，写出数轴上点 M，N，P，Q表示的数，再将这4个数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接． (2)如图2，点A，B，C为数轴上的三个点，当点B为原点时，点A 表示的数是，点C 表示的数是3． ①若以点C 为原点，则点A 表示的数是 ，点B 表示的数是 ； ②若点 B 表示的数和点 C 表示的数互为相反数，则点 B 表示的数是 ，点A 表示的数是 ． (3)若将数轴上一点 E 先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度到达点 F，点F 表示的数是．求点 E 表示的数是多少． 【答案】（1）点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3；； （2）①；；②；； （3）点E表示的数是2 【思路引导】本题考查数轴上点的表示，利用数轴比较大小，两点间距离，数轴上点的平移问题等． （1）根据题意利用数轴知识即可得到本题答案； （2）①利用数轴上两点间距离求出本题答案；②利用相反数的几何意义结合数轴上两点间距离即可求解； （3）通过动点的移动列出算式计算即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得：点 M 表示的数是，点 N 表示的数是，点 P 表示的数是1，点 Q 表示的数是3； 由数轴得； （2）①∵若以点C为原点，点A在点C的左边，且与点C相距5个单位长度， ∴点A表示的数为：， ∵点在点的左边，且与点相距3个单位长度， ∴点表示的数为：， 故答案为：；； ②∵若点B，C表示的两个数互为相反数， ∴原点在中点， ∵点，相距三个单位长度， ∴点表示的数为：， ∴点A表示的数是：， 故答案为：；； （3）由题意得：， ∴原来点E表示的数为：． 【重难点考点六】数轴上找原点 【典型例题】（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，，，． 【答案】(1) 见下图数轴O； (2)或0 (3) 各数在数轴表示如下所示： 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，关键是在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示的数向右移动2个单位长度即为原点的位置； （2）根据点与点的距离为2个单位长度和点表示的数是，进行分类讨论即可； （3）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：∵点与点的距离为2个单位长度，且点表示的数是， ∴当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，， 故答案为：或0； （3）解：， 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（ ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点B右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【规范解答】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 【重难点考点七】数轴上整点覆盖问题 【典型例题】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【思路引导】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【规范解答】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 【举一反三练习】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【规范解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 【重难点考点八】数轴上的规律探究 【典型例题】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2025将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】D 【思路引导】本题考查的是数轴上的点的规律探究，正方形滚动一周的长度为4，从到2025共滚动2027个单位长度，由，即可作出判断． 【规范解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2025将与正方形上的字母D重合， 故选：D． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【规范解答】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 【重难点考点九】绝对值的几何意义 【典型例题】（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)___________，___________； (2)写出大于的所有负整数； (3)在数轴上标出表示，，，的点． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【思路引导】（1）根据点M表示的数即可求出a，再求出b即可； （2）根据有理数的大小比较法则即可得出答案； （3）先表示出，根据数轴的定义画出数轴，再将各数标记在数轴上即可． 【规范解答】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：大于的所有负整数是，，； （3）解：∵， ∴， 在数轴上表示：略． 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东湛江·期中）按要求解答 (1)填空：数轴上表示的点和表示的点的距离是________． (2)如果点A ，点B分别表示互为相反数的2个数，并且这2个点的距离是5，那么这2个数中位于原点左边的数是多少？ 【答案】(1)1 (2) 【思路引导】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据相反数的概念，以及数轴上两点之间的距离公式分析求解即可． 【规范解答】（1）解：数轴上表示的点和表示的点的距离是． （2）解：∵点A ，点B分别表示互为相反数的2个数，并且这2个点的距离是5，， ∴这2个数中位于原点左边的数是． 【重难点考点十】求一个数的绝对值 【典型例题】．（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【思路引导】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 【举一反三练习】（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【思路引导】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【重难点考点十一】绝对值的其他应用 【典型例题】（25-26七年级上·广东惠州·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求z的值． 【答案】(1)， (2)或 【思路引导】本题主要考查了绝对值非负性、解一元一次方程、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性即可求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ∴， ∴． 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为a，b，满足． (1)数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______； (2)点P和点Q分别从点A，B同时出发，沿数轴负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒6个单位． ①当P，Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是？ ②求点P出发多少秒后，与点Q之间相距4个单位长度？ 【答案】(1)，8； (2)①；②2秒或4秒 【思路引导】知识点：非负数性质、数轴动点问题（相遇/距离）．方法：利用非负数和为0求数，用“路程差=速度差×时间”解动点问题．关键：分相遇前/后讨论距离问题．易错点：忽略距离问题的两种情况． （1）求A、B表示的数：由，得，． （2）动点问题： ① 算初始距离（12）、速度差（4），得相遇时间（3秒），再算P移动后的数． ② 分相遇前、相遇后，分别算时间． 【规范解答】（1）由，得，，故： 点A表示的数是，点B表示的数是8． 故答案为：，8． （2）① 求相遇时点P对应的数 初始距离：，速度差：，相遇时间：秒． 点P移动的距离：，对应数：． ② 求相距4个单位的时间 分两种情况： 相遇前：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒； 相遇后：P、Q两点运动的路程和为，时间：秒． 故点P出发2秒或4秒后，与Q相距4个单位． 【重难点考点十二】绝对值的非负性 【典型例题】（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【思路引导】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，数轴上的三个点分别表示数，，．若，，且，则________． 【答案】 【思路引导】本题考查了根据数轴上的点表示有理数，化简绝对值，代数式求值，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 首先化简绝对值得到，，然后由，结合得到，，最后代入求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【重难点考点十三】相反数的应用 【典型例题】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【规范解答】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 【举一反三练习】（24-25七年级下·四川巴中·期中）若式子与的值互为相反数，可列式为_____，则_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了相反数的意义，解一元一次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握相反数的意义和解一元一次方程的步骤． 根据相反数的意义和解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【规范解答】解：根据相反数的意义可得， ， 故答案为：，． 【重难点考点十四】化简多重符号 【典型例题】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 【答案】 ，，， 在数轴上对应的点表示如下： 用“”连接各数如下： ． 【思路引导】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值，化简多重符号，利用绝对值的意义，相反数的意义化简后，然后在数轴上表示各数，最后利用数轴上右边的总比左边的大，用“”连接起来即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，， 【答案】(1)如图，点即为所求； (2) 数轴表示各数如下： 则． 【思路引导】（1）根据点、表示的数找出原点即可； （2）先化简，再把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【规范解答】（1）解：点B向左3个单位长度即为原点，图略． （2）解：，，，图略． 【重难点考点十五】有理数四则混合运算 【典型例题】（26-27七年级上·广西·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据有理数加减法法则进行计算即可． （2）先计算乘除、再计算加减即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【举一反三练习】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先算乘除，后算加减，按照有理数运算法则计算． （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算过程． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【重难点考点十六】有理数四则混合运算的实际应用 【典型例题】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为0.06升/千米，这天上午小李共耗油________升． (3)若出租车起步价为11元，起步里程为3千米（不超过3千米均按起步价收费），超过3千米的部分每千米3元．则小李今天上午共得车款________元． 【答案】(1)小李距出发地5千米，此时在出发地西边 (2)2.22 (3)132 【思路引导】（1）依次把他这天上午行车记录相加得小李与出发地的距离，由正负判定是在东边还是西边； （2）先计算出小李这天上午共行进的里程，再乘以汽车耗油量0.06升/千米，得到这天上午小李的耗油量； （3）由这天上午每次的行车里程计算出每次所得车租款，再相加，即可得出小李共得的车款． 【规范解答】（1）解： ， ∴小李距出发地5千米，此时在出发地西边； （2）解：（千米）， （升）， 答：这天上午小李共耗油2.22升； （3）解：由题意得，每次行车里程所得车款分别为：11元，元，11元，元，元，11元， （元） 答：小李今天上午共得车款132元． 【举一反三练习】（26-27七年级上·全国·单元复习）某超市以每千克16元的价格，购进了火龙果．为了合理定价，在前5天试行机动价格，卖出时每千克以20元为标准，超出20元的部分记为正，不足20元的部分记为负，超市记录这5天火龙果的售价情况和售出情况如下表： 第几天 一 二 三 四 五 每千克售价相对于标准售价／元 0 销售量 15 18 22 26 34 (1)这5天里超市售出的火龙果，每千克售价最高与最低相差________元； (2)这5天超市出售的火龙果收益是多少元？（盈利或亏损的钱数） (3)5天后，部分火龙果开始出现变质，超市选取5天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的火龙果，求超市销售完购进的全部火龙果后的总收益． 【答案】(1)8 (2)这5天超市出售的火龙果盈利598元 (3)超市销售完购进的全部火龙果后的总收益是768元 【思路引导】（1）用单价最高的减去最低的即可； （2）分别计算5天的收益，然后相加即可； （3）首先计算剩余火龙果的重量，然后计算收益，最后加上前5天的收益即可． 【规范解答】（1）解：单价最高与最低价格相差元； （2）解（元）． 答：这5天超市出售的火龙果盈利598元． （3）解：， （元）． （元）． 答：超市销售完购进的全部火龙果后的总收益是768元． 【重难点考点十七】根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典型例题】（26-27七年级上·吉林四平·阶段检测）已知有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由数轴易得，然后利用不等式性质逐项判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知，且， ∴，，， ∴只有B选项正确． 【举一反三练习】（26-27七年级上·安徽·期中）（多选）如图，数轴上的两个点A． B所表示的数分别为a、b，那么a，b，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【思路引导】根据相反数的意义，把、先表示在数轴上，然后再比较它们的大小关系． 【规范解答】解：根据相反数的意义，把、表示在数轴上， ∴，． 【重难点考点十八】数轴上的翻折 【典型例题】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．小海在草稿纸上画了一条数轴，如图是数轴的一部分（不完整），并利用折叠进行下列的操作探究： (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_________表示的点重合；表示的点与_________表示的点重合； (2)操作二：折叠纸面，若使5表示的点与表示的点重合： ①设折痕处对应的点记为C，则C点表示的数是_________； ②表示的点与_________表示的点重合； ③数轴上从左往右有A、B两点，表示的数分别为a和b，若折叠后A，B两点重合，且A，B两点的距离为4050，求a，b的值． 【答案】(1)6；2025 (2)①1；②3；③； 【思路引导】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，折叠的性质，熟知数轴的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①根据折叠的性质求解即可； ②据折叠的性质求解即可； ③根据结合A、B关于1对称进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴数轴上数表示的点与数6表示的点重合；表示的点与2025表示的点重合； 故答案为：6；2025； （2）解：①∵5表示的点与表示的点重合， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点关于数1表示的点对称， ∴C点表示的数是1． 故答案为：1； ②∵折痕C点表示的数是1， ∴表示的点与3表示的点重合； 故答案为：3； ③∵折痕C点表示的数是1，， ∴点A、B到1的距离均为2025， 又∵A在B的左侧， ∴A点表示的数是，B表示的数是． 【举一反三练习】（25-26七年级上·江苏盐城·期中）数轴是非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，当数轴或数轴上的点动起来，我们会发现数字也相应发生有趣的变化．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数2与数对应的点重合，则此时数与数______对应的点重合； (2)若折叠后数3与数对应的点重合，则此时数0与数______对应的点重合； (3)若按照（2）的方式折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），求点A和点B对应的数． 【答案】(1)11 (2) (3)点A对应的数为，点B对应的数为 【思路引导】本题主要考查数轴上两点间的距离，解此题的关键在于根据题意先找出对称中心，然后根据距离对称中心的距离求得对应点． （1）根据对称的知识，若2表示的点与表示的点重合，则对称中心是原点，从而找的对称点； （2）根据题意找到对称中心，从而求得0的对应点； （3）因为A、B两点之间的距离为9，所以A，B两点与对称中心的距离为，且点B在A点的右侧，从而得到结果． 【规范解答】（1）解：由题知，因为折叠后数2与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为0， 所以此时数与数11对应的点重合． 故答案为：11； （2）解：因为折叠后数3与数对应的点重合， 则折痕经过的点表示的数为， 因为，， 所以此时数0与数对应的点重合． 故答案为：； （3）解：因为A、B两点之间的距离为9， 则， 因为折痕经过的点表示的数为， 则，， 所以点A对应的数为，点B对应的数为． 【重难点考点十九】乘方运算的符号规律 【典型例题】（25-26七年级上·安徽铜陵·期中）如图，已知在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且． (1)点，点表示的数分别是 ； (2)若点是数轴上一动点，其表示的数为利用绝对值的几何意义，探索的最小值为 ； (3)若点，点同时沿数轴向正方向运动，点运动的速度为个单位长度秒，点运动的速度为个单位长度秒，若运动的过程中，当点、之间相距个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)7 (3)或 【思路引导】此题主要考查数轴上点的坐标与距离表示方法，绝对值的化简，一元一次方程的应用． （1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数均为0，即可得出，，由此得答案； （2）数轴上两点之间的距离可知：表示的是点到、两点的距离之和，结合数轴可知点到、两点的距离之和最小，由此即可求出最小值； （3）表示出运动t秒时，点A，B，P表示的数，从而得到A，B的距离，根据该距离为6个单位长度可求得t的值． 【规范解答】（1）解：因为， 所以，， 解得，， 即点表示的数是，点表示的数是． 故答案为：， （2）解：由（1）知，点表示的数是，点表示的数是， 所以表示的是点到、两点的距离之和． 当点在点，之间， 即时， 点到、两点的距离之和最小， 即， 最小值为． 故答案为： （3）解：点运动时表示的数为， 点运动时表示的数为， 所以， 即或， 解得或， 所以当运动过程中，点，之间相距个单位长度时，运动时间的值为秒或秒． 【举一反三练习】（25-26七年级上·山东菏泽·期中）先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【思路引导】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【规范解答】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 【重难点考点二十】用科学记数法 【典型例题】（24-25七年级下·河北张家口·期中）地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【思路引导】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【规范解答】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【举一反三练习】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【思路引导】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【规范解答】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【重难点考点二十一】算“24”点 【典型例题】（26-27七年级上·陕西·期中）现有4张写着不同数字的卡片，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的积最大，则积的最大值是______；从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，则商的最小值是______； (2)从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，你所选择的数字是______，结果的最大值是______； (3)用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式．（写出一个符合要求的即可） 【答案】(1)    (2)和    (3) 【思路引导】（1）积最大，两因数需同号；商最小，除数和被除数需异号； （2）要使经过一次运算后得到的结果最大，应选择乘方运算结果会最大； （3）用4张卡片上的数字写出一个结果为24的算式，且每张卡片上的数字只能用一次，可以考虑，卡片中只有，应凑出一个即可． 【规范解答】（1）解：从中取出2张卡片，要使这2张卡片上数字的积最大，应选择卡片和卡片，最大值为；要使这2张卡片上数字的商最小，应选择卡片和卡片，则商的最小值是． （2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上的数字经过一次运算后得到的结果最大，应选择卡片和卡片，； （3）用这4张卡片上的数字写出一个结果为24或的算式：． 【举一反三练习】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【规范解答】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 【重难点考点二十二】含乘方的有理数混合运算 【典型例题】（26-27七年级上·甘肃·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)10 (2) (3)1 (4) 【思路引导】（1）先化为省略加号的形式，再根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算律计算即可；从左到右依次计算即可； （4）先算乘方，求绝对值，计算乘法，最后再计算加减法． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【举一反三练习】（26-27七年级上·四川·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)猜想：___________； (2)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据材料一提供的信息得出一般规律进行求解即可； （2）利用材料二两边同时乘以4，然后相减解题即可． （3）将变形为，然后根据材料二的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴猜想：； （2）解：令 ， 等式两边同时乘以，得 ， 得：， ， 即． （3）解： ， 设 ， 则 ， 得：， ∴， ∴原式． 模块四 优选真题 实战演练 1．（26-27七年级上·河北·期中）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：m个3相加，即3重复加m次，可表示为乘法：， n个4相乘，即4重复乘n次，可表示为乘方：， 将两部分相加，总结果为：． 2．（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． 如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走（     ）颗棋子． A．1 B． C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【规范解答】解：已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 3．（26-27七年级上·河北·期中）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（     ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【思路引导】根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数对应的十进制数． 【规范解答】解： ． 4．（25-26七年级下·四川乐山·期末）计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 【答案】C 【思路引导】根据题意，改变一个数的符号会使总和增加该数的2倍，结合正确与错误结果的差值即可求解． 【规范解答】解： ， 错误结果与正确结果的差值为， ∵写错一个符号后结果增大， ∴是将某偶数前的负号改为正号，且总和增加该偶数的2倍， ∴该偶数是． 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【规范解答】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 6．（26-27七年级上·河北·期中）我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，在电子计算机中用的是二进制，只用两个数码0和1，如：二进制中等于十进制的数5；二进制等于十进制的数23．那么二进制中的101011等于十进制中的数______． 【答案】43 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，认真观察已知给出的两个式子，得出规律，再计算． 【规范解答】解：二进制． 二进制中的101011等于十进制中的数43． 7．（26-27七年级上·河北·期中）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个内，填入“”，“”，“”，“”中的某一个（可重复使用），然后计算结果，若，则内填写的符号为_______________； 【答案】 【规范解答】解：∵，，， ∴□内填写的符号为：. 8．（26-27七年级上·全国·单元复习）小聪和小明一起玩“24点”扑克牌游戏，即从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽出4张，根据牌面上的数字进行有理数混合运算（每张牌只能用一次），使运算结果等于24或．小聪抽得4张牌如图，然后他说：“哇！我可以算得24点了！”，则他的算式是________． 【答案】（答案不唯一） 【规范解答】解：他的算式是． 9．（26-27七年级上·陕西·期中）小新同学发明了一种游戏，将0，，1，，5，6，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等．他已经将，1，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【答案】 【思路引导】设外圈上空白处的数字为c，根据横、外圈上的数字之和都相等列式子求解即可． 【规范解答】解：设外圈上空白处的数字为c，根据题意可知： ， 即， ， ． 10．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为______． 【答案】或 【思路引导】分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，进而求出点A移动的距离，得出点所表示的数． 【规范解答】解：根据题意可得， ∵等于原长方形面积的一半， ∴， 当向左运动时，如图1， 即，解得， ∴， ∴表示的数为2； 当向右运动时，如图， ， 表示的数为． 故答案为或． 11．（26-27七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 12．（26-27七年级上·江西吉安·期中）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1)2026 (2) 【思路引导】（1）先化简绝对值，减去负数等于加上它的相反数，再分组加减． （2）先把带分数化成假分数，除以一个数等于乘它的倒数；判断符号，约分后计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 13．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）2026年3月，“张雪机车”在国际顶级赛事中连续两次获得冠军，让中国摩托行业站上了世界巅峰．某摩托车厂本周内计划每日生产200辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)本周三生产了_____辆摩托车，产量最多的一天比产量最少的一天多生产了_____辆； (2)本周总生产量是多少？本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？ (3)请你赋予表格不同于本题的生活情境，并提出一个相关的问题．（不要求作答） 【答案】(1)， (2)本周总生产量是1409辆，与计划生产量相比是增加了 (3)示例：某水果店一周内计划每日卖出100斤草莓，实际每日销量和计划销量的差值如下表（超过计划的记为正，不足的记为负），请问本周总销量是多少？（答案不唯一，符合题意即可） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 【思路引导】（1）根据正负数的应用及表格计算即可； （2）用本周7天的计划总产量加上差值，进而判断即可； （3）只要设定类似“以固定值为标准，用正负数表示实际量与标准量的偏差”的生活场景，提出合理问题即可． 【规范解答】（1）解：每日计划生产200辆，周三增减为， 因此实际产量为辆． 由表格可知最大值为（周四），最小值为（周日）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产了辆． （2）解：本周7天的计划总产量为辆． ， 因此实际总生产量为辆． ∵， ∴总生产量比计划生产量增加了． （3）略． 14．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）【概念学习】定义：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作23，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下5次方”． 一般地，把记作，读作“a的下n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ． 【深入探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如； （2）仿照上面的算式，直接将下列运算写成幂的形式：5； 【归纳结论】 （3）一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是： ； 【结论应用】 （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4） 【思路引导】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据所给示例，将所给除方运算写成幂的形式即可； （3）结合（2）中发现的规律即可解决问题； （4）根据除方的定义及实数的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：（1）由题知， ． 故答案为：1； （2）； （3）由题知， ． 故答案为：； （4） ． 15．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3)①为秒时，点追上点；②此时点、在数轴上表示的数分别为和或和 【思路引导】本题考查了数轴上两点距离，数轴的折叠问题，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求得的值，进而根据数轴在点的右侧，，求得点表示的数，即可求得的值，即可求解； （2）先求得折叠中点表示的数为，进而根据折叠的性质得折叠后与点重合的点表示的数，即可求解； （3）①根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点追上点，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点，相距个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在点的右侧， ∴点表示的数为，则， 故答案为：，，． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴中点为 ∵点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为 故答案为：． （3）解：①依题意，秒后，点，表示的数分别为， ∴当点追上点时， 解得： ②依题意，秒后，点，表示的数分别为 当点，相距个单位长度时，或 解得：或 当时，点，表示的数分别为和 当时，点，表示的数分别为和 综上所述，点、在数轴上表示的数分别为和或和 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null