专题14.1 全等三角形及其性质（3大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年人教版八年级数学上学期

专题14.1 全等三角形及其性质 知识点1：全等形与全等三角形 　　1.全等形 　　能够完全重合的两个图形叫作全等形。判断全等形的关键：形状相同、大小相同，与图形的位置无关。 　　2.全等三角形的定义 　　能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。 　　3.全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC≌△DEF。表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于确定对应边、对应角。 知识点2：三种常见的全等类型 类型 形成方式 识别要点 平移型 一个三角形沿某条直线方向平移得到另一个三角形 对应边平行且相等，对应点连线互相平行 翻折型（轴对称型） 一个三角形沿某条直线翻折得到另一个三角形 两个三角形关于对称轴成轴对称 旋转型 一个三角形绕某一点旋转得到另一个三角形 对应点到旋转中心距离相等，对应边夹角等于旋转角 　　无论经过平移、翻折还是旋转，变换前后图形的形状、大小都不改变，因此变换前后的两个图形全等。 知识点3：全等三角形的性质 　　1.基本性质 　　全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是利用全等三角形求线段长、求角度的根本依据。 　　2.延伸性质 　　（1）全等三角形的周长相等； 　　（2）全等三角形的面积相等； 　　（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等。 　　3.确定对应元素的方法 　　（1）字母顺序法：按全等符号中顶点字母的对应顺序确定对应边、对应角； 　　（2）图形位置法：公共角、对顶角为对应角，公共边为对应边；对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角； 　　（3）图形特征法：一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角。 【基础必考题型】 【题型1】全等形与全等三角形的识别判断 1.核心知识点 　　全等形的定义（形状相同、大小相同）；全等三角形的概念辨析。 2.解题方法技巧 判断两个图形是否全等，要看形状、大小是否都相同，与位置无关；形状相同但大小不同、或大小相同但形状不同的图形都不是全等形。辨别说法正误时，可用举反例的方法。 【例题1】.（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 【变式题1-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是___________． 【题型2】全等三角形的表示与对应元素确定 1.核心知识点 　　全等符号“≌”的写法；对应顶点、对应边、对应角的确定。 2.解题方法技巧 　　（1）用“≌”表示时，对应顶点写在对应位置，据此依次写出对应边、对应角； 　　（2）无字母顺序时可结合图形位置法、图形特征法确定对应元素； （3）注意区分“对应边（角）”与“对边（对角）”，前者是两个三角形之间的关系，后者是同一三角形内边与角的关系。 【例题2】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知在和中，A与，B与是对应点，，则和全等，用符号语言表示为：______ ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【变式题2-3】.（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【题型3】利用对应角相等求角度 1.核心知识点 　　全等三角形的对应角相等；三角形内角和为。 2.解题方法技巧 先由全等确定哪些角是对应角，再由对应角相等把已知角转移到待求角所在三角形中，结合三角形内角和或平角、对顶角等关系列式计算。 【例题3】.（26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试）若，，，则________． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，若，对应顶点依次对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）已知下图是两个全等三角形，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图， ，若,，则________． 【题型4】利用对应边相等求线段长度 1.核心知识点 　　全等三角形的对应边相等；线段的和、差关系。 2.解题方法技巧 由全等确定对应边，把已知线段长转移到待求线段上；当待求线段由多段组成时，常利用线段的和、差关系，或根据对应边相等建立等量关系求解。 【例题4】.（26-27八年级上·云南·期中）如图，，若，，则的长度是___________． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·云南·期中）如图，已知，若，，则的长度为______． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）若，则________． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，，若，则________． 【培优高频题型】 【题型5】求周长与面积 1.核心知识点 　　全等三角形周长相等、面积相等；三角形周长、面积公式。 2.解题方法技巧 　　（1）求周长：利用全等得到缺失边长，或直接利用“全等三角形周长相等”转化； （2）求面积：利用“全等三角形面积相等”，把待求面积转化为已知面积，或通过面积的加减组合求解。 【例题5】.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为___________． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·河北邢台·期中）若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东德州·期中）下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连结并延长至点，连结，，． (1)若的面积为12，求的面积； (2)若，，求的度数． 【题型6】平移、旋转、折叠背景下的全等性质应用 1.核心知识点 　　平移、旋转、折叠前后的两个图形全等；对应边相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 　　先识别图形变化后的全等三角形，确定对应边、对应角，求角度时借助对应角相等与平行线性质。 【例题6】.（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，将沿的方向平移得到，若，，求的度数． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为___． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，________． 【题型7】判定两直线的位置关系（平行、垂直） 1.核心知识点 　　全等三角形对应角相等；平行线的判定（同位角、内错角、同旁内角）；垂直的定义（夹角为）。 2.解题方法技巧 　　（1）证平行：由全等得到对应角相等，找出同位角或内错角相等，判定平行； 　　（2）证垂直：由全等把角转移到同一个三角形中，证明两锐角互余或夹角为； 　　（3）注意找对同位角、内错角，避免误判。 【例题7】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，，，的延长线交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，已知，且点D在边上． (1)试判断和的位置关系，并说明理由 (2)若，求的长． 易错点 1、判断全等形只看形状或只看大小，忽略“形状、大小都相同”这一条件。 2、用“≌”表示全等时，对应顶点的字母没有写在对应位置，导致对应边、对应角写错。 3、混淆“对应边（角）”与“对边（对角）”，误把同一三角形内的关系当作两三角形之间的对应关系。 4、题目没有明确给出对应关系时，直接默认某一组对应而漏掉分类讨论，尤其在动点、全等判定类问题中。 5、利用对应角相等求角度时，找错对应角，或忽略三角形内角和、平角等基础关系。 重点 1、理解全等形、全等三角形的概念，能正确识别全等三角形及其对应顶点、对应边、对应角。 2、掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，并能据此求角度、求线段长度、求周长面积。 3、掌握平移型、翻折型、旋转型三类常见全等三角形的识别方法。 难点 1、在复杂图形中准确确定对应元素，综合运用全等性质进行角度、线段的计算。 2、利用全等三角形的性质证明两条直线的位置关系（平行、垂直）。 3、动点、跨学科等创新情境中，正确识别全等关系，灵活进行分类讨论，建立等量关系求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 5．已知，，则的度数为________． 6．如图，在中，点在边上，连接，，是的角平分线，是的高线．若，则的度数为_________． 三、解答题 7．如图，已知，求的长，以及的度数． 8．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.1 全等三角形及其性质 知识点1：全等形与全等三角形 　　1.全等形 　　能够完全重合的两个图形叫作全等形。判断全等形的关键：形状相同、大小相同，与图形的位置无关。 　　2.全等三角形的定义 　　能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。 　　3.全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC≌△DEF。表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于确定对应边、对应角。 知识点2：三种常见的全等类型 类型 形成方式 识别要点 平移型 一个三角形沿某条直线方向平移得到另一个三角形 对应边平行且相等，对应点连线互相平行 翻折型（轴对称型） 一个三角形沿某条直线翻折得到另一个三角形 两个三角形关于对称轴成轴对称 旋转型 一个三角形绕某一点旋转得到另一个三角形 对应点到旋转中心距离相等，对应边夹角等于旋转角 　　无论经过平移、翻折还是旋转，变换前后图形的形状、大小都不改变，因此变换前后的两个图形全等。 知识点3：全等三角形的性质 　　1.基本性质 　　全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是利用全等三角形求线段长、求角度的根本依据。 　　2.延伸性质 　　（1）全等三角形的周长相等； 　　（2）全等三角形的面积相等； 　　（3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等。 　　3.确定对应元素的方法 　　（1）字母顺序法：按全等符号中顶点字母的对应顺序确定对应边、对应角； 　　（2）图形位置法：公共角、对顶角为对应角，公共边为对应边；对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角； 　　（3）图形特征法：一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角。 【基础必考题型】 【题型1】全等形与全等三角形的识别判断 1.核心知识点 　　全等形的定义（形状相同、大小相同）；全等三角形的概念辨析。 2.解题方法技巧 判断两个图形是否全等，要看形状、大小是否都相同，与位置无关；形状相同但大小不同、或大小相同但形状不同的图形都不是全等形。辨别说法正误时，可用举反例的方法。 【例题1】.（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等图形的定义，熟练掌握定义是解题关键． 根据全等图形的定义，即完全重合的两个图形叫做全等图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； B、两个图形能完全重合，是全等图形，故符合题意； C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，故不符合题意； 故选：B． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各组图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可． 【详解】解：观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； A选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选：A． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个面积相等的长方形 B．两个周长相等的等腰三角形 C．能够完全重合的两个图形 D．两个大小相近的正方形 【答案】C 【分析】全等图形的定义是能够完全重合的两个图形，面积、周长相等不一定全等，据此求解即可． 【详解】解：A.两个面积相等的长方形不一定是全等图形； B.两个周长相等的等腰三角形不一定是全等图形； C.能够完全重合的两个图形是全等图形； D.两个大小相近的正方形不一定是全等图形. 【变式题1-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是___________． 【答案】5269 【分析】根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等即可求解5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269． 【题型2】全等三角形的表示与对应元素确定 1.核心知识点 　　全等符号“≌”的写法；对应顶点、对应边、对应角的确定。 2.解题方法技巧 　　（1）用“≌”表示时，对应顶点写在对应位置，据此依次写出对应边、对应角； 　　（2）无字母顺序时可结合图形位置法、图形特征法确定对应元素； （3）注意区分“对应边（角）”与“对边（对角）”，前者是两个三角形之间的关系，后者是同一三角形内边与角的关系。 【例题2】.（2026八年级上·全国·专题练习）已知在和中，A与，B与是对应点，，则和全等，用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【分析】用全等三角形的对应点以及全等三角形的判定条件即可解答． 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，， ∴和全等，用符号语言表示为：． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】/ 【分析】根据对应点书写即可． 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点， 则和全等用符号语言表示为：． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的特征及全等三角形的定义进行分析判断即可． 【详解】解：根据给出的七巧板及图，可得有5个等腰直角三角形，1个平行四边形，1个正方形． 通过观察可知两个最大的等腰直角三角形和两个最小的等腰直角三角形分别全等， 因此与三角形全等的是． 【题型3】利用对应角相等求角度 1.核心知识点 　　全等三角形的对应角相等；三角形内角和为。 2.解题方法技巧 先由全等确定哪些角是对应角，再由对应角相等把已知角转移到待求角所在三角形中，结合三角形内角和或平角、对顶角等关系列式计算。 【例题3】.（26-27八年级上·湖北襄阳·开学考试）若，，，则________． 【答案】 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 【变式题3-1】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，若，对应顶点依次对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算的度数，根据全等三角形对应角相等的性质，可得与相等． 【详解】∵△ABC中，，且， ∴， ∵， ∴． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·贵州六盘水·期末）已知下图是两个全等三角形，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图， ，若,，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形性质得出结论． 【详解】解：∵,， ， ∵ ， ∴． 【题型4】利用对应边相等求线段长度 1.核心知识点 　　全等三角形的对应边相等；线段的和、差关系。 2.解题方法技巧 由全等确定对应边，把已知线段长转移到待求线段上；当待求线段由多段组成时，常利用线段的和、差关系，或根据对应边相等建立等量关系求解。 【例题4】.（26-27八年级上·云南·期中）如图，，若，，则的长度是___________． 【答案】5.5 【分析】根据全等，可证，那么可证，从而可算得的长度，最后利用算得答案． 【详解】解： ， ，即， ，， ， ， ． 【变式题4-1】.（26-27八年级上·云南·期中）如图，已知，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）若，则________． 【答案】5 【分析】已知两个三角形全等，根据全等三角形对应边相等，与为对应边，可直接得到结果． 【详解】解：∵， ∴ 对应边， ∵ ， ∴ ． 【变式题4-3】.（26-27八年级上·全国·阶段检测）如图，，若，则________． 【答案】11 【分析】根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】求周长与面积 1.核心知识点 　　全等三角形周长相等、面积相等；三角形周长、面积公式。 2.解题方法技巧 　　（1）求周长：利用全等得到缺失边长，或直接利用“全等三角形周长相等”转化； （2）求面积：利用“全等三角形面积相等”，把待求面积转化为已知面积，或通过面积的加减组合求解。 【例题5】.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，于点，是上的一点．若，，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·河北邢台·期中）若，且的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质即可直接得出答案． 【详解】解：∵，且的周长为6， ∴的周长也为6， 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山东德州·期中）下列几种说法 ①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．⑤三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．其中正确的是 _____________． 【答案】①④⑤ 【分析】结合全等三角形的性质与三角形面积的相关知识，逐个判断每个说法的正误即可． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，符合全等三角形的性质，说法正确； ②面积相等的两个三角形不一定全等，例如底为高为和底为高为的三角形，面积相等但形状不同，不全等，说法错误； ③周长相等的两个三角形不一定全等，例如三边长为和的三角形周长相等，但形状不同，不全等，说法错误； ④全等三角形可以完全重合，因此全等的两个三角形的面积相等，说法正确； ⑤三角形的中线把对边分为长度相等的两段，分成的两个小三角形等底同高，因此面积相等，说法正确． 综上，正确的说法是①④⑤． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连结并延长至点，连结，，． (1)若的面积为12，求的面积； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，又由得到，即可得到； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角的性质得到，，利用角的和差即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴ 【题型6】平移、旋转、折叠背景下的全等性质应用 1.核心知识点 　　平移、旋转、折叠前后的两个图形全等；对应边相等、对应角相等。 2.解题方法技巧 　　先识别图形变化后的全等三角形，确定对应边、对应角，求角度时借助对应角相等与平行线性质。 【例题6】.（24-25八年级下·江西抚州·期中）如图，将沿的方向平移得到，若，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平移的性质得，继而得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵将沿的方向平移得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到，交于G，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：35． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A旋转后得，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质和全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和全等三角形的性质．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 根据旋转的性质和全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵将绕点A旋转后得， ∴， ∴，， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 故D选项正确，不符合题意； 由已知条件无法证明出， 故B选项错误，符合题意． 故选：B． 【变式题6-3】.（26-27八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，________． 【答案】 【分析】根据折叠性质得出 ，，结合平角定义和三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义及三角形内角和定理求出的度数. 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 分别平分 ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型7】判定两直线的位置关系（平行、垂直） 1.核心知识点 　　全等三角形对应角相等；平行线的判定（同位角、内错角、同旁内角）；垂直的定义（夹角为）。 2.解题方法技巧 　　（1）证平行：由全等得到对应角相等，找出同位角或内错角相等，判定平行； 　　（2）证垂直：由全等把角转移到同一个三角形中，证明两锐角互余或夹角为； 　　（3）注意找对同位角、内错角，避免误判。 【例题7】.（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，，，的延长线交于点F．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 解：，理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】根据全等三角形的性质以及三角形的外角定理即可证明． 【详解】略 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】 解： 理由：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，则可求出，然后结合三角形内角和定理和垂直的定义即可得出结论． 【详解】略 【变式题7-2】.（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2) 解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）略 【变式题7-3】.（25-26八年级上·湖北随州·期中）如图，已知，且点D在边上． (1)试判断和的位置关系，并说明理由 (2)若，求的长． 【答案】(1) ，证明：∵， ∴， ∴； (2)10 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定. （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 即的长为10． 易错点 1、判断全等形只看形状或只看大小，忽略“形状、大小都相同”这一条件。 2、用“≌”表示全等时，对应顶点的字母没有写在对应位置，导致对应边、对应角写错。 3、混淆“对应边（角）”与“对边（对角）”，误把同一三角形内的关系当作两三角形之间的对应关系。 4、题目没有明确给出对应关系时，直接默认某一组对应而漏掉分类讨论，尤其在动点、全等判定类问题中。 5、利用对应角相等求角度时，找错对应角，或忽略三角形内角和、平角等基础关系。 重点 1、理解全等形、全等三角形的概念，能正确识别全等三角形及其对应顶点、对应边、对应角。 2、掌握全等三角形的性质：对应边相等、对应角相等，并能据此求角度、求线段长度、求周长面积。 3、掌握平移型、翻折型、旋转型三类常见全等三角形的识别方法。 难点 1、在复杂图形中准确确定对应元素，综合运用全等性质进行角度、线段的计算。 2、利用全等三角形的性质证明两条直线的位置关系（平行、垂直）。 3、动点、跨学科等创新情境中，正确识别全等关系，灵活进行分类讨论，建立等量关系求解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各组图形中，是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形即为全等图形，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、这两个图形不能完全重合，则不是全等图形，故该选项不符合题意； B、这两个图形不能完全重合，则不是全等图形，故该选项不符合题意； C、这两个图形能完全重合，则是全等图形，故该选项符合题意； D、这两个图形不能完全重合，则不是全等图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，已知，点与点是对应点，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应关系确定对应边和对应角，逐项判断． 【详解】解：，点与点是对应点， 点与点是对应点，点与点是对应点， ，，，，， 选项A、B、D结论正确，选项C结论错误． 3．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 二、填空题 4．如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 5．已知，，则的度数为________． 【答案】/72度 【分析】首先根据三角形内角和定理解得的度数，然后根据全等三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．如图，在中，点在边上，连接，，是的角平分线，是的高线．若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由全等三角形性质得出及的度数；在 中求出，利用角平分线定义求出；在中求出 ，利用邻补角求出，最后求和． 【详解】 解： ， ，， ， ，即， ， ， 在中，， 是的角平分线，点在边上， ， 是 的高线， ，即， 在中，， 点在上， ， ． 三、解答题 7．如图，已知，求的长，以及的度数． 【答案】；； 【分析】根据全等三角形的对应边相等和对应角相等进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴． 8．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)平行，理由如下： ， ， ． (2) 【分析】（1）利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，证得两直线平行； （2）由全等得，结合线段总长列等式求出． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， ， ，， , 解得． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $