精品解析：广东清远市阳山县南阳中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

南阳中学2026-2027学年第一学期第1次月考 高一级数学科试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 3. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 1或 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合与表示同一个集合 B. 与是同一个集合 C. D. 10. 下列说法正确的是（   ） A. 命题“若，则”是真命题 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”是真命题 D. “且”是“”的充分不必要条件 11. 函数的定义域为R且，恒成立，当时，且，下列说法正确的是（） A. 是偶函数 B. C. 的解集为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题，则为_________________ 13. 设集合，，若，则 ______. 14. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，求，，． 16. 求下列不等式的解集： （1）; （2）； （3）. 17. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大最大面积是多少 18. 已知 （1）求； （2）若，求a的值； （3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 19. 已知函数，． （1）证明：对任意，； （2）根据定义证明在区间上单调递增； （3）求的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳中学2026-2027学年第一学期第1次月考 高一级数学科试卷 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知集合，，则. 2. 下列命题，真命题是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形与矩形的特征逐一判断即可. 【详解】对于A，一组邻边相等的平行四边形才是菱形，故错误； 对于B，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B正确； 对于C，对角线相等的平行四边形才是矩形，故C错误； 对于D，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故D错误. 3. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，结合特殊值法判断即可. 【详解】选项A：由可得，即. 当时，，即，A错误. 选项B：当时，，此时，不满足，B错误. 选项C：因为，所以，C正确. 选项D：由，得，因此，D错误. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 得且. 所以函数的定义域为． 5. 已知函数，若，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，得到，负根舍去； 当时，，得到，符合题意； 综上所述，或. 故选：D 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，，， 对应关系不一致，不是同一函数，故B错误； 对于C，函数定义域为，函数定义域为， 定义域不相同，不是同一函数，故C错误； 对于D，因为， 此时函数与函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D正确. 7. 二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置及与轴交点位置确定的符号，进而判断一次函数与反比例函数图象的特征. 【详解】由二次函数的图象可知，抛物线开口向下，所以． 又因为抛物线的对称轴在轴右侧，所以， 所以， 由于抛物线与轴的交点在轴上方，所以， 所以对于一次函数，因为， 所以该函数图象经过第一、二、四象限， 对于反比例函数， 因为， 所以该函数图象位于第一、三象限， 观察各选项，只有C选项符合题意． 故C正确． 8. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项分析即得. 【详解】A：由，得，又，所以，A错误； B：由，，所以，B错误； C：由，则，又，所以，C正确； D：因为，又，所以，∴D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合与表示同一个集合 B. 与是同一个集合 C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：集合元素具有无序性，故，所以A正确； 对于B：是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合，两者不相等，所以B错误； 对于C：表示一个有序数对（点），表示一个含两个元素的集合，两者不是同一概念，所以C错误； 对于D：空集是任何集合的子集，故，所以D正确. 10. 下列说法正确的是（   ） A. 命题“若，则”是真命题 B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“”是真命题 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故C错误； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 11. 函数的定义域为R且，恒成立，当时，且，下列说法正确的是（） A. 是偶函数 B. C. 的解集为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，结合条件判断A；应用赋值法，求得，判断B；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式判断C；根据奇函数的性质求和判断D. 【详解】对A选项：令，可得，所以， 令，则，所以为奇函数，所以A错误； 对B选项：令，则，令，则， 所以，所以B正确； 对C选项：设，而， 又，所以，所以，即， 所以在上单调递增，且， 由，可得， 所以，得到，即不等式解集为，所以C错误； 对D选项：因为为奇函数，所以， 所以， 又，故成立.所以D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题，则为_________________ 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 13. 设集合，，若，则 ______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故答案为：1. 14. 定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意补全图象，结合图象求解不等式即可. 【详解】因为定义域为，满足， 所以函数为定义在上的偶函数，图象关于轴对称，补全图象如下： 不等式等价于， 结合图象解得， 所以不等式的解集为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，求，，． 【答案】，，. 【解析】 【分析】根据集合的运算法则进行运算即可. 【详解】由题意，，. ，，所以. 16. 求下列不等式的解集： （1）; （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由得，则, 故原不等式的解集为. 【小问2详解】 方程的两个根为,， 则得或, 故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由得， 则，对任意实数x都成立, 故原不等式的解集为. 17. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大最大面积是多少 【答案】（1）；6（2）25；（3）一条边为，另外两条边都为，最大面积是 【解析】 【详解】（1）因为，所以， 则由基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立，符合要求， 所以，即的最小值为6. （2）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为25. （3）设这个矩形的一条边长为，另两条边长都为， 由题意得：，， 因为，即， 可得，即， 当且仅当时，即 ，时，等号成立， 则一条边为，另外两条边都为时，面积最大，最大面积是. 18. 已知 （1）求； （2）若，求a的值； （3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围. 【答案】（1）3 （2）12 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式直接求解； （2）根据函数解析式，分段讨论，解方程即可； （3）作出函数图象，数形结合即可. 【小问1详解】 ， ∴ 【小问2详解】 当时，， 当时，，该方程实数范围内无解 综上， 【小问3详解】 作出 的图象，如图， 由图象可知，当时，与有三个交点. 19. 已知函数，． （1）证明：对任意，； （2）根据定义证明在区间上单调递增； （3）求的解集． 【答案】（1）因为，所以，所以， 所以． （2）证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）直接代入函数表达式算出，再与相加化简完成等式证明； （2）利用函数单调性定义，作差变形，判断差值正负，证明函数单调递增； （3）利用第（1）问结论变形不等式，再利用单调性化简，联立定义域与大小关系解不等式组． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $