江苏省昆山市柏庐高级中学2026～2027学年高一上学期10月阶段性测试数学试卷

昆山市柏庐高级中学高一年级 10 月阶段性测试 数学学科 分值：150分　　测试时间：120分钟　　命题人：程智雄　　审题人：王素彦 一、单选题（8*5分=40分） 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合 ，，下列对应关系中，从 到 的函数为（　　） A． B． C． D． 3．若集合 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 4．使 成立的必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 5．已知集合 ，且 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 6．已知 ，，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 7．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（3*6分=18分，漏选得2分、3分或4分） 9．设正实数 ， 满足 ，则（　　） A． 有最大值为 B． 有最小值为 C． 有最小值为 D． 有最大值为 10．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值可能是（　　） A． B． C． D． 11．由无理数引发的数学危机一直延续到 世纪．直到 年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ，且满足 ，， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割 ，下列选项中，可能成立的是（　　） A． 没有最大元素， 有一个最小元素 B． 没有最大元素， 也没有最小元素 C． 有一个最大元素， 有一个最小元素 D． 有一个最大元素， 没有最小元素 三、填空题（3*5分=15分） 12．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是　　　　　　． 13．若对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的取值范围为　　　　　　． 14．已知 ，，满足 ，求 的最小值　　　　　　． 四、解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分） 15．（13分） 已知集合 ，． （1）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围． 16．（15分） 已知二次函数 ，． （1）若 的解集为 ，． （i）求 的值； （ii）若正数 ， 满足 ，求 的最小值． （2）求关于 的不等式 的解集． 17．（15分） 如图，某高中学校计划在一块空地上修建一个面积为 平方米的矩形花坛．花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽 米；在两条短边外侧，路径宽 米．设花坛的宽与长之比为 （）． （1）若花坛的周长为 米，求此时花坛的宽； （2）求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时 的值． 18．（17分） 已知 ，一元二次方程 有两不等实根为 ，（），满足 （1）用 表示 ，； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 19．（17分） 已知函数 ． （1）若 ，，函数的最小值为 ，求 的值； （2）若 ，，，不等式 有且仅有四个整数解，求实数 的取值范围； （3）当 时，对 ，，若存在实数 使得 成立，求 的最小值． 高一数学十月测试　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $昆山市柏庐高级中学高一年级10月阶段性测试 数学学科·参考答案 一、单选题（每小题5分，共40分） 1.命题“x>0,x2+2x-4≥0”的否定是（) A.x>0,x2+2x-4<0 B.x≤0，x2+2x-4<0 C.3x≤0，x2+2x-4<0 D.x>0,x2+2x-4<0 【答案】A 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变。 【解答】 “1x>0,x2+2x-4≥0”的否定是“Vx>0,x2+2x-4<0”.故选A. 2.已知集合A={0,1,2},B={1,1,3},下列对应关系中，从A到B的函数为() A.f:x→y=x B.f:x→y=x2 C.f:x→y=2x-1 D.f:x>y=2x2-1 【答案】C 【分析】从A到B的函数要求A中每个元素在B中都有唯一的对应元素，逐个验证x=0,1,2. 【解答】 A项：0→0EB0EB,不是： B项：0→0EB,不是： C项：0→-1,1→1,2→3，都在B中，是函数： D项：2→7EB,不是. 故选C. 3.若集合A={x∈N0≤x<4},则A的真子集个数为() A.7 B.8 C.15 D.16 【答案】C 【分析】先写出集合的元素个数n,真子集个数为2”-1. 【解答】 A={0,1,2,3},共4个元素， 所以真子集个数为2-1=15.故选C. 4.使x>1成立的必要不充分条件是() A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 【答案】A 【分析】“x>1成立的必要不充分条件”即该条件由x>1推出，但不能推出x>1. 【解答】 高一数学十月测试（答案）第1页（共9页） x>1→x>0,但x>0中x>1,所以x>0是必要不充分条件，A正确： B、C项是x>1的充分条件(x>3、x>2都能推出x>1),不合题意： D项x<2与x>1互不推出，既不充分也不必要. 故选A. 5.已知集合A={1,a2-4a,a-4},且-3∈A,则a=（) A.1 B.1或3 C.3 D.-3 【答案】C 【分析】按-3是哪一个元素分类，再检验集合元素的互异性， 【解答】 若2-4a=-3,则d2-4a+3=0,解得a=1或a=3. 当a=1时，A=红，-3，-3}，不满足互异性，舍去： 当a=3时，A={1,-3,-1},符合题意： 若a-4=-3,则a=1,同上舍去. 故选C. 6.已知0<a-b<2,2<a+b<4,则3a+b的范围是() A.4<3a+b<8 B.6<3a+b<10 C.4<3a+b<10 D.6<3a+b<12 【答案】C 【分析】设u=a-b,v=a+b,把a,b用u,v表示，再用同向不等式相加. 【解答】 设=a-bE0,2,v=a+be249,则a=,b=-% 2 所以3a+b=3u+D4=4=u+2. 2 2 由0<u<2,4<2y<8得4<u+2y<10,即4<3a+b<10.故选C. 7.己知集合A={x|-2≤x≤5}，B={xm+1≤x≤2-1}，若A⌒B=B,则实数m的取值范围是 () A.m≥3 B.2≤m≤3 C.-3≤m≤3 D.I≤3 【答案】D 【分析】A⌒B=B即B∈A,注意B=O的情形. 【解答】 ①当m+1>2-1,即m<2时，B=0sA,符合： ②当m≥2时，B=[m+1,2m-1]≠0，由B≤A得m+1≥-2且2m-1≤5，解得2≤m≤3. 综上，m≤3.故选D. 高一数学十月测试（答案）第2页（共9页） 8.已知x,y为正实数，且w+1=x,则x+2的最小值为() A.2 B.4 C.2+2W2 D.3+22 【答案】D 【分析】消去y后化为关于x的式子，再换元用基本不等式. 【解答】 由w+1=x得y=-1,因为y>0,x>0,所以x>1. 2x 于是x+k-+2+-台+3222+3 y 当且仅当x-1=√2，即x=1+√2时取等号， 故最小值为3+2√2.故选D. 二、多选题（每小题6分，共18分) 9.设正实数x,y满足x+y=2,则() A.xy有最大值为1 B.x2+y2有最小值为4 c.+日有爱小值为号 D.√x+3+√y+4有最大值为3√2 【答案】ACD 【分析】逐项用基本不等式或柯西不等式求最值，注意等号成立的条件， 【解答】 A现（生八-1，当=1时歌等号，正痛： B项：2+≥任+-2，最小值为2，错误 2 c+任-长智+到5=0=号当x2,即专y号k等号 正确； D项：由柯西不等式(Vx+3+√y+4≤2[(x+3)+(y+4)]=18, 所以++≤35，当+34，即=子y号时取等号、罪确， 故选ACD. 10.己知关于x的不等式2-2x+3a<0在0<x≤2上有解，则实数a的取值可能是() A.-3 B.-2 C.1 D.2 高一数学十月测试（答案）第3页（共9页） 【答案】AB 【分析】分a=0、a>0、a<0讨论f(x)=ax2-2x+3a在(0,2]上能否取到负值. 【解答】 记f(x)=ax2-2x+3a. 当a=0时，f(x)=-2x<0在x>0上恒成立，有解，符合： 当a<0时，f(0)=3a<0,故在x充分小时f(x)<0,有解，符合： 当a>0时，fx)的最小值为f=3a-1,由3a-1<0得a<5 a a ，遮项中只有-3，-2符合.赦选AB 所以a<3 11.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出 发，用有理数的分割来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结 束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割， 是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q,MON=②，M中的每一个 元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割(M,N), 下列选项中，可能成立的是() A.M没有最大元素，N有一个最小元素 B.M没有最大元素，N也没有最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M有一个最大元素，N没有最小元素 【答案】ABD 【分析】由MUN=Q、M⌒N=☑知有理数被“切'成两半，逐个分析最大、最小元素的可能性. 【解答】 A项：如M={x∈Qx<√2)改为有理数分割后可出现N有最小值的情形（如M={x∈Q|x<1}, N={x∈QIx≥1})，可能成立； B项：如M={x∈Qx<√2}，N={x∈Qx)W2,两者都没有最大（小）元素，可能成立： C项：若M有最大元素m,N有最小元素n,则由m<n及有理数的稠密性，m+”既不在M也不 2 在N,与MUN=Q矛盾，不可能成立： D项：如M={x∈Q|x≤1}，N={x∈Qx1},可能成立. 故选ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.若函数f)=一2+1一的定义域为R,则实数4的取值范围是 √x2+4x+1 高一数学十月测试（答案）第4页（共9页） 【答案】a>4 【分析】分母恒正（且不为零）即被开方式恒正，按α的符号分类 【解答】 需ax2+4x+1>0对任意x∈R恒成立. 当a=0时，4x+1>0不能恒成立，不合题意： 当α<0时，二次函数开口向下，不能恒正，不合题意： 当a>0时，需△=16-4a<0,解得a>4. 故a的取值范围是a>4. 13.若对任意，∈山，2]，总存在x∈[1,2]，使得x+2x+7a<-2x-ad2成立，则a的取值范围 为 【答案】-5<a<-2 【分析】“任意x1都存在x2”等价于x+2x+7a小于-2x-d2的最大值，再对X取最大. 【解答】 当x3∈[几，2]时，-2x-ad的最大值为-2-d（为=1时取得)， 于是原条件等价于：对任意x∈[山2]，X+2x+7a<-2-d恒成立. 而x2+2x在1,2]上的最大值为8(x=2时)， 所以8+7a<-2-ad,即d+7a+10<0,解得-5<a<-2. 14.已知x>020,满足(c+2-(2x+少-)-景求x+y的最小值 【答案】 【分析】设u=x+2y,v=2x+y,把条件与目标都用u,v表示，再用基本不等式. 【解答】 设u=x+2y,v=2x+y,则u+v=3(x+),且(u-1)0心-)=9 4 由x>0,y≥0知u>0,v>0.若u-1<0且v-1<0,则u+v<2,与x+y>0矛盾，故u-1>0, v-1>0, 由基本不等式(u-)+(-1)≥2层3，即+v≥5， 所以x+y=“生≥，当uv-3. 33 =3,即x=y=三时取等号， 6 故x+y的最小值为 四、解答题（共77分） 15.（13分) 高一数学十月测试（答案）第5页（共9页） 己知集合M={x|2≤x≤4}，N={x|2+m≤x≤1-2. (1)若“x∈M”是“x∈N的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若MON=⑦，求实数m的取值范围. 【省案！Dm号：a)月 【分析】(1)“x∈M”是“x∈N的充分条件即M∈N;(2)按N是否为空集讨论. 【解答】 1)由McN得2+m≤2且1-2m24,解得m≤0且m≤-) 所以m≤-3 (2)①当N=0,即2+m>1-2m,m>时，MAN=O成立： 3 2下ms- ②当N4⊙，即m≤}时，需1-2m<2或2+m>4,解得m>子结合m≤专得 综上，m>- 2 16.(15分) 已知二次函数f(x)=x2-x-4,m∈R. (1)若f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤m,n≥-1. (i)求”的值： m (i)若正数a,b满足业+”=3，求a+3b的最小值. a b (2)求关于x的不等式f(x)>(1-m)x2+3x-7的解集. 加3，(i)最小值为9：(2)当m<0时解集为 【答案】(1)(i)”=4, 3:当m=0时解集为 (:当0m3时解集为（←a小心合网： 当=3时解集为{x|x≠1}；当>3时解集为 -(L) 【分析】(1)用韦达定理；（2)因式分解后比较两根大小. 【解答】 (1)(i)由解集为「-1，n知-1，n是x2-x-4=0的两根， 由韦达定理-1+n=m,-1=-4,所以n=4,m=3,”=4 3 (i)由3+4-3， a b 高一数学十月测试（答案）第6页（共9页） a0a302)1s+招9)s26)9, 当且仅当4=9b且3+4=3，即a=3,b=2时取等号，故最小值为9. a b (2)x2--4>(1-m)x2+3x-7即x2-(m+3)x+3>0,即(x-3)(x-1)>0. 当m<0时，3<0<1，解集为 L 当m=0时，不等式为-3x+3>0,解集为(-∞，1)： 当0m≤3时品1，解来为(-m小u品： 当m=3时，不等式为3(x-1)>0,解集为{xx≠1)； 当m>3时，高<1，解集为(+0) 17.(15分) 如图，某高中学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛，花坛周围需要修建路径， 路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与 长之比为k(0<k≤1) (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时飞的值. 30 2m 【答案】①10米：②)k号 【分析】(1)列方程组解长与宽；(2)把总面积表示为k的函数，用基本不等式求最小值. 【解答】 (1)设花坛的宽为n米，长为1米，则1l=500,2(w+1)=120, 所以1w+1=60,m,l是方程t2-60t+500=0的两根，解得t=10或t=50, 又w≤1，故花坛的宽为10米. (2)由题意，四周路径使长增加2×3=6米，宽增加2×2=4米， 所以总面积S=(（1+6)(w+4)=p+41+61m+24=524+4+61p. 由1w=kl且l=500得1=， 500 高一数学十月测试（答案）第7页（共9页） 于是cs=54-5网在6之4+5而2原=4：400，当且仅当在=6医，即=号时 取等号（满足0<k≤1）， 所以女子时整个区歧面积最小 18.(17分) 已知m∈R,一元二次方程x2++b=0有两不等实根为，，X,（,<x),满足 [x2+x=2m2-4 +x2=m (1)用m表示a,b: (2)若(3x-x2)(3x2-x)≥-1，求m的取值范围： (3)若m1,2],不等式x+m+b>2m,心恒成立，求x的取值范围. (3)x<0或x>2 【分析】(1)用韦达定理与x2+x号=(31+x)-2xx;(2)把条件化为m的不等式：（3)把不等式 看成关于m的一次函数，只需两端点成立. 【解答】 (1)由韦达定理，+x3=-a=m,所以a=-: 又￥+号=(+x}户-2x=m2-2b=2m-4,所以6=4-m 2 (2)由△=a2-4b=m2-2(4-m2)=3m2-8>0得㎡>8 (3x-5(3-)=10c-36+5)=10.4-,-3到2m2-4)-32-1d, 2 由32-11m2≥-1得m2≤3， 综士㎡3，即m得6 (3)原不等式即x2-+4-m>2- -,化简得x2-x+2->0, 2 2 即(x2+2)-m(x+1)>0对任意m∈[-1,2]恒成立. 记8(m)=（x2+2)-(x+1)m,它是关于m的一次函数，只需 8(-1)=x2+x+3>0(恒成立，因△=1-12<0)，且g(2)=x2-2x>0, 由x2-2x>0得x<0或x>2. 故x的取值范围是x<0或x>2. 19.(17分) 高一数学十月测试（答案）第8页（共9页） 已知函数y=m2+bx+c. (1)若b=-2a,c=2a-1,函数的最小值为0，求a的值： (2)若c>0,a=1,b=-c-2,不等式2+bx+c<0有且仅有四个整数解，求实数c的取值范围； (3)当b<0时，对x∈R,y≥0，若存在实数m使得(1-m)a+(1+2m)b+3c=0成立，求m的最 小值. 【答案】1)a=1:(2)5<es6:(3)m的最小值为} b2 【分析】(1)配方求最小值(2)因式分解后数整数解：(3)由y≥0得c≥ ,再把m表示为 4a a,b,c的式子，用齐次性消元求最值. 【解答】 (1)y=m2-2+2a-1=a(x-1)+a-1, 当a>0时最小值为a-1=0,得a=1;当a<0时无最小值，舍去. 故a=1. (2)a=1,b=-c-2时不等式为x2-(c+2)x+c<0,即(x-c)(x-1)<0. 因为c>0,若c>1,解集为(1，c),其中整数为2,3，…，恰有4个需5<c≤6： 若0<c<1,解集为(c,1),其中整数只有0，不足4个：若c=1,解集为空集。 所以5<c≤6. (3)对任意x,y20,需a>0且4=B-4cs0,即c≥ 4a 由1-ma+1+2mb+3c=0得m=a+b+3c,又b<0,令b=-1(1>0), a-2b 3t2 a+2x,由c≥ 则m=a-t+3c a-t+ 知≥一 Aa 4a a+2t 1-+3 令u=>0,则m之1+20 4 32-u+1 记p(u）= ，令n=21+1, 2u+1 1277B272 n 16m 8'1616n8V1616884 当且仅当n=3,即u=1,a=t时等号成立. 故m的最小值为 4 高一数学十月测试（答案）第9页（共9页） 昆山市柏庐高级中学高一年级 10 月阶段性测试 数学学科·参考答案 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变． 【解答】 “，”的否定是“，”．故选A． 2．已知集合 ，，下列对应关系中，从 到 的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从 到 的函数要求 中每个元素在 中都有唯一的对应元素，逐个验证 ． 【解答】 A项：，不是； B项：，不是； C项：，，，都在 中，是函数； D项：，不是． 故选C． 3．若集合 ，则 的真子集个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出集合的元素个数 ，真子集个数为 ． 【解答】 ，共 个元素， 所以真子集个数为 ．故选C． 4．使 成立的必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“ 成立的必要不充分条件”即该条件由 推出，但不能推出 ． 【解答】 ，但 ，所以 是必要不充分条件，A正确； B、C项是 的充分条件（、 都能推出 ），不合题意； D项 与 互不推出，既不充分也不必要． 故选A． 5．已知集合 ，且 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】C 【分析】按 是哪一个元素分类，再检验集合元素的互异性． 【解答】 若 ，则 ，解得 或 ． 当 时，，不满足互异性，舍去； 当 时，，符合题意； 若 ，则 ，同上舍去． 故选C． 6．已知 ，，则 的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，，把 用 表示，再用同向不等式相加． 【解答】 设 ，，则 ，， 所以 ． 由 ， 得 ，即 ．故选C． 7．已知集合 ，，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 即 ，注意 的情形． 【解答】 ①当 ，即 时，，符合； ②当 时，，由 得 且 ，解得 ． 综上，．故选D． 8．已知 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】消去 后化为关于 的式子，再换元用基本不等式． 【解答】 由 得 ，因为 ，，所以 ． 于是 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故最小值为 ．故选D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．设正实数 ， 满足 ，则（　　） A． 有最大值为 B． 有最小值为 C． 有最小值为 D． 有最大值为 【答案】ACD 【分析】逐项用基本不等式或柯西不等式求最值，注意等号成立的条件． 【解答】 A项：，当 时取等号，正确； B项：，最小值为 ，错误； C项：，当 ，即 ， 时取等号，正确； D项：由柯西不等式 ， 所以 ，当 ，即 ， 时取等号，正确． 故选ACD． 10．已知关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分 、、 讨论 在 上能否取到负值． 【解答】 记 ． 当 时， 在 上恒成立，有解，符合； 当 时，，故在 充分小时 ，有解，符合； 当 时， 的最小值为 ，由 得 ； 所以 ，选项中只有 ， 符合．故选AB． 11．由无理数引发的数学危机一直延续到 世纪．直到 年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ，且满足 ，， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素，则称 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割 ，下列选项中，可能成立的是（　　） A． 没有最大元素， 有一个最小元素 B． 没有最大元素， 也没有最小元素 C． 有一个最大元素， 有一个最小元素 D． 有一个最大元素， 没有最小元素 【答案】ABD 【分析】由 、 知有理数被“切”成两半，逐个分析最大、最小元素的可能性． 【解答】 A项：如 改为有理数分割后可出现 有最小值的情形（如 ，），可能成立； B项：如 ，，两者都没有最大（小）元素，可能成立； C项：若 有最大元素 ， 有最小元素 ，则由 及有理数的稠密性， 既不在 也不在 ，与 矛盾，不可能成立； D项：如 ，，可能成立． 故选ABD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】分母恒正（且不为零）即被开方式恒正，按 的符号分类． 【解答】 需 对任意 恒成立． 当 时， 不能恒成立，不合题意； 当 时，二次函数开口向下，不能恒正，不合题意； 当 时，需 ，解得 ． 故 的取值范围是 ． 13．若对任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】“任意 都存在 ”等价于 小于 的最大值，再对 取最大． 【解答】 当 时， 的最大值为 （ 时取得）， 于是原条件等价于：对任意 ， 恒成立． 而 在 上的最大值为 （ 时）， 所以 ，即 ，解得 ． 14．已知 ，，满足 ，求 的最小值　　　　　　． 【答案】 【分析】设 ，，把条件与目标都用 表示，再用基本不等式． 【解答】 设 ，，则 ，且 ． 由 ， 知 ，．若 且 ，则 ，与 矛盾，故 ，， 由基本不等式 ，即 ， 所以 ，当 ，即 时取等号， 故 的最小值为 ． 四、解答题（共77分） 15．（13分） 已知集合 ，． （1）若“”是“”的充分条件，求实数 的取值范围； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）“”是“”的充分条件即 ；（2）按 是否为空集讨论． 【解答】 （1）由 得 且 ，解得 且 ， 所以 ． （2）①当 ，即 ， 时， 成立； ②当 ，即 时，需 或 ，解得 ，结合 得 ． 综上，． 16．（15分） 已知二次函数 ，． （1）若 的解集为 ，． （i）求 的值； （ii）若正数 ， 满足 ，求 的最小值． （2）求关于 的不等式 的解集． 【答案】（1）（i），（ii）最小值为 ；（2）当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 ；当 时解集为 【分析】（1）用韦达定理；（2）因式分解后比较两根大小． 【解答】 （1）（i）由解集为 知 是 的两根， 由韦达定理 ，，所以 ，，． （ii）由 ， ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，故最小值为 ． （2） 即 ，即 ． 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ； 当 时，不等式为 ，解集为 ； 当 时，，解集为 ． 17．（15分） 如图，某高中学校计划在一块空地上修建一个面积为 平方米的矩形花坛．花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽 米；在两条短边外侧，路径宽 米．设花坛的宽与长之比为 （）． （1）若花坛的周长为 米，求此时花坛的宽； （2）求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时 的值． 【答案】（1） 米；（2） 【分析】（1）列方程组解长与宽；（2）把总面积表示为 的函数，用基本不等式求最小值． 【解答】 （1）设花坛的宽为 米，长为 米，则 ，， 所以 ， 是方程 的两根，解得 或 ， 又 ，故花坛的宽为 米． （2）由题意，四周路径使长增加 米，宽增加 米， 所以总面积 ． 由 且 得 ， 于是 c，当且仅当 ，即 时取等号（满足 ）， 所以 时整个区域面积最小． 18．（17分） 已知 ，一元二次方程 有两不等实根为 ，（），满足 （1）用 表示 ，； （2）若 ，求 的取值范围； （3）若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3） 或 【分析】（1）用韦达定理与 ；（2）把条件化为 的不等式；（3）把不等式看成关于 的一次函数，只需两端点成立． 【解答】 （1）由韦达定理 ，所以 ； 又 ，所以 ． （2）由 得 ． ， 由 得 ， 综上 ，即 ． （3）原不等式即 ，化简得 ， 即 对任意 恒成立． 记 ，它是关于 的一次函数，只需 （恒成立，因 ），且 ， 由 得 或 ． 故 的取值范围是 或 ． 19．（17分） 已知函数 ． （1）若 ，，函数的最小值为 ，求 的值； （2）若 ，，，不等式 有且仅有四个整数解，求实数 的取值范围； （3）当 时，对 ，，若存在实数 使得 成立，求 的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 的最小值为 【分析】（1）配方求最小值；（2）因式分解后数整数解；（3）由 得 ，再把 表示为 的式子，用齐次性消元求最值． 【解答】 （1）， 当 时最小值为 ，得 ；当 时无最小值，舍去． 故 ． （2）， 时不等式为 ，即 ． 因为 ，若 ，解集为 ，其中整数为 ，恰有 个需 ； 若 ，解集为 ，其中整数只有 ，不足 个；若 ，解集为空集． 所以 ． （3）对任意 ，，需 且 ，即 ． 由 得 ，又 ，令 （）， 则 ，由 知 ． 令 ，则 ， 记 ，令， 原式 当且仅当，即，时等号成立. 故 的最小值为 ． 高一数学十月测试（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $昆山市柏庐高级中学高一年级10月阶段性测试 数学学科 分值：150分测试时间：120分钟 命题人：程智雄 审题人：王素彦 一、单选题(8*5分=40分) 1.命题r>0,x2+2x-4≥0”的否定是（) A.x>0,x2+2x-4<0 B.x≤0，x2+2x-4<0 C.3x≤0，x2+2x-4<0 D.3x>0,x2+2x-4<0 2.已知集合A={0,1,2},B={-1,1,3},下列对应关系中，从A到B的函数为() A.f:x→y=x B.f:x→y=x2 C.f:x→y=2x-1 D.fx→y=2x2-1 3.若集合A={x∈N|0≤x<4),则A的真子集个数为() A.7 B.8 C.15 D.16 4.使x>1成立的必要不充分条件是() A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 5.已知集合A={1,a2-4a,a-4},且-3∈A,则a=（) A.1 B.1或3 C.3 D.-3 6.已知0<a-b<2,2<a+b<4,则3a+b的范围是() A.4<3a+b<8 B.6<3a+b<10 C.4<3a+b<10 D.6<3a+b<12 7.己知集合A={x|-2≤x≤5}，B={xm+1≤x≤2-1}，若AOB=B,则实数m的取值范围是 () A.≥3 B.2≤Im≤3 C.-3≤≤3 D.I≤3 8.已知x,y为正实数，且w+1=x,则x+2的最小值为() A.2 B.4 C.2+2√2 D.3+2W2 高一数学十月测试第1页（共4页） 二、多选题（3*6分=18分，漏选得2分、3分或4分) 9.设正实数x,y满足x+y=2,则() A.xy有最大值为1 B.x2+y2有最小值为4 C年上有袋小道为号 D.Vx+3+√y+4有最大值为32 10.已知关于x的不等式m2-2x+3a<0在0<x≤2上有解，则实数a的取值可能是() A.-3 B.-2 C.1 D.2 11.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出 发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结 束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割， 是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MUN=Q,M⌒N=②，M中的每一个 元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割(M,N), 下列选项中，可能成立的是（) A.M没有最大元素，N有一个最小元素 B.M没有最大元素，N也没有最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M有一个最大元素，N没有最小元素 三、填空题(3*5分=15分) 12.若通数)云44标+ 2x+1一 的定义域为R,则实数a的取值范围是 13.若对任意，∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得x+2x+7a<-2x2-a成立，则a的取值范围 为 14.已知x>0,y≥0，满足(c+2y-1(2+y-1)},求x+y的最小值 高一数学十月测试第2页（共4页） 四、解答题(13分+15分+15分+17分+17分=77分) 15.(13分) 已知集合M={x|2≤x≤4}，N={x|2+m≤x≤1-2. (1)若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若M⌒N=⑦，求实数m的取值范围. 16.(15分) 已知二次函数f(x)=x2-x-4,m∈R. (1)若f(x)≤0的解集为{x-1≤x≤m,n≥-1. (i)求”的值： (i)若正数a,b满足业+”=3，求a+3b的最小值. a b (2)求关于x的不等式f(x)>(1-m)x2+3x-7的解集。 17.(15分) 如图，某高中学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径， 路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与 长之比为k(0<k≤1). (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽： (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时k的值. 3m 2m 18.(17分) 已知m6R,一元二次方程P+瓜+b=0有两不等实根为5，两(5<飞)，满足矿+日=2m-4 +x3=m (1)用m表示a,b; (2)若(3x1-x2)(3x3-)≥-1，求m的取值范围： (3)若me1,2],不等式2++b>2mm恒成立，求x的取值范围. 2 高一数学十月测试第3页（共4页） 19.(17分) 己知函数y=2+bx+c. (1)若b=-2a,c=2a-1,函数的最小值为0，求a的值； (2)若c>0,a=1,b=-c-2,不等式2+bx+c<0有且仅有四个整数解，求实数c的取值范围； (3)当b<0时，对x∈R,y≥0，若存在实数使得(1-m)a+(1+2m)b+3c=0成立，求m的最 小值. 高一数学十月测试第4页（共4页）