精品解析：广东江门市实验中学（高中部）2026-2027学年高一上学期第一次学段考试数学试题

2026一2027学年度江门市实验中学（高中部） 第一学期第1次学段考试 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将对应该号码的标号涂黑. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答题信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束时，将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 若，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 5. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 下列图形可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若，则关于x的方程有实数根”的否定 D. 若，则且 11. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. “函数的定义域为”是“”的充分不必要条件 三、填空题:本题3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的_______________条件． 13. 已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为________． 14. 已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 16. 已知集合， （1）当时，求； （2）当集合，满足 A时，求实数的取值范围. 17. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）若恒成立，求的取值范围． 18. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 19. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026一2027学年度江门市实验中学（高中部） 第一学期第1次学段考试 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将对应该号码的标号涂黑. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答题信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束时，将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因，， 则. 2. 已知集合，则的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得到集合，再求与整数集的交集，根据集合元素个数计算子集个数即可. 【详解】由，得，即， 所以，共含个元素. 故的子集个数为. 3. 若，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，，则. 4. 的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式化简即可得出结果. 【详解】由 ， 则由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号，即的最大值为. 5. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 若，此时，，因为，但，所以不成立； 若，此时，，所以成立. 综上可得，. 6. 下列图形可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即， 化简得，即，解得或， 所以不等式的解集是. 8. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对于选项A：若，则，可得，故为假命题； 对于选项B：例如，但，故为假命题； 对于选项C：若，则，可得，故为真命题； 对于选项D：若，则，故为真命题. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若，则关于x的方程有实数根”的否定 D. 若，则且 【答案】ABD 【解析】 【详解】满足，所以命题“若，则”为真命题，A正确； 由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 因为，所以，所以时，方程有实数根， 故命题“若，则关于x的方程有实数根”为真命题， 所以该命题的否定为假命题，C错误； 因为，所以且， 所以命题“若，则且”为真命题，D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. “函数的定义域为”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；由根式以及二次函数的性质，结合充分不必要条件可得D正确. 【详解】对于A选项，不等式等价于， 解得或，即不等式解集为，故A错误； 对于B选项，由题意可得，，解得且， 函数的定义域为，故B正确； 对于C选项，函数， 当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D选项，因为函数的定义域为，则恒成立， 对于一元二次方程，则，解得， 因为是的真子集， 故“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 三、填空题:本题3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 13. 已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的真假，结合一元二次不等式的解集列不等式求解实数的取值范围即可. 【详解】已知命题，， 若为真命题，则，，为真命题， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 14. 已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式分别求出，从而可得和，再根据必要不充分条件的定义，列不等式组求解即可. 【详解】由，得，所以， 即，所以：或，令集合或； 由得， 因为，所以或，即：或， 所以：，令集合， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或，不等式组无解， 所以. 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）求，； （2）设，求． 【答案】（1）或， （2）或 【解析】 【详解】（1）解不等式，即，得，即， 不等式则，解得或，即或， 所以或，． （2）由（1）及，得或． 16. 已知集合， （1）当时，求； （2）当集合，满足 A时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，，再利用集合的交集运算求解； （2）根据 A，分和时，利用真子集的定义求解. 【小问1详解】 当时，. ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵ A， ∴当时，，∴， 当时，，∴， 又且， ∴，且当时，且不同时成立， 即， 综上，或. 17. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用基本不等式证明. （2）根据基本不等式“1”的妙用，求出的最小值，即为的最大值. 【小问1详解】 已知，， 根据基本不等式，，即 当且仅当，即，时取等号， 因此最大值为. 【小问2详解】 由，得， 由基本不等式可得， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故的取值范围为 18. 某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元．设备使用年后，该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为万元． （1）求关于的表达式． （2）求该设备的年平均盈利额的最大值，以及此时使用年数．（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） 【答案】（1） （2） 年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年 【解析】 【分析】（1）根据已知写出总收入和总成本，作差即可得盈利总额的表达式； （2）根据题意得到平均盈利额，应用基本不等式求其最大值并确定对应使用年数. 【小问1详解】 由题意，设备使用年后的总收入为万元， 总成本包括购买设备的费用和总维修保养费用，即万元， 所以，化简得， 因为为设备使用的年数，所以， 因此，关于的表达式为； 【小问2详解】 设该设备的年平均盈利额为万元，则，​ 因为，得到， 因为，可得， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以等号可以取到，此时的最大值万元， 所以该设备的年平均盈利额的最大值为22万元，此时使用年数为7年. 19. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由新定义即可直接求解； （2）通过定义确定，或，，再分两类情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以， ； 【小问2详解】 ，，且为质数， ，或，， 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号， 又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号； 综上可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $