精品解析：广东省韶关市曲江区曲江中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期第一次月考考试 高一年级数学试卷 考试时间：2026年10月19-21日 考生注意：1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分． 2．请在答题卡上填清楚考场号、座位号、考号、姓名、班级． 3．考试结束交答题卡． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A. 非常大的自然数 B. 喜欢运动的人 C. 小于100的正整数 D. 的所有近似值 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，能表示函数图象的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 5. 已知，，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设为中最大的数.已知正实数，记，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 每一个末位是的整数都是的倍数 B. 对任意实数，的平方是正数 C. 有些菱形是正方形 D. 存在一个三角形，它的内角和小于 10. 对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集为________． 13. 设函数则_______． 14. 已知a，且，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤） 15. 已知集合或，全集. （1）求，； （2）求， 16. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次月考考试 高一年级数学试卷 考试时间：2026年10月19-21日 考生注意：1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分． 2．请在答题卡上填清楚考场号、座位号、考号、姓名、班级． 3．考试结束交答题卡． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A. 非常大的自然数 B. 喜欢运动的人 C. 小于100的正整数 D. 的所有近似值 【答案】C 【解析】 【详解】根据集合的元素的确定性（确定性是指对于任意对象，都能明确判断它是否属于给定集合，不存在模糊的判定标准.）依次对4个选项进行判断： 选项A：非常大的自然数，没有明确的量化标准，无法判定一个自然数是否属于该组对象，不满足确定性，不能构成集合； 选项B：喜欢运动的人，没有明确的判定依据，无法判定某个人是否属于该组对象，不满足确定性，不能构成集合； 选项C：小于100的正整数，判定标准明确，即所有满足（），能构成集合； 选项D：的所有近似值，没有明确的精度要求，无法判定一个数是否属于该组对象，不满足确定性，不能构成集合. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：, 故选：A. 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 4. 下列图象中，能表示函数图象的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义判断可得出结论. 【详解】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 5. 已知，，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用作差比较，即可得到与的大小关系，得到答案. 【详解】由题意，， 则， 所以，即， 故选C. 【点睛】本题主要考查了代数式的比较大小，其中解答中熟练应用不等式的性质，利用作差比较法进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，取、，可得， 故“”不是“”的充分条件； 若，则、，则，故，即有， 故“”是“”的必要条件； 综上可得：“”是“”的必要不充分条件. 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法将目标式表示为已知的与的线性组合，结合不等式的同向可加性求解取值范围. 【详解】设，其中为实数， 所以，故，解得， 所以， 因为，所以， 又，则， 所以，即. 8. 设为中最大的数.已知正实数，记，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义可知，，，再由基本不等式可得当时，取得最小值2. 【详解】由，得，，， 所以，即，因为，所以； 由基本不等式可得，所以， 所以，， 当，即时，取得最小值2. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出，，，再结合基本不等式求得. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 每一个末位是的整数都是的倍数 B. 对任意实数，的平方是正数 C. 有些菱形是正方形 D. 存在一个三角形，它的内角和小于 【答案】AC 【解析】 【分析】根据命题逐项判断真假即可. 【详解】选项A，每一个末位是0的整数都是5的倍数是真命题，A正确； 选项B，当，,显然0不是正数，B错误； 选项C，正方形是特殊的菱形，C正确； 选项D,所有的三角形内角和都是，不存在内角和小于 的三角形，D错误. 10. 对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 11. 已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集的端点值对应方程的根，利用韦达定理即可判断选项A；由，，，利用基本不等式即可判断选项B；由，则，利用二次函数开口向上取最小值即可判断选项C；由，则，利用基本不等式“1”的应用，即可判断选项D. 【详解】由题可知，且为方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，，所以， 即，因此，选项A错误； 由，，，根据基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为，选项B正确； 由，则，所以， 根据二次函数开口向上，当时，的最小值为，选项C正确； 由，则，又，，所以，因此， 即， 当且仅当，即时取等号，此时的最小值为，选项D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 不等式的解集为________． 【答案】（或） 【解析】 【详解】结合二次函数图象可得的解集为 13. 设函数则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出，进而计算出. 【详解】，. 故答案为： 14. 已知a，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤） 15. 已知集合或，全集. （1）求，； （2）求， 【答案】（1），或； （2），. 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的概念计算即可； （2）利用补集与并集的概念计算即可. 【小问1详解】 因为或， 所以， 或； 【小问2详解】 由题意可知，又， 所以. 16. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【解析】 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 17. 某公司为了提高生产效率，决定投入72万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外产生收益50万元，该设备前年的维修、保养等费用共万元．设使用年后该设备的盈利额为万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中． （1）写出关于的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利． （2）使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种： 方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52万元价格处理该设备； 方案②：当盈利额达到最大值时，以20万元价格处理该设备． 请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由． 【答案】（1）；3 （2）两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 【解析】 【分析】（1）先求出前年的盈利额，利用求解即可. （2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较. 【小问1详解】 由题意得使用年后：， 令，即，解得 因为，所以， 即从第3年开始，该设备开始盈利 【小问2详解】 方案①：平均盈利额为， 当且仅当“”即时等号成立 第6年平均盈利额达到最大值，以52万元价格处理该设备，共盈利万元 方案②：盈利额为，当时，盈利额达到最大值，为128万元 第10年盈利额达到最大值，以20万元价格处理该设备，共盈利万元， 两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）代入，利用二次函数的符号判断不等式的解集；（2）将不等式分解因式，按的取值及两根的大小关系分类求解；（3）分别求在上的最小值和在上的最大值，比较两者即可． 【小问1详解】 当时，，二次项系数小于，判别式 因此对任意均成立，不等式的解集为． 【小问2详解】 由，得即 当时，，故，解集为． 当时，原不等式化为，解集为． 当时，原不等式等价于 ①若，则，故或，解集为． ②若，则，原不等式等价于，解集为． ③若，则，故或，解集为． 【小问3详解】 因为，函数的图象开口向上，对称轴为，所以 又在上单调递减，所以 题设要求对任意、均有，等价于 解得，且符合． 所以的取值范围为． 19. 高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）试证明：“”是“”的充要条件； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】（1），. （2）证明：若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. （3）实数的取值范围.若取到最大值，则，. 【解析】 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：， . 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $