15.1 轴对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行求解、折叠问题讲义-2026-2027学年人教版八年级数学上册

轴对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行求解、折叠问题讲义 轴对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行求解、折叠问题讲义 考点目录 轴对称图形的识别 根据成轴对称图形的特征进行求解 折叠问题 考点一 轴对称图形的识别 【知识点解析】 一、核心定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 · 本质：单个图形自身的对称性质； · 对称轴是直线，不是线段或射线。 二、识别方法 1. 想象对折法：想象沿直线对折，两边能完全重合就是轴对称图形； 1. 关键判断：有至少一条对称轴；图形上任意一点，都能在对称轴另一侧找到对应点，两点到对称轴的距离相等。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 例2．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列四张图片中，最接近轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、最接近轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意. 【变式训练】 变式1．（26-27八年级上·江西·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 变式2．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐思想的体现，下列校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义，在平面内如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 考点二 根据成轴对称图形的特征进行求解 【知识点解析】 一、核心性质 两个图形关于某条直线成轴对称，则： 1. 全等性：对应线段相等，对应角相等，周长、面积完全相等； 1. 对称轴的性质：对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 1. 对应线段平行（或共线），若延长线相交，交点一定在对称轴上。 二、常见题型与解法 1. 坐标系中求对称点坐标 对称轴 对称点坐标规律 记忆口诀 轴 横同纵反 轴 纵同横反 竖直直线 纵不变，横坐标对称 水平直线 横不变，纵坐标对称 2. 求对称轴的位置 · 几何法：连接一组对应点，作这条线段的垂直平分线，即为对称轴； · 坐标法：两点、的对称轴过中点，且与两点连线垂直。 3. 求边长、角度 · 思路：利用轴对称的对应边相等、对应角相等，将未知量转化到已知图形中，结合三角形内角和、勾股定理等求解。 三、解题步骤 1. 确定对称轴，找准对应点、对应边、对应角； 1. 根据性质列出相等关系； 1. 结合已知条件计算未知量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 例2．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，M是边中点，N是边上任意一点，将沿直线翻折，使点A关于直线的对称点D落在直线上，则的度数为______． 【答案】或 【分析】分点A关于直线的对称点D与点B重合和点A关于直线的对称点D在的延长线上两种情况，分别根据折叠的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解： ①如图：点A关于直线的对称点D与点B重合，则， ∵，， ∴， ∴； ②如图，点A关于直线的对称点D在的延长线上，则，， ∵， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 例3．（26-27八年级上·湖北·阶段检测）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 例4．（25-26八年级上·广东汕头·期中）按要求解题： (1)练江北岸有A、B两个村，现要在江边（图中直线l处）建一座抽水站P，使抽水站到两个村的水管总长最短．在图中作出点P的位置（保留作图痕迹，写出简要作法）． (2)若按此方案作图后量得（为点A关于直线l的对称点），求水管总长的最小值，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：水管总长的最小值为． 理由：由轴对称的性质得， ∴， 故最小值为． 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称图形的性质得出，进而得出，即可得出结果． 【详解】解：∵点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上， ， ， ， ， ， 故选：． 变式2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 【答案】 【分析】根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出，的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：点与关于轴对称，，， ，， ， ． 变式3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 【答案】F 【分析】根据轴对称的性质可得，根据两点之间线段最短，即可得出答案． 【详解】解：由题意，B，关于直线L对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小， ∴此时点F满足条件． 变式4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，点M，N分别在边，上，连接，且和关于直线对称． (1)若，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵在中，，（已知）， ∴________（    ）． ∵和关于直线对称（已知）， ∴________（成轴对称的两个图形对应角相等）． ∴． (2)若，，则的周长为________． 【答案】(1)；； (2)14 【分析】（1）根据三角形内角和定理、轴对称的性质等补充解答即可； （2）根据轴对称的性质得出，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， 又，， ∴的周长为. 考点三 折叠问题 【知识点解析】 一、核心本质 折叠问题是轴对称的典型应用：折叠前后的两部分关于折痕成轴对称，折痕所在直线就是对称轴。 折叠前后的核心不变量： 1. 对应边长度相等，对应角大小相等； 1. 折叠前后的图形全等，周长、面积不变； 1. 折痕是对应点连线的垂直平分线。 二、三大经典题型 1. 折叠求边长（最高频） · 典型场景：矩形纸片折叠，顶点落在对边、对角线或内部，求线段长度。 · 核心方法：勾股定理方程法 ① 设未知线段为，用表示出直角三角形的另外两条边； ② 利用折叠的对应边相等，锁定直角三角形的三边； ③ 根据勾股定理列方程，解方程得边长。 2. 折叠求角度 · 典型场景：三角形、四边形折叠，求重叠角、夹角的度数。 · 方法：利用折叠对应角相等，结合三角形内角和、平角定义、平行线性质，推导角度关系。 3. 折叠求面积 · 典型场景：求折叠后重叠部分、阴影部分的面积。 · 方法：先利用折叠性质求出对应边长，再用三角形、四边形面积公式计算；也可用总面积减去空白部分面积。 三、解题步骤 1. 找折痕，确定折叠前后的对应部分； 1. 标等量：标出所有相等的边、相等的角； 1. 设未知数，结合勾股定理、角度关系列方程； 1. 求解并验证几何合理性。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线是四边形的对称轴，点P是直线上的点，下列判断正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的对应边相等，对应角相等逐项判断即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是直线上的点， ∴，，，不一定成立， 故选项A、C、D判断错误，不符合题意，选项B判断正确，符合题意， 故选：B． 例2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是作出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换．作点关于的对称点，连接，，，得，，；作点关于的对称点，连接，，，得，，；根据；当，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，连接，，； ∴，，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∴， 当，，，共线时，周长最短， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 例3．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据长方形对边平行得到，利用平行线性质求出相关角的度数，再结合折叠前后角相等，进而求出的度数． 【详解】解：四边形为长方形， ． ，． 由折叠的性质可知：， ． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，点和点恰好都落在点处．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可得，，再由折叠的性质可得，，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ，， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在三角形纸片中，D，E分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠对应角相等，结合条件得出、的度数，再利用三角形内角和求出的度数． 【详解】解：∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在Rt中，，点D，E分别在上，沿着翻折，点A与点C重合，若，则_________． 【答案】 【分析】先求出，再由，可得，再由折叠的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵在Rt中，， ∴，即， ∵， ∴， ∵沿着翻折，点A与点C重合， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $轴对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行求解、折叠问题讲义 轴对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行求解、折叠问题讲义 考点目录 轴对称图形的识别 根据成轴对称图形的特征进行求解 折叠问题 考点一 轴对称图形的识别 【知识点解析】 一、核心定义 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴。 · 本质：单个图形自身的对称性质； · 对称轴是直线，不是线段或射线。 二、识别方法 1. 想象对折法：想象沿直线对折，两边能完全重合就是轴对称图形； 1. 关键判断：有至少一条对称轴；图形上任意一点，都能在对称轴另一侧找到对应点，两点到对称轴的距离相等。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 例2．（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）下列四张图片中，最接近轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（26-27八年级上·江西·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 变式2．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐思想的体现，下列校徽图案是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 考点二 根据成轴对称图形的特征进行求解 【知识点解析】 一、核心性质 两个图形关于某条直线成轴对称，则： 1. 全等性：对应线段相等，对应角相等，周长、面积完全相等； 1. 对称轴的性质：对称轴是任意一组对应点连线的垂直平分线； 1. 对应线段平行（或共线），若延长线相交，交点一定在对称轴上。 二、常见题型与解法 1. 坐标系中求对称点坐标 对称轴 对称点坐标规律 记忆口诀 轴 横同纵反 轴 纵同横反 竖直直线 纵不变，横坐标对称 水平直线 横不变，纵坐标对称 2. 求对称轴的位置 · 几何法：连接一组对应点，作这条线段的垂直平分线，即为对称轴； · 坐标法：两点、的对称轴过中点，且与两点连线垂直。 3. 求边长、角度 · 思路：利用轴对称的对应边相等、对应角相等，将未知量转化到已知图形中，结合三角形内角和、勾股定理等求解。 三、解题步骤 1. 确定对称轴，找准对应点、对应边、对应角； 1. 根据性质列出相等关系； 1. 结合已知条件计算未知量。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，M是边中点，N是边上任意一点，将沿直线翻折，使点A关于直线的对称点D落在直线上，则的度数为______． 例3．（26-27八年级上·湖北·阶段检测）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 例4．（25-26八年级上·广东汕头·期中）按要求解题： (1)练江北岸有A、B两个村，现要在江边（图中直线l处）建一座抽水站P，使抽水站到两个村的水管总长最短．在图中作出点P的位置（保留作图痕迹，写出简要作法）． (2)若按此方案作图后量得（为点A关于直线l的对称点），求水管总长的最小值，并说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，P是外一点，D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点恰好落在的延长线上．若，，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．7 D．12 变式2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 变式3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，现有A、B两个村庄，要在笔直的公路L上建一个货站，要使货站到两个村庄的距离之和最短，可选择L上C、D、E、F，4个点中的______点建立货站． 变式4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，，点M，N分别在边，上，连接，且和关于直线对称． (1)若，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵在中，，（已知）， ∴________（    ）． ∵和关于直线对称（已知）， ∴________（成轴对称的两个图形对应角相等）． ∴． (2)若，，则的周长为________． 考点三 折叠问题 【知识点解析】 一、核心本质 折叠问题是轴对称的典型应用：折叠前后的两部分关于折痕成轴对称，折痕所在直线就是对称轴。 折叠前后的核心不变量： 1. 对应边长度相等，对应角大小相等； 1. 折叠前后的图形全等，周长、面积不变； 1. 折痕是对应点连线的垂直平分线。 二、三大经典题型 1. 折叠求边长（最高频） · 典型场景：矩形纸片折叠，顶点落在对边、对角线或内部，求线段长度。 · 核心方法：勾股定理方程法 ① 设未知线段为，用表示出直角三角形的另外两条边； ② 利用折叠的对应边相等，锁定直角三角形的三边； ③ 根据勾股定理列方程，解方程得边长。 2. 折叠求角度 · 典型场景：三角形、四边形折叠，求重叠角、夹角的度数。 · 方法：利用折叠对应角相等，结合三角形内角和、平角定义、平行线性质，推导角度关系。 3. 折叠求面积 · 典型场景：求折叠后重叠部分、阴影部分的面积。 · 方法：先利用折叠性质求出对应边长，再用三角形、四边形面积公式计算；也可用总面积减去空白部分面积。 三、解题步骤 1. 找折痕，确定折叠前后的对应部分； 1. 标等量：标出所有相等的边、相等的角； 1. 设未知数，结合勾股定理、角度关系列方程； 1. 求解并验证几何合理性。 【例题分析】 例1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，直线是四边形的对称轴，点P是直线上的点，下列判断正确的是（       ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，点和点恰好都落在点处．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在三角形纸片中，D，E分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在Rt中，，点D，E分别在上，沿着翻折，点A与点C重合，若，则_________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $